是否已有人發展並非基於數字而是一些幾何關係（例如π黃金分割等）的數學？這種數學是否能更有效地描述現實？

01-07

抱歉，題目有字數限制，所以可能說的不是很清楚。本人高中生，提問中在表達，知識和邏輯上的錯誤也歡迎大家指正。這個問題是我前兩天看了問題如果數學規律被改變，世界將會變成什麼樣子？ - 哲學中
這些無理數的存在從某種角度看確實是奇怪的。從幾何上看π似乎應該是確定的，黃金分割值也應該是確定的。一個確定的長度我們用數字卻無法確定地表達，這是否暗示一種缺陷？而基於這些特殊的幾何關係建立數學是否將能減少矛盾並更佳有力地描述現實？嘯語的回答後想到的。同時我還有另外一個問題，和這個比較類似，下面是鏈接π等無理數的存在是否說明人類從自然數起步發展的數學存在缺陷（表達或有誤，請看問題說明....)？ - 物理學
最後，貼上嘯語在回答中引用的《三體》中的一段話
「我們的數學計數方法只能無限精確地逼近π，但是卻得不出其最終定值。」
「π是定值嗎？」

「肯定得是定值吧，否則怎麼會有圓和球？黑洞又怎麼會形成穩定的視界屏障？」矩陣二號說，「只不過我們的計數法出了問題，無法描述那個值。」
「那是π本身的特性決定的。」大腦說。
「不，
那是我們的數學本身的劣根性決定的！」矩陣二號糾正道，「我們的數學是數字化的，而不是幾何化的，我們的數學進率是10，是2，是6，是各種各樣的數字，
而不是圓周率，不是漸開率，不是π，也不是e，所以才會在解決現實問題時遇到各種各樣的悖論難題！」矩陣二號說道這裡，頓住，說，「『宇宙是幾何的，而不
是物質的』，你還記得我以前跟你說過的這句話吧？」
「宇宙是幾何的，而不是物質的，」矩陣二號的聲音冷冷響起，「但我們的數學卻是數字化
的——它本質上是把整個宇宙當成了物質來理解，是錯誤的，所以，我們建立在這種『數字化』數學基礎之上的整個自然科學體系，也必然會對那些深刻體現宇宙時
空本質的衍生物束手無策，比方說，黑洞的視界。」

謝邀。現代數學既不是建立在數字基礎上，也不是建立在幾何關係基礎上，而是建立在公理集合論的基礎上。90%以上的數學可以在ZFC集合論的語言框架、邏輯框架內進行描述。集合論說白了，只包含一個對象——集合，一個關係——元素和集合的屬於關係，以及再加上幾條reasonable的公理，但就是這麼個簡單直觀的體系，其描述能力卻令人驚嘆，再複雜的數學，層層遞歸下來，都可以歸化到集合論的語言框架中。不得不說公理集合論是數學公理化過程中的一個偉大成就，也是數學體系統一化的一個象徵。當然，目前還有些數學，在邏輯層面還不能完全約化到集合論，比如說非常抽象的代數幾何可能牽扯到不可達基數。但我們也應當接受任何數學體系都不是完美的，都有改進的餘地。最起碼能把絕大多數數學分支統一在一個語言框架內，就已經是一個了不起的成就，19世紀的數學家估計想都不敢想，

…pi和e之類的符號不就精確的表達這些個數了么。

少瞎想多看書，不來一發phd么騷年。

給你大致說說現在基礎數學裡面這麼解決這種問題的。

首先要定義序數，序數你可以理解為某種順序。

我們用集合來，首先，zfc公理中有要求空集存在，於是我們就讓第一個序數用?來代表。接下來是這個集合{?}，然後是這個集合{{?}，?}再然後是{{{?}，?},{?}，?}……

於是序數是一個集合，由它之前的序數組成。

於是我們就可以這樣自然地得到自然數0，1，2……

然後我們又可以定義加法，乘法以及他們的逆運算。這樣所有有理數我們就可以得到了。

但是實數怎麼辦呢？這麼嚴格定義一個實數呢？

解決這個問題有很多方法，常用的是這個:

一個實數是所有小於它的有理數組成的集合。

比如說我們要定義√2

於是√2就代表所有q2

你可以看到，再我的推理中，用到的數字不過是用來代表一種抽象的東西的，把0，1，2，3……換成座子，椅子，瓶子，罐子也沒有問題。這也許就是題主要的答案？

反正數理邏輯就總是在做這種東西……

我來解釋一下「宇宙是幾何的，不是物質的」這種觀點吧。

廣義相對論提示，引力不存在。人們觀察到的引力現象其實是空間的扭曲，即物體受引力改變運動狀態，其實是勻速直線運動在扭曲空間中的路徑，引力是不是一種物理特性，而是一種幾何特性。

很容易推而廣之，如果其餘的力也只是空間的扭曲呢？

我們說某物質存在，是因為我們能觀察到他與其他物質的相互作用。看到他（反射電磁波），摸到他的軟硬（電磁力），掂量出輕重（重力），等等等等。

那麼我們假設，如果存在一塊憑空扭曲的空間，人類對之進行相互作用測試，人類得到的結果就是那裡存在相互作用，那裡必然有物質。

所以，如果所有的力都是空間扭曲的話，人類是無法證明物質的存在的，根據剃刀原則，「物質告訴空間如何彎曲，空間告訴物質如何運動」這句話太繞了，直接把物質這個無法證明的實體剃掉，「世界只有彎曲的空間，相互作用只是空間的幾何拓撲關係」。

這種觀點還是有很多直觀佐證的，例如真空不空，空間憑空產生兩對正反粒子，然後又相互湮滅，有很多唯幾何論的人認為很好理解，正粒子就是波峰，反粒子就是波谷，疊加就是正反碰撞，要產生一個波峰必然產生一個波谷，所以永遠都是成對產生。

然後我們談談歐拉恆等式，e^iπ+1=0，e，i，π，風馬牛不相及，居然能構造出-1這個意味深遠的數，如果世界不是上帝創造的，為何如此精巧！

但如果你把之轉化為幾何問題，歐拉恆等式只是說，對於直角扇形的一個非直角端點，走到另一個非直角端點有兩條路徑，有弧形或者走直角，沒了。

這暗示著，很多複雜的代數問題，其本質都是簡潔的幾何。在分形、混沌、自組織等學說的指導下，確實很容易讓人產生幾何才是世界本源的觀點。

好累，待續～

數學：確定性的喪失 (豆瓣)

這本，呃，其實是數學史的書，介紹了在現代數學，即 @Yuhang Liu 所介紹的公理集合論數學，之前所發展的各種數學體系。其中幾何佔了非常重要的部分。甚至可以說，代數本身是晚於幾何出現的。

（慚愧，這本書我也只看了一半，而且需要一些數學基礎，可能不太適合高中生...）

畢達哥拉斯認為數字是點或微粒。他們口中的數是「三角形數」、「正方形數」這樣的幾何圖形。著名的無理數的推導也是基於幾何學完成的。

古代希臘，從蘇格拉底到亞里士多德，他們都認為「幾何」和「數學公理」是等價的。

在柏拉圖的對話《梅農》里，通過巧妙的詢問一個年輕奴隸，蘇格拉底證實同底等高的正方型面積是等腰三角形的兩倍。

歐幾里得時代，幾何即是數學，幾何即是真理。古希臘人們還發明了三角學。這一時代，幾何證明、三角學和圓錐曲線讓數學（幾乎完全是幾何學）得到了蓬勃發展。

文藝復興時期，開普勒、哥白尼對天體運行的描述也完全是幾何的。

一直到笛卡爾（嗯，就是那個數物哲三修的變態），一方面他創立了解析幾何，這個在現在可以輕鬆把一切幾何問題轉化為代數問題的大殺器，而另一方面，他的哲學思想還依然是機械的、抽象的，甚至說是幾何的。

他說他「既不承認也不希望在物理學中還有除了幾何上的或抽象數學中以外的什麼原理，......」客觀世界就是一個靜止不動的空間，它具體體現在幾何學中，因而其性質可以從幾何的基本原理中得出。

上面這句話後面緊接著是作者的注釋：

（因為那時數學的大部分都是幾何學，因而笛卡爾和他的同代人都將幾何看成數學的同義詞）

我們可以發現，目前我們生活中已經固化的很多想法，比如空間是近似於三維的盒子、光的直線運動、反射和折射等，大多是幾何的，而非代數的。在當時那個時代，這種直觀的感覺和幾何本身的強大交相輝映，讓人們認為幾何才是這個世界的真理。

直到伽利略和牛頓的時代，在物理研究上才有了「先追求數學公式的正確，再追求物理意義的解釋」這樣的思想。舉例來說，對於一個下落的物體，過去我們會直接猜想（因為亞里士多德學派認為，一切的真理都在人類腦中，只需要猜想和推理就可以獲得）下落時的物理情況，寫出公式，再套用計算。而伽利略則認為要先用實驗結果計算出公式，再用公式反推物理意義。這可以說是代數最早的翻身仗之一。牛頓和萊布尼茨更不用說了，他們用微積分徹底把幾何變成了代數的衍生品。

再之後，嚴謹的現代數學代替了滿是漏洞的經典數學，幾何則留在了代數的附屬地位上。如今，也只有在一些簡單、直觀、基礎的問題中，幾何能夠佔有其一席之地了。

結論：

1. 幾何過去是王者，現在是打雜的

2. 幾乎所有的幾何問題都可以轉化為解析幾何，從而變成代數問題。

3. 至於無理數的問題... $e^{ipi}+1=0$ 這麼完美的式子還不夠么？

那個不是三體里的，而是一個民科網路小說家寫的

不記得三體里有這段，你穿越了少年

在古希臘，數學家為了避免無理數，確實採用幾何的關係來表示量，可以參閱幾何原本。至於第二個問題……我答不上來。

我和題主也有類似的困惑，十進位和有序數列束縛了人類的思維，幾何卻能將超越數簡單地包括進去。

無論你怎麼用幾何去描述一個數學事務，我都可以用代數去解釋它。

因為數學是一門語言，幾何代數都是語言的分支，永遠相通。

思而不學則殆。

那個。。被精確地表示出來不代表被簡單地表示出來。

pi是確定的，無論用什麼進位制。

大多數分析跟pi 的小數表達根本沒關係。

如果你非要用pi進位，那麼4、5...反而會麻煩。

三體還真是讓少年你腦洞大開，只不過三體說到底還是小說，數學說到底還是精密的邏輯推導。樓主這尿性比較適合去寫三體類小說