恐龍的奔跑速度是怎麼測出來的？

01-07

之前看到一本科普讀物，說跑得最快的恐龍是恐爪龍，另外似雞龍和傷齒龍也跑得很快，還列了具體的速度數值，這樣的奔跑速度是怎麼測出來的？

先直接說結論：恐龍的速度是通過化石上腳印距離以及恐龍骨骼大小等信息估算出來的。

這個結論並不難以想像，因為恐龍留給我們的也只剩化石了。具體怎樣算出來的，是這個故事的精彩之處。多圖預警。

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首先需要說明的是：目前所得出的恐龍速度與其說是測量出來的，不如說是估算出來的。初中物理告訴我們用距離除以時間得到速度的方法在這一刻徹底麻爪。面對著不是石頭就是骨頭的恐龍資料，科學家們只能揪頭髮拔鬍子挖腦洞地總結出經驗公式來估算恐龍的速度，以供大家回味當年世界霸主的身姿。其中最重要的一條經驗公式來自英國的生物力學家R. McNeil Alexander。

早年的亞歷山大教授也是個非著名生物學家，讓他踏上成功之路從此高大上的是1976年發表的他的首篇Nature論文「Estimates of speeds of dinosaurs」。論文很短，差不多是一頁紙，一張圖，開創了一個新時代。論文里他提出了一個影響至今的模型"speed-from-track"，基本思路那是相當的樸素：1、速度越快，步子越大；2、恐龍以及很多現代陸生動物，都遵循相同的生物力學原理運動。亞教授琢磨那些恐龍啊，要麼兩條腿要麼四條腿，看上去跟人啊馬啊什麼的挺像的哈，那麼走起來跑起來也就應該一回事嘛，無非是個子大小，腿長短的區別。要是能找到個既能區別體重、又能區別腿形、最終能把這些動物都一網打盡的公式就好了。

找來找去，亞教授找到了物理學中一個叫做Froude Number的參數。這個亂入的Froude Number在百度百科裡又叫「弗勞德數」，台灣的譯名是「福祿數」，「為流體力學中的無量綱的純量，為慣性力和重力效應之比」。造船業很早之前就會用船模來測試新船設計。註：是這種船模。

不是這種。

個么船模的大小跟它在航行中受力之間有啥關係？一個先搞鐵路再搞船的英國工程師William Froude研究了這個問題。他做了一排不同大小的等比模型船，在水上拖來拖去的測量它們在相同速度航行下所需要的動力大小，進而提出了「船模試驗的相似準則數--弗勞德數」。測試用的船模現在還保存在倫敦科技博物館，見下圖。頂上那艘叫「天鵝」，下面那艘叫「烏鴉」。

亞教授覺得這個參數很有潛力，要是把動物們的走路都看成水上航行，然後計算弗勞德數會怎麼樣呢？根據定義，弗勞德數是慣性力除以重力。而走路的動作可以近似被看成以腳尖為中心的、倒過來的鐘擺運動。就象下圖，體會一下。

因此亞教授認為這裡的弗勞德數就是向心力除以重力，計算公式如下：

其中Fr是弗勞德數，v是速度，g是重力加速度，l是動物臀部高度，當然也有些人會使用腿長作為l來計算。

於是乎，亞教授就開始收集各種資料，把人啊馬啊大象啊鴕鳥啊Jird啊(可能翻成沙鼠的嚙齒類動物)走路跑步的數據統統處理一遍，再擱一塊一看。大發現！這些動物的步幅大小跟弗勞德係數能整出個很強的對應關係啊。下圖是亞教授在論文中給出的數據圖。

其中λ是步幅，u是速度，h是臀高，g是重力加速度。不論是圖中上部分各種動物的行走數據，還是下部分的人在不同地形上行走數據，x軸的弗勞德係數的0.3次方和y軸的相對步幅stride length都有很好的相關性。接下來擬合個線性回歸，熱氣騰騰的對應關係出來咯。

最後把上面的方程變個形，就得到了亞教授的估算公式：

其中v代表速度，g是重力加速度，SL是stride length 即步幅，h是hip height 即臀高。別把步幅(stride length)跟步長(step)搞混了，下圖解釋了步幅、步長和腳長(foot length)的測量。

步幅按照化石測量就可以了，但恐龍的臀高(hip height)弄起來就有些麻煩了。理想的恐龍應該像下圖一樣：

現實中的恐龍被發現時常常是這樣：

長成下面這樣完整的已經是很稀罕的歐洲最完整的肉食恐龍化石了。

亞教授說，既然沒法直接測，乾脆我們也毛估估一下吧。他研究了一陣已知的化石尺寸結構，整了另外一個被廣泛應用的近似公式：臀高(hip height)等於4倍的後腳長(hind foot length)。這下子，只要有一排恐龍腳印，量出步幅和腳長，恐龍的速度值也就可以算出來了。

論文發布後很快就成為了主流方法，後來陸續有更多人或者在此公式基礎上修訂出不少衍生公式，或者反對這一公式等等，不再一一介紹。

本想最後送上一個在線估算恐龍速度的網頁，才發現已經不在了，呃。不過亞教授都已經把公式簡化成那樣了，excel能夠輕鬆搞定這計算無壓力。就附上一組恐龍腳長和步幅長的數據，有興趣的不妨算算看它們的速度。

從上到下依次是：鴨嘴龍、似鴕龍、伶盜龍、包頭龍和劍龍。

醬紫。

Reference

Alexander, R.M. (1976) Estimates of speeds of dinosaurs. Nature.Vol.261, pp.129-130.

WikipediaRobert McNeill Alexander

WikipediaFroude number

WikipediaWilliam Froude

http://palaeo.gly.bris.ac.uk/Palaeofiles/Tracks/Report7/speed.html

http://m.mtu.edu/cls/education/development/lessons/pdfs/McGinnis_DinosaurFootprintActivity.pdf

http://facweb.bhc.edu/academics/science/harwoodr/Geol101/Labs/DinosaurTracks/

圖片來自以上引用及網路。

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