概率密度函數是概率分布函數求導嗎？

01-07

相對於連續性變數~還有就是他們沒一個點代表的意義是什麼？

是。先有分布函數，再有密度函數。密度函數是分布函數的導數。分布函數的重要性比密度函數大。

密度函數是和兩個分布相關的。比如一般意義下的密度函數是一個分布相對於實數的勒貝格測度而言的。對於其他測度需要使用Radon-Nikodym微分。

簡而言之，分布函數是直接和概率測度相關的。而密度函數需要另一個測度的參與，而且不一定存在。

定義順序如下

分布函數，通過分布函數定義密度函數。從而定義絕對連續的分布函數，最後定義

連續型分布。

不是。（不一定是。）

一個反例是服從Cantor分布的隨機變數。該隨機變數是連續的。CDF幾乎處處連續，幾乎處處可導，但是凡是可導的地方導數均為0。微積分基本定理不能成立，CDF雖然（幾乎處處）連續可導但是沒有密度。

事實上，任何singular continuous的隨機變數均為反例。

但是，如果加上「密度存在」的大前提，原題答案則是肯定的：只要密度存在，密度一定為CDF的導數。

詳見另外一題的小結在連續隨機變數中，概率密度函數（PDF）、概率分布函數、累積分布函數（CDF）之間的關係是什麼？ - 劉澈的回答

歡迎斧正。

不是。先有連續型變數的分布，然後在此基礎上規定了連續，可微之類的條件，才能定義出概率密度函數。當概率密度函數存在，分布函數是一個定積分，變數X對於取值x的分布函數是X所在總體概率密度函數從負無窮到x的定積分，所以分布函數也叫累積分布函數。

從數學上看，分布函數F(x)=P(X&

$Pab=int_{a}^{b} p(x)dx$ Here, $P(x)$ is probability density and $Pab$ is probability spread.

廣義上來說是一個probability measure對另一個 measure的導數。見Radon-Nikodym theorem