定義在Rn上的非負多元多項式一定可以表示為多個多項式的平方和嗎？

01-07

n=1的時候是對的，但n＝2就不對了。

n=1的時候證明是對d=degree f做歸納。首先d是偶數，d=0顯然。

若f非負，記f最小值是c非負，那麼f-c非負，且有根a。那麼 (x-a)整除f-c。因為f在a點附近非負，(x-a)^2整除f-c。則g:=(f-c)/(x-a)^2仍然非負。由歸納假設，他是平方和。所以f=(x-a)^2g+c是平方和。得證。

n=2時不對。希爾伯特其實已經證明了。

後來Motzkin給了個非常簡單的例子f(x,y)=x^4y^2 +x^2y^4 +1?3x^2y^2.

因為f(x,y)=(x^2y^2(x^2 +y^2 +1)(x^2 +y^2 ?2)^2 +(x^2 ?y^2)^2)/(x2 + y2)^2 所以在R^2上非負。

但是若f＝求和 f_i^2, f_i最多3次。 f(x,0)=f(0,y)=1, 所以f_i(x,0)=f_i(y,0)為常數c_i. f_i有形式c_i+a_ixy+b_ixy^2+d_ix^2y那麼 f中x^2y^2的係數＝－3=求和a_i^2 非負，矛盾。

這個問題和希爾伯特第17問題有關。問題是，這樣的f能否寫出有限個實有理式的平方和。艾米阿婷給了肯定的回答。