如何讓抽象不再抽象？

01-07

例如數學，複變函數，在學習的時候根本不知道它能幹啥（學完也不知道）。各種各樣的定義說來就來，沒有一個實體可以參照，而且複函數的積分連一個幾何意義或物理意義都沒。學習的過程就像建一個虛擬的大廈，看不見摸不著。（尤其是偏重理論的學科）
實踐和理論的結合到底體現在哪裡，該如何把知識和具體的東西聯繫起來？
對於抽象知識的學習，你的理解究竟對不對，到位不到位，如何驗證？僅僅是通過做題得到一個正確的答案么？（刷題也可以辦到）
如何讓這些抽象的東西有一種實在的感覺？難道是靠經驗漸漸習慣它？（就像熟悉空氣一樣）
請回答的朋友能從具體出發，避免抽象回答。（建議的可行性）

還希望有學數學的朋友能談一談自己對數學的感覺和學習。

謝邀。

複變函數的實際應用可以去問學通信的學生，他們有門必修課叫做複變函數與積分變換。另外我記得學大物的時候就學過交流電可以用複變函數來描述吧？

題主提到這種程度的抽象根本不算數學裡的抽象，數學裡面真正抽象的東西我連向別人轉述大概意思都做不到（在我和我要轉述的人都是數學專業學生的前提下，非數學專業更不用說了）。我自己學的微分幾何，不算特別抽象，基本屬於「學數學的學生都能看懂命題陳述但是不一定看得懂證明」的那一類範疇（有些學科屬於「不是做這個方向的人看不懂其中的命題陳述」的範疇）。但是在非數學學生看來估計也挺抽象的，比如「流形」這個概念就能讓一大堆人覺得理解有困難。

對抽象概念的理解，是一個漸進的過程。不要強求一步到位，不要害怕一開始會產生錯誤（或者不準確）的理解。錯誤的理解是很正常的事情。多看看例子，不管是數學裡面的例子還是數學外面的例子。本科層次的數學，很多都有實際應用層面的例子（舉個例子，拓撲學裡的Brouwer不動點定理可以用來證明經濟學裡的Nash均衡）。之所以你不知道，是因為你學得還不夠多。

複分析可視化，當時學復變用張錦豪那本書被虐得欲仙欲死時這書把我從形式化里拉了出來.....

數學當然不只是一堆公理的集合，但寫書不可能把所有的motivation都告訴你，所以要靠自己去找。當自己積累的問題，例子足夠多時，motivation就慢慢有了。我很喜歡到物理裡面去找motivation，並且物理當中確實有大量的例子，只是你可能沒接觸到罷了。當然如果覺得一本數學書過於形式化，其實可以多換幾本的。

想起當時學流形時就很難接受這個概念，這個概念的入門倒是靠的幾何與拓撲的概念導引，這書就會嘗試告訴你一個概念的可能動機，結合gtm60(經典力學的數學方法)這本書上的例子，微分流形接受起來就容易多了。所以到後來我學東西都喜歡從具體的例子開始，數學的抽象就是把這些例子的共性都提煉出來。你可以試試多找點非數學方面的書，數學史也是可以的。

您的疑問太簡單拉, 我的回答保證能讓您感受到所謂: 真傳一張紙

各種各樣的定義說來就來，沒有一個實體可以參照

抽象概念是從多個實體中, 抽離出其共同有用處的部分來的概念, 自然不會具體的對應一個實體

抽象跟具體是相對主觀的感受, 對嬰兒來說連數字的感受都很抽象, 但只要他會一個蘋果兩個橘子地數, 積累一陣子就會了解1,2,3是啥了. 等到數字這抽象概念變具體後, 就可以進一步建構乘法這抽象層次更高的概念, 我就是這樣一路學各種抽象空間的

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追加提問者的疑問:

若是定義定理實在太多, 就設法找出一兩個重要的定理為突破點. 多數的定義跟定理之所以奇葩難理解, 通常都是為了少數幾個重要的定理可以被操作證成所生的. 以少數突破點為主幹, 把所有概念串起來便能融會貫通, 之後補足定義細節及進一步嚴格化概念都會比較快速

例子還是要靠自己按需尋找, 多找三五本例子充實課件比對. 因為每個人盲點都不一樣, 導師課件很難為每個人準備周全的例子

實際上「數」就是一個極為抽象的概念，但是大多數人太熟悉它了所以它的抽象性就被忽略了。不然的話你可以嘗試一下給數下個定義或者想像一個具體實在的數字。而數學你之所以覺得抽象最大的原因還是不熟悉。

當然熟悉一個抽象概念的方法很多，我想對數學而言最重要的兩種可能是

1.算一些具體的例子。

2.因為數學的發展在某種意義下是向更一般情形的推廣。所以新的抽象的數學概念可以嘗試把它放在你已經熟悉的概念里進行比較和思考。

抽象不是學來用的，有用只是抽象的一個副作用。如果想著有用，這個世界99%以上的知識都對個人毫無用處。學那麼多只是我們並不精確地知道那1%不到的是什麼。

——華羅庚數論導引

簡單地說，並不讓抽象變得不再抽象，而學會讓從實際中找到抽象，那就能夠利用抽象的理論了。這不是抬杠，沒人能否認設未知數讓解方程變得更簡單，至於結果解方程過程中代換的物理意義？這種事其實只有小學生會去想。

Mumford說過，他只能做到從具體的事物中學會抽象理論，而Grothendieck卻從頭到尾都是以抽象的方法來思考的，當然，幾乎沒有人能像Grothendieck一樣思考，但是所有數學家都有把具體問題抽象的能力，然後套用Grothendieck的抽象技術，即便他們沒有他的抽象能力。

泛函分析是一個特別好的例子，儘管Kolmogorov比起Banach-Steinhaus更早地證明了連續函數的傅里葉級數可能點態發散，但是當然地，如果除去技術性困難的話，共鳴定理比起一個構造性證明更容易理解，而且這個技術性困難（Baire綱定理）還恰恰地是一個無比實際的定理，完備度量空間已經是很容易理解的對象了。

還有Hahn-Banach定理，通過這個本質上很簡單的定理你能證明一大類的函數族是稠密的，最簡單的x^n乘上一個速降函數f，厄米多項式就是這麼個例子——因為如果乘上任意數目的x的積分都是0的話，它的傅里葉變換是解析的而且導數都是0，那麼它只能是0。這兩個問題抽象化之後都極其簡單，而難點只在於想到抽象化而已。

思考物理意義是一個泥潭，不但毫無意義而且是愚蠢的，曾經聽人說Parseval定理的物理意義就是傅里葉變換保能量，這完全是不著邊際的廢話，Parseval定理說的是它為什麼保能量，不需要人再去馬後炮了。

過去學習同調論的時候，學到導出函子EXT，為了證明它的性質，書上構造了一個復形B_n，它上面的邊緣同態就是0，這樣構造只是為了保證圖是交換的，我卻一直在思考這個復形的幾何意義，於是一直不懂，現在想起來真是蠢到爆了。當把同調群還當做閉璉對正合鏈的商群的時候，其實是沒懂同調論的，因為比較定理，解復形本身根本不重要——誰計算Ext的時候會限定投射和內射模解呢？這樣做的人可能很少，然而僅僅知道De Rham復形這一個零調解而把它賦予神聖意義的人太多了，物理書上甚至這樣定義，儘管它本身只是個delta函子而已。

我來說一點自己的看法吧。我可能會從更早一點的地方講起，從最開始的數講起吧。

最開始沒有數。大家可能就有個大小多少的概念。後來光說這個多那個少，不夠用了，於是出現了自然數……（腦補的哈）

大家覺得自然數很好，你看，可以比大小，還可以相加相乘啊，好東西。

但是對於加法的逆運算——減法，這個數就出現了問題。兩堆一樣多的東西，減一下，沒有了。沒有是個啥？是不是也是個數呢？後來就有了0……（0的出現是比較晚的時候的事咯）

但是光有個0還不夠啊，還是不能保證「數」的減法都很安全啊——小的數減去大的數是啥？於是有了負數，這就是整數了……

整數很好，加減乘大丈夫了。但是乘法的逆運算——除法又來找茬了。兩個數的除法不安全啊——2除以3是個啥？於是有了有理數……

有理數很好啊，加減乘除大丈夫了。乘方也大丈夫了。但是乘方的逆運算——開方不安全啊：根號2？什麼根號2？把那個說根號2的偷偷扔那邊山崖下面去……好吧，不用根號2，用尺規作圖也可以再撐一陣子了……這一陣子就一陣子到了出現極限了，這個時候，有理數對於極限運算也不安全了……於是有了無理數，於是有了實數。這下大家都滿意了吧！赫！赫！

不過還是不圓滿啊不圓滿。我碰到解方程了，還是最簡單的實係數多項式方程，但是有的方程，它！無！解！x^2 = -1是啥？啥？？啥？？？好吧，這當然就是虛數跑出來的時候了，複數出現了……這個複數就是個好東西：所有的實係數多項式方程都有解了，n次方程一定有n個解了（重根的話，每重算一個解），而且實際上復係數也一樣了。更好的是，我們知道了複數的幾何解釋：就是歐氏平面上的一個點嘛。而且我們知道了四則運算乃至乘方開方的幾何意義：加減就是平面矢量的平移，乘除就是平面矢量的旋轉和拉伸。這個時候，諸如x^n = a這樣的方程，其復解在複平面上的分布就是如此清晰明了和簡單好懂了。

所以，首先複數是「數」本身的一個自然的拓展產物，在這個拓展過程中，「數」的可操作性越來越強。

那麼複數對於解方程我是理解了，OK了，但是這跟其他更複雜的東西有什麼關係呢？那我就拿 @Yuhang Liu 所提的通訊（實際上是我們更常說的線性系統理論）中的最基本但也最常見的例子來講講。很多很多很多物理系統，在我們目前的科學技術水平下，都往往被描述為一個定常的線性系統，其動態特性可以通過定常常微分方程（式1）

來描述。比如物理中十分簡單的、由彈簧和質量塊構成的簡諧振子，其運動方程為

只要能夠求解這個（這些）常微分方程，那麼系統的整個運動特性就都可以掌握了。

這類常微分方程的求解應該是高數裡面講過的了。實際上，解的主要性態是由一系列指數函數和三角函數來描述的：exp(ax)以及exp(ax)sin(wx)或exp(ax)cos(wx)，其中a和w都為實數。前者是單調的衰減或放大，後者是振蕩的衰減或放大。不過這麼兩類還是不方便處理啊：我總是要判斷個條件，然後看是哪一類再來處理。這時頂頂鼎鼎大名的歐拉公式出來幫忙了：這兩類其實從複數的角度看是相同的東西，因為exp(ax)cos(wx)和exp(ax)sin(wx)不就是exp((a+iw)x)的實部和虛部嘛！這樣一來，決定定常線性系統運動性態的，就是一個簡單的指數函數exp(cx)，只不過現在c是複數。

實際上，由於定常常微分方程的解最終可以表示為不同的這些指數函數的和的形式，因此決定解的性態的關鍵，就在於每個指數部分的c值，因此我們大可以將多餘的exp省掉，直接用每個c值來表示各個特解的性態：如果c是大於0的實數，那麼對應的解就是單調指數上升的曲線；c小於0就是單調衰減；c的虛部不為0，則實部大於0時解振蕩發散，小於0時振蕩衰減。我們用一個簡單的複數就可以替代整整一條函數曲線了！而且由於一個複數就對應了複平面上的一個點，所以實際上就是用複平面上的點「簡潔地描述」了整整一條運動曲線。那麼對定常線性系統而言，它的分析在極大程度上就變為了對這些複平面上的點的位置及其隨系統參數的變化而變化的軌跡的分析（甚至是定性的分析）。

這些c怎麼來的呢？高數裡面已經說了，由常微分方程的特徵方程求解而得。特徵方程就是用s^n替代式1左側的y^(n)所得的多項式方程s^n +a_(n-1) * s^(n-1) + ... + a0 = 0。這個方程的復解就是系統的「極點」，而系統的動態特性基本上由這些極點所確定。那麼在複變函數之後的積分變換課程中，會學習到一個複變函數的積分變換，即拉氏變換。對式1的左側進行拉氏變換，便能自然地給出特徵方程。此外，如複變函數中的留數定理，在線性系統中也有重要應用。

而複數既然可以視為複平面上的點，那麼平面上的曲線u(x,y)自然也可以有辦法用複數的方式簡潔地加以描述和處理，尤其是很多分析方法和定理對於實變和複變函數而言都有相同的形式，因此在推導和計算時尤為簡便。此外複數域為問題提供了更加廣闊的視野，也帶來了新的求解思路。

以上只是我個人接觸較多的領域的一個例子而已，希望有更多的朋友給出其他方面的例子，我誠心求教。

然後，我個人對 @Yuhang Liu 知友的一些說法表示點不同的意見。我個人認為，現在本科的基礎數學教育，尤其是工科本科的基礎數學教育，是明顯有待改進的。

首先從課程內容的總體設計上，就是一上來就將前人經過異常艱辛的工作搭建起來的宏偉的數學大廈展現在學生的面前，強調數學的邏輯嚴密性。這個做法的問題在於，這些宏偉的數學殿堂，這些匪夷所思的想法和概念，很容易讓不明就裡的學生暈頭轉向繼而心生畏懼，一如天主教用異常宏偉的教堂讓信徒不由自主地產生對上帝的敬畏和對自身渺小的輕視。但是這對於學習而言恐怕真不是好事。如果去看看牛頓同志有名的數學原理，那哪裡是分析學的教材？那基本上就是本幾何書嘛！而且針對的問題不但有物理具象，而且強烈依賴於幾何直觀；其後關於分析的邏輯基礎爭論很大，但是絲毫也不影響物理學家（我在此指的是處理非抽象的數學概念而是外在世界的客觀實體的那些科學研究者）拿著分析和級數做出了巨大的貢獻，而這時連級數收斂的概念也沒有呢！我個人倒是認為，在讓學生學習數學的基礎知識及其嚴密性的時候，如果能讓他們了解分析學的發展過程，明白一個概念的前世今生，可能更有助於讓他們理解和掌握一個概念和方法，以及這些概念和方法的局限。

其次從課程的授課教師上，基本上高等數學都是由數學系的教師來擔任授課。好處是他們受到的數學訓練正規且相對完整深入，但缺點在於，他們一來容易囿於自身的訓練經歷，同樣強調數學大廈目前的狀態而非其搭建的歷史，同樣強調數學的邏輯嚴密性而不夠重視與實用的結合，二來由於進行的是純數學的研究，對於工程問題以及數學概念及方法在工程問題中的具體的、可感知的、定性直觀的表象了解不足，三來就如同 @Yuhang Liu 知友以及其他覺得大學數學根本不抽象的朋友一樣，他們所受的訓練已經讓很多事情在他們看來是不言自明一目了然的了。當教師覺得一目了然而學生覺得不一目了然的時候，就是教學最頭疼的時候了，因為教師會覺得這個問題根本沒有解釋的必要，也根本無從解釋！

所以我個人認為，針對工科本科的數學教學，最好是由數學專業到研究生水平，然後轉向某個工程領域進行研究和工程實踐的老師來擔任；其次是具有豐富工程研究與實踐經驗，同時具有紮實的數學基礎，對本科水平的數學知識掌握良好的老師來擔任；最後實在不行，就應該是數學系的教師和廣泛的工程領域的研究者多交流、多探討，為工科數學教學提供更加豐富的工程案例。畢竟，對於工科學生，數學除了邏輯嚴密性方面的訓練，更重要的是提供解決問題的工具或掌握這些工具所需要的基本知識。而現在工科教育的結果是學生在面臨一個問題時，往往不知道有什麼數學工具可以使用，更不用說知道怎麼去用了。

抽象不抽象是相對的。

對你來說抽象的，對別人很具體。

差別在於

別人的基礎打得很紮實。從簡單到深入的逐個層級的概念和定理都理解透了。

所以下一步不覺得抽象。

而大多數人，較為簡單層次的抽象的概念和定理，其實都沒有真正理解。只是能說個大概。只算是知會而已。

越往後走，當然就越難了。

最後發現只能認識其中的漢字。

哈哈！

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順便說個吹牛逼的話：

給我100年時間，沒有我不能理解的數學定理。也許不用100年哦！

我不是數學工作者，但我見過的數學噴子多了，有必要介紹給你們一點學習的經驗。

題主想錯方向了，您之所以覺得高數難學，不是因為它抽象，而是因為多數參考資料都是垃圾。不是內容垃圾，內容都一樣，而是組織結構編排垃圾。

對於日常用不到高數的人來說，學高數用學英語的方法去學就行，辭彙量語法都比英語簡單得多，只不過數學沒有過級考試，多數人連這點功夫也不願意下。

對於經常需要造模的專業，不懂高數確實顯得太LOW。但許多人學起來又確實很痛苦。他們並非不願意努力，只是因為不得其法，教材又爛，越努力越痛苦，實在是堅持不下去。

這涉及到學習的內化機制。學習本身其實就是一種建模——在大腦內的建模。一個新的知識點就是一個任務，我們的任務是將它納入已有的知識體系，而不是把它拷貝到長期記憶中就完事。這就要讓新知識點與以往的知識點發生聯繫。

容易理解：連接線越密集，或者與主幹知識點聯繫越緊密，新知識點內化得越徹底。

問題就是如何建立這種聯繫。這就需要我們做思想實驗，用想像力建模。這個過程就像蜘蛛結網一樣，最痛苦的是第一步：第一根蛛絲什麼時候搭上線，取決於對面的附著點有多遠，很大程度上依賴運氣和長者的指點，後面就要快得多。而多數人就卡在這第一步上，最後腦袋裡留下的不是知識網路，而是一堆知識點連接線的斷頭，隨時有可能被大風颳得一點都不剩。

但您發現沒有？這個知識點內化的過程跟抽不抽象沒有任何關係。

不是因為抽象阻擋了你學習的熱情，而是因為你面對的學習資料本身就不是一張蜘蛛網，而是一堆亂線頭，是數學教師們應付職稱的破爛，你根本就沒法織到自己大腦里。你好不容易搭上了一條線，卻發現周圍空空如也，下一步還得從頭來，三番五次下來，對誰的學習熱情的打擊也是毀滅性的。

楊振寧把數學教材分成兩種，一種是一頁也看不下去的，一種是一行都看不下去的，這說明物理泰斗的眼光很毒，並非浪得虛名，對數學也看得很准。

而羅素只看了維特根斯坦論文的第一句話，就認定他是個天才，這說明數學泰斗的眼光也很毒，對哲學也看得很准。

如果你想用數學解決實際問題，就不要想三五年吃成個胖子以後一勞永逸，這是教數學的師範生才會幹的事。老愛弄廣相的時候是現學的黎曼幾何。

數學就是數學史，光指望個人的努力不行的。

MIT牛人解說數學體系

網址: http://www.penglixun.com/study/science/mit_math_system.html

目錄 (Contents) [隱藏 (Hide)]
1 為什麼要深入數學的世界 2 集合論：現代數學的共同基礎 3 分析：在極限基礎上建立的宏偉大廈 3.1 微積分：分析的古典時代——從牛頓到柯西 3.2 實分析：在實數理論和測度理論上建立起現代分析 3.3 拓撲學：分析從實數軸推廣到一般空間——現代分析的抽象基礎 3.4 微分幾何：流形上的分析——在拓撲空間上引入微分結構 4 代數：一個抽象的世界 4.1 關於抽象代數 4.2 線性代數：「線性」的基礎地位 4.3 泛函分析：從有限維向無限維邁進 4.4 繼續往前：巴拿赫代數，調和分析，和李代數 5 現代概率論：在現代分析基礎上再生

為什麼要深入數學的世界

作為計算機的學生，我沒有任何企圖要成為一個數學家。我學習數學的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的東西看得更深廣一些。說起來，我在剛來這個學校的時候，並沒有預料到我將會有一個深入數學的旅程。我的導師最初希望我去做的題目，是對appearance和motion建立一個unified的model。這個題目在當今Computer Vision中百花齊放的世界中並沒有任何特別的地方。事實上，使用各種Graphical Model把各種東西聯合在一起framework，在近年的論文中並不少見。

我不否認現在廣泛流行的Graphical Model是對複雜現象建模的有力工具，但是，我認為它不是panacea，並不能取代對於所研究的問題的深入的鑽研。如果統計學習包治百病，那麼很多「下游」的學科也就沒有存在的必要了。事實上，開始的時候，我也是和Vision中很多人一樣，想著去做一個Graphical Model——我的導師指出，這樣的做法只是重複一些標準的流程，並沒有很大的價值。經過很長時間的反覆，另外一個路徑慢慢被確立下來——我們相信，一個圖像是通過大量「原子」的某種空間分布構成的，原子群的運動形成了動態的可視過程。微觀意義下的單個原子運動，和宏觀意義下的整體分布的變換存在著深刻的聯繫——這需要我們去發掘。

在深入探索這個題目的過程中，遇到了很多很多的問題，如何描述一個一般的運動過程，如何建立一個穩定並且廣泛適用的原子表達，如何刻畫微觀運動和宏觀分布變換的聯繫，還有很多。在這個過程中，我發現了兩個事情：

我原有的數學基礎已經遠遠不能適應我對這些問題的深入研究。
在數學中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問題的，只是沒有被很多的應用科學的研究者重視。

於是，我決心開始深入數學這個浩瀚大海，希望在我再次走出來的時候，我已經有了更強大的武器去面對這些問題的挑戰。

我的遊歷並沒有結束，我的視野相比於這個博大精深的世界的依舊顯得非常狹窄。在這裡，我只是說說，在我的眼中，數學如何一步步從初級向高級發展，更高級別的數學對於具體應用究竟有何好處。

集合論：現代數學的共同基礎

現代數學有數不清的分支，但是，它們都有一個共同的基礎——集合論——因為它，數學這個龐大的家族有個共同的語言。集合論中有一些最基本的概念：集合(set)，關係(relation)，函數(function)，等價 (equivalence)，是在其它數學分支的語言中幾乎必然存在的。對於這些簡單概念的理解，是進一步學些別的數學的基礎。我相信，理工科大學生對於這些都不會陌生。

不過，有一個很重要的東西就不見得那麼家喻戶曉了——那就是「選擇公理」 (Axiom of Choice)。這個公理的意思是「任意的一群非空集合，一定可以從每個集合中各拿出一個元素。」——似乎是顯然得不能再顯然的命題。不過，這個貌似平常的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結論，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——「一個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉）後，能組合成兩個一樣大小的球」。正因為這些完全有悖常識的結論，導致數學界曾經在相當長時間裡對於是否接受它有著激烈爭論。現在，主流數學家對於它應該是基本接受的，因為很多數學分支的重要定理都依賴於它。在我們後面要回說到的學科裡面，下面的定理依賴於選擇公理：

拓撲學：Baire Category Theorem
實分析（測度理論）：Lebesgue 不可測集的存在性
泛函分析四個主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem

在集合論的基礎上，現代數學有兩大家族：分析(Analysis)和代數(Algebra)。至於其它的，比如幾何和概率論，在古典數學時代，它們是和代數並列的，但是它們的現代版本則基本是建立在分析或者代數的基礎上，因此從現代意義說，它們和分析與代數並不是平行的關係。

分析：在極限基礎上建立的宏偉大廈

微積分：分析的古典時代——從牛頓到柯西

先說說分析(Analysis)吧，它是從微積分(Caculus)發展起來的——這也是有些微積分教材名字叫「數學分析」的原因。不過，分析的範疇遠不只是這些，我們在大學一年級學習的微積分只能算是對古典分析的入門。分析研究的對象很多，包括導數(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級數(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分裡面都有介紹。如果說有一個思想貫穿其中，那就是極限——這是整個分析（不僅僅是微積分）的靈魂。

一個很多人都聽說過的故事，就是牛頓(Newton)和萊布尼茨 (Leibniz)關於微積分發明權的爭論。事實上，在他們的時代，很多微積分的工具開始運用在科學和工程之中，但是，微積分的基礎並沒有真正建立。那個長時間一直解釋不清楚的「無窮小量」的幽靈，困擾了數學界一百多年的時間——這就是「第二次數學危機」。直到柯西用數列極限的觀點重新建立了微積分的基本概念，這門學科才開始有了一個比較堅實的基礎。直到今天，整個分析的大廈還是建立在極限的基石之上。

柯西(Cauchy)為分析的發展提供了一種嚴密的語言，但是他並沒有解決微積分的全部問題。在19世紀的時候，分析的世界仍然有著一些揮之不去的烏雲。而其中最重要的一個沒有解決的是「函數是否可積的問題」。我們在現在的微積分課本中學到的那種通過「無限分割區間，取矩陣面積和的極限」的積分，是大約在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼積分。但是，什麼函數存在黎曼積分呢（黎曼可積）？數學家們很早就證明了，定義在閉區間內的連續函數是黎曼可積的。可是，這樣的結果並不令人滿意，工程師們需要對分段連續函數的函數積分。

實分析：在實數理論和測度理論上建立起現代分析

在19世紀中後期，不連續函數的可積性問題一直是分析的重要課題。對於定義在閉區間上的黎曼積分的研究發現，可積性的關鍵在於「不連續的點足夠少」。只有有限處不連續的函數是可積的，可是很多有數學家們構造出很多在無限處不連續的可積函數。顯然，在衡量點集大小的時候，有限和無限並不是一種合適的標準。在探討「點集大小」這個問題的過程中，數學家發現實數軸——這個他們曾經以為已經充分理解的東西——有著許多他們沒有想到的特性。在極限思想的支持下，實數理論在這個時候被建立起來，它的標誌是對實數完備性進行刻畫的幾條等價的定理（確界定理，區間套定理，柯西收斂定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——這些定理明確表達出實數和有理數的根本區別：完備性（很不嚴格的說，就是對極限運算封閉）。隨著對實數認識的深入，如何測量「點集大小」的問題也取得了突破，勒貝格創造性地把關於集合的代數，和Outer content（就是「外測度」的一個雛形）的概念結合起來，建立了測度理論(Measure Theory)，並且進一步建立了以測度為基礎的積分——勒貝格(Lebesgue Integral)。在這個新的積分概念的支持下，可積性問題變得一目了然。

上面說到的實數理論，測度理論和勒貝格積分，構成了我們現在稱為實分析 (Real Analysis)的數學分支，有些書也叫實變函數論。對於應用科學來說，實分析似乎沒有古典微積分那麼「實用」——很難直接基於它得到什麼演算法。而且，它要解決的某些「難題」——比如處處不連續的函數，或者處處連續而處處不可微的函數——在工程師的眼中，並不現實。但是，我認為，它並不是一種純數學概念遊戲，它的現實意義在於為許多現代的應用數學分支提供堅實的基礎。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：

黎曼可積的函數空間不是完備的，但是勒貝格可積的函數空間是完備的。簡單的說，一個黎曼可積的函數列收斂到的那個函數不一定是黎曼可積的，但是勒貝格可積的函數列必定收斂到一個勒貝格可積的函數。在泛函分析，還有逼近理論中，經常需要討論「函數的極限」，或者「函數的級數」，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。我們有時看一些paper中提到Lp函數空間，就是基於勒貝格積分。
勒貝格積分是傅立葉變換（這東西在工程中到處都是）的基礎。很多關於信號處理的初等教材，可能繞過了勒貝格積分，直接講點面對實用的東西而不談它的數學基礎，但是，對於深層次的研究問題——特別是希望在理論中能做一些工作——這並不是總能繞過去。
在下面，我們還會看到，測度理論是現代概率論的基礎。

拓撲學：分析從實數軸推廣到一般空間——現代分析的抽象基礎

隨著實數理論的建立，大家開始把極限和連續推廣到更一般的地方的分析。事實上，很多基於實數的概念和定理並不是實數特有的。很多特性可以抽象出來，推廣到更一般的空間裡面。對於實數軸的推廣，促成了點集拓撲學(Point- set Topology)的建立。很多原來只存在於實數中的概念，被提取出來，進行一般性的討論。在拓撲學裡面，有4個C構成了它的核心：

Closed set（閉集合）。在現代的拓撲學的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個概念是開區間和閉區間的推廣，它們的根本地位，並不是一開始就被認識到的。經過相當長的時間，人們才認識到：開集的概念是連續性的基礎，而閉集對極限運算封閉——而極限正是分析的根基。
Continuous function （連續函數）。連續函數在微積分裡面有個用epsilon-delta語言給出的定義，在拓撲學中它的定義是「開集的原像是開集的函數」。第二個定義和第一個是等價的，只是用更抽象的語言進行了改寫。我個人認為，它的第三個（等價）定義才從根本上揭示連續函數的本質——「連續函數是保持極限運算的函數」 ——比如y是數列x1, x2, x3, … 的極限，那麼如果 f 是連續函數，那麼 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的極限。連續函數的重要性，可以從別的分支學科中進行類比。比如群論中，基礎的運算是「乘法」，對於群，最重要的映射叫「同態映射」——保持「乘法」的映射。在分析中，基礎運算是「極限」，因此連續函數在分析中的地位，和同態映射在代數中的地位是相當的。
Connected set （連通集合）。比它略為窄一點的概念叫(Path connected)，就是集合中任意兩點都存在連續路徑相連——可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。在我看來，連通性有兩個重要的用場：一個是用於證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數拓撲，拓撲群論和李群論中討論根本群(Fundamental Group)的階。
Compact set（緊集）。Compactness似乎在初等微積分裡面沒有專門出現，不過有幾條實數上的定理和它其實是有關係的。比如，「有界數列必然存在收斂子列」——用compactness的語言來說就是——「實數空間中有界閉集是緊的」。它在拓撲學中的一般定義是一個聽上去比較抽象的東西——「緊集的任意開覆蓋存在有限子覆蓋」。這個定義在討論拓撲學的定理時很方便，它在很多時候能幫助實現從無限到有限的轉換。對於分析來說，用得更多的是它的另一種形式 ——「緊集中的數列必存在收斂子列」——它體現了分析中最重要的「極限」。Compactness在現代分析中運用極廣，無法盡述。微積分中的兩個重要定理：極值定理(Extreme Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以藉助它推廣到一般的形式。

從某種意義上說，點集拓撲學可以看成是關於「極限」的一般理論，它抽象於實數理論，它的概念成為幾乎所有現代分析學科的通用語言，也是整個現代分析的根基所在。

微分幾何：流形上的分析——在拓撲空間上引入微分結構

拓撲學把極限的概念推廣到一般的拓撲空間，但這不是故事的結束，而僅僅是開始。在微積分裡面，極限之後我們有微分，求導，積分。這些東西也可以推廣到拓撲空間，在拓撲學的基礎上建立起來——這就是微分幾何。從教學上說，微分幾何的教材，有兩種不同的類型，一種是建立在古典微機分的基礎上的「古典微分幾何」，主要是關於二維和三維空間中的一些幾何量的計算，比如曲率。還有一種是建立在現代拓撲學的基礎上，這裡姑且稱為「現代微分幾何」——它的核心概念就是「流形」(manifold)——就是在拓撲空間的基礎上加了一套可以進行微分運算的結構。現代微分幾何是一門非常豐富的學科。比如一般流形上的微分的定義就比傳統的微分豐富，我自己就見過三種從不同角度給出的等價定義——這一方面讓事情變得複雜一些，但是另外一個方面它給了同一個概念的不同理解，往往在解決問題時會引出不同的思路。除了推廣微積分的概念以外，還引入了很多新概念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近些年，流形在machine learning似乎相當時髦。但是，坦率地說，要弄懂一些基本的流形演算法，甚至「創造」一些流形演算法，並不需要多少微分幾何的基礎。對我的研究來說，微分幾何最重要的應用就是建立在它之上的另外一個分支：李群和李代數——這是數學中兩大家族分析和代數的一個漂亮的聯姻。分析和代數的另外一處重要的結合則是泛函分析，以及在其基礎上的調和分析。

代數：一個抽象的世界

關於抽象代數

回過頭來，再說說另一個大家族——代數。

如果說古典微積分是分析的入門，那麼現代代數的入門點則是兩個部分：線性代數(linear algebra)和基礎的抽象代數(abstract algebra)——據說國內一些教材稱之為近世代數。

代數——名稱上研究的似乎是數，在我看來，主要研究的是運算規則。一門代數，其實都是從某種具體的運算體系中抽象出一些基本規則，建立一個公理體系，然後在這基礎上進行研究。一個集合再加上一套運算規則，就構成一個代數結構。在主要的代數結構中，最簡單的是群(Group)——它只有一種符合結合率的可逆運算，通常叫「乘法」。如果，這種運算也符合交換率，那麼就叫阿貝爾群 (Abelian Group)。如果有兩種運算，一種叫加法，滿足交換率和結合率，一種叫乘法，滿足結合率，它們之間滿足分配率，這種豐富一點的結構叫做環(Ring)，如果環上的乘法滿足交換率，就叫可交換環(Commutative Ring)。如果，一個環的加法和乘法具有了所有的良好性質，那麼就成為一個域(Field)。基於域，我們可以建立一種新的結構，能進行加法和數乘，就構成了線性代數(Linear algebra)。

代數的好處在於，它只關心運算規則的演繹，而不管參與運算的對象。只要定義恰當，完全可以讓一隻貓乘一隻狗得到一頭豬:-)。基於抽象運算規則得到的所有定理完全可以運用於上面說的貓狗乘法。當然，在實際運用中，我們還是希望用它干點有意義的事情。學過抽象代數的都知道，基於幾條最簡單的規則，比如結合律，就能導出非常多的重要結論——這些結論可以應用到一切滿足這些簡單規則的地方——這是代數的威力所在，我們不再需要為每一個具體領域重新建立這麼多的定理。

抽象代數有在一些基礎定理的基礎上，進一步的研究往往分為兩個流派：研究有限的離散代數結構（比如有限群和有限域），這部分內容通常用於數論，編碼，和整數方程這些地方；另外一個流派是研究連續的代數結構，通常和拓撲與分析聯繫在一起（比如拓撲群，李群）。我在學習中的focus主要是後者。

線性代數：「線性」的基礎地位

對於做Learning, vision, optimization或者statistics的人來說，接觸最多的莫過於線性代數——這也是我們在大學低年級就開始學習的。線性代數，包括建立在它基礎上的各種學科，最核心的兩個概念是向量空間和線性變換。線性變換在線性代數中的地位，和連續函數在分析中的地位，或者同態映射在群論中的地位是一樣的 ——它是保持基礎運算（加法和數乘）的映射。

在learning中有這樣的一種傾向——鄙視線性演算法，標榜非線性。也許在很多場合下面，我們需要非線性來描述複雜的現實世界，但是無論什麼時候，線性都是具有根本地位的。沒有線性的基礎，就不可能存在所謂的非線性推廣。我們常用的非線性化的方法包括流形和kernelization，這兩者都需要在某個階段回歸線性。流形需要在每個局部建立和線性空間的映射，通過把許多局部線性空間連接起來形成非線性；而kernerlization則是通過置換內積結構把原線性空間「非線性」地映射到另外一個線性空間，再進行線性空間中所能進行的操作。而在分析領域，線性的運算更是無處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統計中的均值，通通都是線性的。

泛函分析：從有限維向無限維邁進

在大學中學習的線性代數，它的簡單主要因為它是在有限維空間進行的，因為有限，我們無須藉助於太多的分析手段。但是，有限維空間並不能有效地表達我們的世界——最重要的，函數構成了線性空間，可是它是無限維的。對函數進行的最重要的運算都在無限維空間進行，比如傅立葉變換和小波分析。這表明了，為了研究函數（或者說連續信號），我們需要打破有限維空間的束縛，走入無限維的函數空間——這裡面的第一步，就是泛函分析。

泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的線性空間，包括有限維和無限維，但是很多東西在有限維下顯得很trivial，真正的困難往往在無限維的時候出現。在泛函分析中，空間中的元素還是叫向量，但是線性變換通常會叫作「運算元」(operator)。除了加法和數乘，這裡進一步加入了一些運算，比如加入範數去表達「向量的長度」或者「元素的距離」，這樣的空間叫做「賦范線性空間」(normed space)，再進一步的，可以加入內積運算，這樣的空間叫「內積空間」(Inner product space)。

大家發現，當進入無限維的時間時，很多老的觀念不再適用了，一切都需要重新審視。

所有的有限維空間都是完備的（柯西序列收斂），很多無限維空間卻是不完備的（比如閉區間上的連續函數）。在這裡，完備的空間有特殊的名稱：完備的賦范空間叫巴拿赫空間(Banach space)，完備的內積空間叫希爾伯特空間(Hilbert space)。
在有限維空間中空間和它的對偶空間的是完全同構的，而在無限維空間中，它們存在微妙的差別。
在有限維空間中，所有線性變換（矩陣）都是有界變換，而在無限維，很多運算元是無界的(unbounded)，最重要的一個例子是給函數求導。
在有限維空間中，一切有界閉集都是緊的，比如單位球。而在所有的無限維空間中，單位球都不是緊的——也就是說，可以在單位球內撒入無限個點，而不出現一個極限點。
在有限維空間中，線性變換（矩陣）的譜相當於全部的特徵值，在無限維空間中，運算元的譜的結構比這個複雜得多，除了特徵值組成的點譜(point spectrum)，還有approximate point spectrum和residual spectrum。雖然複雜，但是，也更為有趣。由此形成了一個相當豐富的分支——運算元譜論(Spectrum theory)。
在有限維空間中，任何一點對任何一個子空間總存在投影，而在無限維空間中，這就不一定了，具有這種良好特性的子空間有個專門的名稱切比雪夫空間(Chebyshev space)。這個概念是現代逼近理論的基礎(approximation theory)。函數空間的逼近理論在Learning中應該有著非常重要的作用，但是現在看到的運用現代逼近理論的文章並不多。

繼續往前：巴拿赫代數，調和分析，和李代數

基本的泛函分析繼續往前走，有兩個重要的方向。第一個是巴拿赫代數 (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空間（完備的內積空間）的基礎上引入乘法（這不同於數乘）。比如矩陣——它除了加法和數乘，還能做乘法——這就構成了一個巴拿赫代數。除此以外，值域完備的有界運算元，平方可積函數，都能構成巴拿赫代數。巴拿赫代數是泛函分析的抽象，很多對於有界運算元導出的結論，還有運算元譜論中的許多定理，它們不僅僅對運算元適用，它們其實可以從一般的巴拿赫代數中得到，並且應用在運算元以外的地方。巴拿赫代數讓你站在更高的高度看待泛函分析中的結論，但是，我對它在實際問題中能比泛函分析能多帶來什麼東西還有待思考。

最能把泛函分析和實際問題在一起的另一個重要方向是調和分析 (Harmonic Analysis)。我在這裡列舉它的兩個個子領域，傅立葉分析和小波分析，我想這已經能說明它的實際價值。它研究的最核心的問題就是怎麼用基函數去逼近和構造一個函數。它研究的是函數空間的問題，不可避免的必須以泛函分析為基礎。除了傅立葉和小波，調和分析還研究一些很有用的函數空間，比如Hardy space，Sobolev space，這些空間有很多很好的性質，在工程中和物理學中都有很重要的應用。對於vision來說，調和分析在信號的表達，圖像的構造，都是非常有用的工具。

當分析和線性代數走在一起，產生了泛函分析和調和分析；當分析和群論走在一起，我們就有了李群(Lie Group)和李代數(Lie Algebra)。它們給連續群上的元素賦予了代數結構。我一直認為這是一門非常漂亮的數學：在一個體系中，拓撲，微分和代數走到了一起。在一定條件下，通過李群和李代數的聯繫，它讓幾何變換的結合變成了線性運算，讓子群化為線性子空間，這樣就為Learning中許多重要的模型和演算法的引入到對幾何運動的建模創造了必要的條件。因此，我們相信李群和李代數對於vision有著重要意義，只不過學習它的道路可能會很艱辛，在它之前需要學習很多別的數學。

現代概率論：在現代分析基礎上再生

最後，再簡單說說很多Learning的研究者特別關心的數學分支：概率論。自從Kolmogorov在上世紀30年代把測度引入概率論以來，測度理論就成為現代概率論的基礎。在這裡，概率定義為測度，隨機變數定義為可測函數，條件隨機變數定義為可測函數在某個函數空間的投影，均值則是可測函數對於概率測度的積分。值得注意的是，很多的現代觀點，開始以泛函分析的思路看待概率論的基礎概念，隨機變數構成了一個向量空間，而帶符號概率測度則構成了它的對偶空間，其中一方施加於對方就形成均值。角度雖然不一樣，不過這兩種方式殊途同歸，形成的基礎是等價的。

在現代概率論的基礎上，許多傳統的分支得到了極大豐富，最有代表性的包括鞅論 (Martingale)——由研究賭博引發的理論，現在主要用於金融（這裡可以看出賭博和金融的理論聯繫，:-P），布朗運動(Brownian Motion)——連續隨機過程的基礎，以及在此基礎上建立的隨機分析(Stochastic Calculus)，包括隨機積分（對隨機過程的路徑進行積分，其中比較有代表性的叫伊藤積分(Ito Integral)），和隨機微分方程。對於連續幾何運用建立概率模型以及對分布的變換的研究離不開這些方面的知識。

網址: http://www.penglixun.com/study/science/mit_math_system.html

哪有什麼抽象，無非是用複雜的語言把motivation包裝起來顯得更嚴謹更統一更便於使用罷了

巧了，不只數學，還有個學科也常用抽象——面向對象的程序設計。

簡要介紹一個知識點：類。

有一類物體，他有一類屬性，我們能對這類物體進行一些操作。

擁有這些屬性的特定物體叫對象。

例：我有一蘋果A，該蘋果是"蘋果類"的一個對象，而蘋果A屬於"蘋果類"。

同樣的，我再拿來一個蘋果B，蘋果B是與蘋果A不同的另一個對象，但是它依舊屬於"蘋果類"。

再談抽象：

將兩個不同類物體的共有特性提取出來，就可以稱該過程為抽象。

例：蘋果類和梨類可以經過抽象得到水果類。

說了這麼多，想說的只有一個：

不要隨便用抽象這個詞，抽象的對立面是混沌！

你的問題不是不能理解抽象。

你的問題在於找不到對象！

通俗地說：舉不出例子。

僅僅是舉不出例子而已，不要對自己的抽象思維能力自暴自棄啊。

拿複變函數舉例。

有一個公式叫卷積公式。

額，什麼反轉對稱，完全不懂。

但是拿一些個例子來說：

http://www.zhihu.com/question/22298352

秒懂！

上述案例的高票答案中的例子，就是"加權疊加問題類"下屬子類"離散型函數變數的加權疊加問題類"的一個對象，除此之外還有一個同級別的"連續型函數變數的加權疊加問題類"及其對應對象。隨便換一組數據，就會得到一個新的對象。

教材看不明白不要急，趕緊想個能符合公式的例子。想不出來就不想了，直接去網上找包含具體數據的例子。

也就是"找對象"！

以上。

剛才贊同了一個回答,因為"之所以你不知道，是因為你學得還不夠多。"。

你覺得1 +1 不抽象了，但實際上幼兒園的小孩還是不明白，這就是他沒有任何知識體系可以參照。當你在本科時建立一種知識體系後，再學習新的知識，有時會感覺到自己在用原有體系進行理解。

為了不再抽象，可以試試找些相關知識的應用來看，「囫圇吞棗」是個不錯的方法，一是知識的沉澱過程，重要的是用應用來實例化你的知識，一個不恰當的比喻：蓋房子四面牆一起蓋，會更早看到房子的輪廓吧。

不過大學似乎沒提供這樣的方法和時間，所以最好的方法就是多做題然後考試。

其實你認為的「實體」也是一種抽象。抽象的程度有差異。

我和很多答主的感受相同啊，有些東西比較抽象的時候真的得靠自己悟，有時候別人會以一些比較具象的事物給你類比，來輔助理解，但是隨著學習的一步步深入，或者說大腦對知識梯度的進一步封裝和層級化，有些時候第一次聽不懂，回去自己慢慢琢磨，總會慢慢琢磨透的。

我覺得知識體系就是這樣通過一步步的類比具象然後又抽象封裝來架構出來的。

除了個別答主，之前好多show off的都排起隊來了:

我不敢告訴你如何應付「抽象與具體」，因為我本人遠沒有達到能fight with void的境界，但我可以說一下自己如何力圖避免走彎路的。

沒入門太深的數學，多算幾個例子就好了。比較深入的數學，得多找找例子。

我們沒事兒的時候就在黑板上演算或者推定理，給其他人解釋自己的理解。很多情況下發現，寫了一黑板的推論會有好多的fallacies。那麼第二天就推倒再來。

對概念熟悉且掌握了幾個例子後，你的數學水平就上升了一層。不過我認為，理解數學和理解其它事物也沒有太大差別，不要被那些虛張聲勢的概念嚇到就好（這也是我試圖convince自己的，因為走過的路就不會太可怕）。

將這個抽象實例化

給高贊補個圖

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信號與系統第三版-北理工出版社

複變函數和積分變換的具體應用可以參考電路原理和信號與系統兩本教科書。