已知平均值、標準差、數據總數，如何求這組數據的最大值和最小值？

01-07

問題背景是這樣，想要已知一組數據和它的平均值，來判斷它的標準差計算是否正確。目前只能通過觀察數據的離散程度來判斷過於不靠譜的標準差。如果在知道數據組數、平均值的條件下，假設標準差正確，反推數據，能否得到這組數據可能的最大值或者最小值？

這個問題挺有趣的。我動筆算了下，不一定正確。

題主問題是給定標準差，平均值，數據個數，這組數據中可能的最大值和最小值是多少。也就是一個求上下確界的問題。 @niaocu 說的用Chebyshev inequality肯定是不行的，因為Chebyshev inequality跟上下確界沒有關係。

我們讓組數據為 $left{ x_{i} ight} _{i=1}^{n}$ ，令 $z_{i}=frac{x_{i}-ar{x}}{sqrt{left(n-1 ight)}s_{d}}$ ， $ar{x},s_{d}$ 分別是平均值、標準差。那麼問題轉化為：

求 $maxleft(max_{1leq ileq n}left|z_{i} ight| ight)$ ，使得：

$sum z_{j}=0$ ，以及 $sum z_{j}^{2}=1$

我們可以令 $z=left(z_{1},z_{2},...,z_{n} ight)$ ，然後最大化 $z_{1}$ 就行了。

為方便，我們讓 $e_{1}=left(1,0,0,...,0 ight) , mathbf{1}=left(1,1,1,...,1 ight)$

考慮到最大化 $z_{1}=zcdot e_{1}$ ，其實是相當於最小化 $z$ 和 $e_1$ 的距離，因為 $leftVert z-e_{1} ightVert ^{2}=leftVert z ightVert ^{2}+leftVert e_{1} ightVert ^{2}-2zcdot e_{1}$

所以我們改求，

$minleftVert z-e_{1} ightVert ^{2}$ 使得 $leftVert z ightVert ^{2}=1 , zcdotmathbf{1}=0$

令Lagrangian $L=leftVert z-e_{1} ightVert ^{2}+lambdaleft(zcdotmathbf{1} ight)+muleft(leftVert z ightVert ^{2}-1 ight)$

對z 求向量導數讓其=0，加上那兩個約束方程，求解就行了。

最後解得，

$z=pmsqrt{frac{n}{n-1}}left(e_{1}-frac{1}{n}mathbf{1} ight)$

相應的，最大偏離值為 $z_1=pmsqrt{frac{n-1}{n}}$ 。

代回就可以得到 $x_{1}=ar{x}pmfrac{n-1}{sqrt{n}}s_{d}$ 。這就是可能存在的最大最小值。

謝邀！

如果數據是正態分布（或近似正態），那麼根據『經驗法則（empirical rule），或者叫 68-95-99.7 法則（https://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7_rule）』可知，99.7%（幾乎全部）的數據在均值左右3個標準差範圍內，也就是可以用
均值±3×標準差

大致判斷最大值和最小值。
來源："Empirical Rule" by Dan Kernler - Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Commons - File:Empirical Rule.PNG
如果數據分布未知，那麼根據『切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）』，至少有93.75%的數據在均值左右4個標準差範圍內，或更保守一點——至少有96%的數據在均值左右5個標準差範圍內，那麼把上述式子的3換成4或者5，同樣可以大致推測下最大和最小值的範圍。如果願意，最保守的最大值和最小值估計是均值左右的10個標準差範圍，99%的數據都在其中，但估計的誤差範圍如果太大，就算能夠信心滿滿也是然並卵：我有99.99%把握你的身高在50cm-250cm之間，但這有意義嗎?
附表：切比雪夫不等式——至少（多）有%的數據在均值左右k個標準差範圍內（外）
來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality

強答一發——不知是否可以這麼理解，大多數數據（99.7%）都在正負3個標準差內，也就是說最大值和最小值之間相隔6個標準差的距離，不知這樣算出的大致的極差是否可行，請大牛指證。。。

恐怕解出來這個問題對你原問題幫助也不大，不如你多描述下原問題是怎麼回事

這個問題有點複雜，反正以我淺薄的數學知識而言，應該是不能

哈哈哈