在n維空間中有s條直線，那麼它們之間最小的夾角最大可以達到多少？

01-07

比如2維平面上的s（s&>=2）條直線，答案應該就是pi/s。由於s&<=n時可以找到兩兩正交的直線，因此主要考慮s&>n的情況。關鍵是如何擴展到n維空間當中

每條直線可以用一個n維單位向量表示（假定其過原點，因為平移不改變夾角），則s條直線組成一個n x s的矩陣 $A=left[ m{a_{1};a_{2};...;a_{s}} ight]$ 。

矩陣A的互相干(Mutual-coherence)定義為 $mu (A)=max_{1leq i,jleq s,i e j}{frac{left| m{a_{i}}^{T} m{a_{j}} ight| }{left| left| m{a_{i}} ight| ight|_{2} left| left| m{a_{j}} ight| ight|_{2}}}= max_{1leq i,jleq s,i e j}cos heta_{ij}=cos heta$ , $heta$ 就是題主關心的最小的夾角。因此，原問題變成了矩陣論中的互相干最小問題。

對於一般的n x s矩陣，互相干的取值範圍 $sqrt{frac{s-n}{n(s-1)} } leq mu leq 1$ ，也就是說 $heta$ 的上界就是 $acos(sqrt{frac{s-n}{n(s-1)} } )$ ，達到這個上界的矩陣叫做 Grassmannian Frames。

遺憾的是Grassmannian矩陣的構造方法並不容易，而且對於有些n和s，Grassmannian矩陣未必存在，具體構造方法可以參考http://users.cms.caltech.edu/~jtropp/slides/Tro04-Equiangular-Talk.pdf, 以及Michael Elad的《Sparse and redundant representations》的第2.3節。

考慮 n-dim 空間中有多少直線兩兩夾角至少為 $alpha$

n-dim 單位球的表面積是 $frac{2pi^{frac{n}2}}{ Gamma(frac{n}{2}) }$ ，每條過球心直線於球交於兩點

每條直線周圍 $alpha/2$ 角度是「私有的」，其中在單位球面上的面積至少是兩個 (n-1)-dim 半徑 $sin(alpha/2)$ 球的體積，即 $frac{2pi^{frac{n-1}2}}{ Gamma(frac{n-1}{2}+1) } (sin(alpha/2))^{n-1}$ 。由於單位球面面積有限，最多有 $frac{ Gamma(frac{n+1}{2}) sqrt{pi}}{ Gamma(frac{n}{2}) (sin(alpha/2))^{n-1}}$ 條直線

每條直線覆蓋了周圍 $alpha$ 角度，沒有被覆蓋的部分可以添加新的直線。每條直線覆蓋了單位球面上的面積至多是兩個 (n-1)-dim 半徑 $analpha$ 球的體積，即 $frac{2pi^{frac{n-1}2}}{ Gamma(frac{n-1}{2}+1) } ( analpha)^{n-1}$ 。故在已有 $frac{ Gamma(frac{n+1}{2}) sqrt{pi}}{ Gamma(frac{n}{2}) ( analpha)^{n-1}}$ 條直線之前一定有空間添加新的直線

綜上 $frac{ Gamma(frac{n+1}{2}) sqrt{pi}}{ Gamma(frac{n}{2}) ( analpha)^{n-1}} leq s leq frac{ Gamma(frac{n+1}{2}) sqrt{pi}}{ Gamma(frac{n}{2}) (sin(alpha/2))^{n-1}}$

對於較小的 $alpha$，我估計低維時會接近上界，高維時會接近下界

這個不是Sphere Packing嗎？

http://neilsloane.com/packings/index.html

The Problem Place n points on a sphere in d dimensions so as to maximize the minimal distance (or equivalently the minimal angle) between them.

我不知道最小的夾角有多少，不過如果換一個方向考慮問題的話，給定夾角a，問最多有多少條直線使得兩兩夾角大於a。那麼對充分大的n，最多條數 $sge exp (c(a)n )$ ,c為關於a的常數。

證明思路大概是考慮s個n維正態分布，然後算兩兩相關係數絕對值大於a的概率，最後對 $inom s 2$ 配對方式取union bound。如果概率小於1則說明存在這樣的s條直線的取法。

有點類似這個答案N個隨機變數之間的相關性兩兩小於0.7 ？ - Jianchi Chen 的回答

N維歐式空間中『曲線』、』『超曲面』的擬合怎麼來做，用什麼理論知識？做出的結果從統計角度如何評價？有什麼具體的描述方法？

等下，讓我拿個放大鏡看下

把直線看做球面（更嚴格應該是射影空間）上的點，之間的夾角看做點與點之間的距離。這個問題可以反過來看，給定一個數h，可以找到多少個點兩兩之間距離大於好。不過這個只能給出一些上下界估計。我相信個數比較少時應該可以找到最優構型，個數很多的時候可能也可以得到很好的估計，最麻煩的應該是在這中間的。

首先在空間中應該呈現的是一種均衡的狀態，於是將這n條直線想像成n條等長的線段，它們的中點交於一點。於是就能構造出正多面體，比如n=3則能構造成正8面體，於是對應是90度。然而我的腦細胞只夠維持我走到這一步，笑哭