求推薦適合自學的複分析教材（學過複變函數）?

01-07

Complex Analysis

學習複分析也已經很多年了，七七八八的也讀了不少的書籍和論文。略作總結工作，方便後來人學習參考。複分析是一門歷史悠久的學科，主要是研究解析函數，亞純函數在復球面的性質。下面一一介紹這些基本內容。

（1）提到複變函數，首先需要了解複數 (Complex Numbers) 的基本性質和四則運算規則。怎麼樣計算複數的平方根，極坐標與xy坐標的轉換，複數的模之類的。這些在高中的時候基本上都會學過。

（2）複變函數自然是在複平面上來研究問題，此時數學分析裡面的求導數之類的運算就會很自然的引入到複平面裡面，從而引出解析函數 (Holomorphic Functions / Analytic Functions) 的定義。那麼研究解析函數的性質就是關鍵所在。最關鍵的地方就是所謂的Cauchy—Riemann公式，這個是判斷一個函數是否是解析函數的關鍵所在。

（3）明白解析函數的定義以及性質之後，就會把數學分析裡面的曲線積分 (Line Integrals) 的概念引入複分析中，定義幾乎是一致的。在引入了閉曲線和曲線積分之後，就會有出現複分析中的重要的定理：Cauchy積分公式 (Cauchy』s Integral Formula)。這個是複分析的第一個重要定理。

（4）既然是解析函數，那麼函數的定義域 (Domain) 就是一個關鍵的問題。可以從整個定義域去考慮這個函數，也可以從局部來研究這個函數。這個時候研究解析函數的奇點 (Singularity) 就是關鍵所在，奇點根據性質分成可去奇點 (Removable Singularity)，極點 (Pole)，本性奇點 (Essential Singularity) 三類，圍繞這三類奇點，會有各自奇妙的定理。

（5）複變函數中，留數定理 (Residue Theorem) 是一個重要的定理，反映了曲線積分和零點極點的性質。與之類似的幅角定理也展示了類似的關係。

（6）除了積分，導數也是解析函數的一個研究方向。導數加上收斂 (Convergence) 的概念就可以引出 Taylor 級數 (Taylor Series) 和 Laurent 級數 (Laurent Series) 的概念。除此之外，正規族 (Normal Families) 裡面有一個非常重要的定理，那就是Arzela定理。

（7）以上都是從分析的角度來研究複分析，如果從幾何的角度來說，最重要的定理莫過於 Riemann 映照定理 (Riemann Mapping Theorem)。這個時候一般會介紹線性變換，就是 Mobius 變換 (Mobius Transforms)，把各種各樣的單連通區域映射成單位圓。研究 Mobius 變換的保角和交比之類的性質。

（8）橢圓函數 (Elliptic Functions)，經典的雙周期函數 (Double Periodic Functions)。這裡有 Weierstrass 理論，是研究 Weierstrass 函數的，有經典的微分方程，以及該函數的性質。以上就是複分析或者複變函數的一些課程介紹，如果有遺漏或者疏忽的地方請大家指教。

推薦書籍：

（1）Complex Analysis，3rd Edition，Lars V.Ahlfors

（2）Complex Analysis，Elias M. Stein

台灣國立交通大學吳培元老師的視頻可以下載：

http://ocw.nctu.edu.tw/course_detail_4.php?bgid=1gid=1nid=15#.WHBXAJL_rIU

使用的教材是：

Complex Variables and Applications,James Ward Brown Ruel V. Churchill,6th edition, McGraw-Hill, 1996.

推薦一個上課視頻，湖州師範學院劉太順教授的國家精品課程複變函數，愛課程網上有，可以下載手機app，他原來是中科大的教授博導。劉太順和史濟懷寫的複變函數論教材也是不錯的。

http://www.zhihu.com/question/21596674/answer/19101682