如何理解賭徒謬誤和大數定律的關係？

01-07

賭徒謬誤（Gambler"s Fallacy）：亦稱為蒙地卡羅謬誤，是一種錯誤的信念，以為隨機序列中一個事件發生的機會率與之前發生的事件有關，即其發生的機會率會隨著之前沒有發生該事件的次數而上升。如重複拋一個公平硬幣，而連續多次拋出反面朝上，賭徒可能錯誤地認為，下一次拋出正面的機會會較大。
大數定律：通俗地說，這個定理就是，在試驗不變的條件下，重複試驗多次，隨機事件的頻率近似於它的概率。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上本來是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬次以後，我們就會發現，硬幣每一面向上的次數約佔總次數的二分之一。偶然中包含著某種必然。以上參考百度百科。
最近沉迷彩票，免不了研究走勢，總覺得前面沒出現的數字越往後越容易出現…然後了解了這兩個概念，猛然醒悟，但是還是不能完全理解。
我愚昧的認為，賭徒謬誤應用的就是大數定律，而且看了定義也沒能理解為什麼說賭徒謬誤是錯的

就以拋硬幣為背景來討論。設拋n次後，正面比反面多 $S_n$ 次。

大數定律說的是 $S_n/n$ 趨於0，而很多賭徒認為的是 $S_n$ 趨於0。

事實上， $S_n$ 的期望的確一直是0，但方差卻隨n在增大。

第一次拋硬幣，正反概率是多少？各二分之一吧？對於獨立重複實驗，拋過十次，百次，千次，萬次乃至億次之後，再拋下一次，無論之前結果如何，對新的一次的結果都沒有影響，換句話說，就是：

每一次都是第一次，

即Tomorrow is another day，亦是每一次發現都是新感覺，每一次流淚也都是頭一遭。

大數定律的通俗解釋是說隨機事件的頻率近似於它的概率，注意是近似於而不是等於，這兩者的差距比直觀想像的差距要大的多的多的多，哪怕你扔十億次是五億次正五億次反，也只能叫近似於而不是等於。定理中提到了充分大，但是，充分大不是無窮。

假設我們用一萬張紙蓋在一萬個五千正五千反的硬幣上，每次掀開一張紙，如果一直是正面，那麼下一次是反面的概率越來越大，如果掀開五千次全是正，那麼第五千零一次是反的概率是1，但是連續扔硬幣一萬次和我們的假設並不等價——它等價的是我們有無窮多的硬幣。

在假設中，每掀開一次正面，硬幣總數就減少一次，同時反面的次數沒有減少，因此下一次反面的概率增大。但在充分多的情況下，出現一次正面，正面的硬幣並沒有減少，總數也沒有減少，反面的總數也沒有減少。為什麼？因為總數是無窮多，在無窮多的正反未知的硬幣中去掉一個，十個，一百個，一千個，一萬個，一億個正面的硬幣之後，剩下的仍然是和原來一模一樣的無窮多，仍然是正反各半。

賭徒謬誤是試圖應用大數定律，但是，這是錯誤地應用大數定律，把無限的情況當成有限的情況分析，沒有認識到無限減去任意常數（哪怕是我們直觀上認為很大的天文數字）仍然是無限。正是：

題回答底

山外青山樓外樓，賭博彩票幾時休？

獎金誘得彩民醉，直把無窮當有窮。

——哈哈笑笑生

賭徒謬誤的研究對象，是第（n+1）次。實際上每次拋硬幣結果之間是無關的，賭徒認為，前n次反多，那麼第（n+1）次正的可能性大，這樣才符合大數定律的頻數趨近概率。

事實上拋了很多次之後，第n+1次的結果對總體頻數影響非常小，就算正反概率一樣，也是符合大數定律的。

實名反對王海波的回答。

剛才寫了一個很長的答案試圖反駁，但是想了想覺得沒必要於是刪了。換個簡單點的反駁吧：

相信宿命論的話，概率就只有0和1兩種，根本不會出現「這次投出正面的話下次出現正面的概率會小一點」的可能性。

這麼想吧，扔出了000000，下一個是1的概率很大？這是在假設未來會以多6個1來補償這連續六個0的心態，那麼000000x11111111111111111111111……儘管只扔了6次，能不能認為下一次甚至後面連續一千次都是0來補償未來的那很多個1呢？

可能表達的不是很清楚，希望明白的人來補充下

大數定律認為，如果你連著投了十個正面，這個硬幣投出正面的概率很可能大於投出反面的概率，因此下一次還是正面。

賭徒謬誤認為，如果你連著投了十個正面，你用光了這個硬幣投出正面的機會，所以下一次是反面。

二者怎麼會一樣？

我個人的理解是，雖說我們知道每次事件都是獨立的且你在估計第n+1事件的概率，但是，在心裡，你是在比較「小小小小小小小小」（極端事件）和「小大小大小大小大」或「大大大大小小小小」（你心目中的「理想分布」但實則還是極端事件）。前者看似極端，而後者你覺得「自然一點」是因為「大」和「小」出現的比是1:1。

看了上面的回答，總結一下，其實就是兩個前提條件能否達到的問題：

1、試驗次數是否無窮

2、試驗是否獨立

理論上來說，次數是無窮的，獨立的，那麼就會有賭徒謬誤

現實中，上面的前提肯定不可能，那麼不是無窮，而且不是獨立，那麼是可以賭一把的，例如股市，老虎機

如你生了九個女兒你認為你下次就很可能生個兒子嗎？那是你將十個孩子打包成一個事件看待……

假設到現在為止，頻率的確偏離了概率值，只要之後進行足夠次試驗，之後試驗的頻率幾乎就不會受之前試驗頻率的影響。換言之，任何一段有限次的試驗的頻率對於足夠多次的試驗的頻率是幾乎沒有影響的。因此大數定律是說總頻率趨近於概率值，並不需要考慮之前試驗的頻率值，因為任何已發生的，對之後足夠多次試驗的頻率值是沒影響的。

最簡單的。你的嘗試次數太少啦。。

上帝真的擲骰子嘛？不同意以上的所有人的看法，希望大家能仔細往下看。

觀點: 賭徒謬誤不一定是謬誤，至少現在證明不了。

解釋: 如果投幣的結果是計算機中的一張偽隨機表，那麼連續五次正面之後，隨機表中正面的個數少了，反面就多了，就不能構成獨立實驗了。所以賭徒謬誤就不是謬誤。

因: 測不準原理支撐著賭徒謬誤，讓數學家們覺得真的存在獨立實驗；獨立實驗說的是做實驗的次數不干擾實驗結果，但是實際上真的有可能干擾實驗結果，至少現在人類無法確定。而數學中的獨立實驗是純粹的定義，並不是實際，千萬別被誤導，其他人的回答基本都陷在數學界了。。。

如果現實，真的就是一張偽隨機表，呵呵賭徒謬誤還是謬誤么?

隱變數: 它詮釋的意義是十分重大的，因為如果它是真的，那麼人類物理學就可以擺脫無法精確預知微觀粒子演化的這種尷尬境地了，也就是說未來可以預測，不是上帝擲骰子

賭徒謬誤的問題在於把一次隨機實驗與之前的實驗結合起來計算概率。或者這樣說，給我一個只能產生0，1的隨機數生成器，產生000000的概率是1/2^6，所以賭徒認為自己已經輸了5把輸第六把的概率很小。但對他而言，前五次實驗的結果已然確定。那麼他進行六次實驗的話只有兩種可能，000000或者000001，這兩種結果出現的幾率相同。那麼他輸或者贏的概率都是1/2。

應該不會更難理解吧。。。