想找一本能夠從最基本的公理開始寫的數學分析教材，最好能體現數學思維和邏輯推理的，大家有沒有推薦？

01-07

學校的高等數學無力吐槽，老師也不知所云，感覺存粹就是為了應付考試。雖然考完了分數很高，但覺得完全沒有學到東西。想想數學這麼美妙的東西被糟蹋成這樣就很不爽，想找一本教材自己慢慢磨，不要我們現在大學教材那種只有各種公式的堆砌和演算，不注重數學思維和數學方法。最好是能從公理出發進行不斷推理的，謝謝大家了！

陶哲軒《實分析》非常值得一看，從自然數講到Lebesgue積分。

布爾巴基學派的書，你自己一搜就知道了

卓里奇、陶哲軒、盧丁

註：三者皆需刷題方可學到知識。

我個人覺得陶哲軒實分析是最好的答案了，這也是我自己最喜歡的分析學教材

這本書是從Peano公理開始逐步構建實數系，而且我覺得這本書也挺好讀的，非常值得一看。

不過讀這本書的時候最好要記著Landau的名言

（事實上我覺得讀任何一本從最基本公理開始的書都應該這樣）

忘掉你中學時學到的一切吧，你並沒有學懂它們。

說到從最基本的公理開始寫的數學分析教材，如果對20世紀初的數學史有了解的話，布爾巴基學派的皇皇巨著《數學原理》這是起源於該學派成員試圖寫一本這種教材的嘗試。

但是，我並不建議題主去看布爾巴基：

1，它太厚，且現在的編排已經遠遠背離了其作為數學分析教材的初衷，而成為一個包羅萬象的百科全書式讀物。這點從維基百科上面的目錄不難看出來。

2，其第一卷「集合論」寫得並不好，不但將集合論寫得晦澀難懂，而且在本卷中建立的一般框架並不是對布爾巴基學派「數學結構主義」觀點的合理的嚴格化，也沒能運用於《數學原理》的其餘部分：在其餘部分中，「數學結構」是以一種指導思想的面貌出現，而非一種嚴格的數學語言。

3，對「數學結構」的正確嚴格化需要用到範疇論，但《數學原理》中並沒有包含這部分知識（儘管其思想無處不在）。

如果是想找類似布爾巴基式《數學原理》的書的話，建議看Eric Schechter的《Handbook of Analysis and Its Foundations》。這本書的的構成邏輯與布爾巴基可謂一脈相連，但作為數學分析教材，與《數學原理》相比，有以下優點：

1，本書雖然是一本手冊，看似內容龐雜。但作者在資料上求全的同時也照顧了讀者自學：如果按照作者建議的閱讀順序，是可以在避免陷入過多細節的前提下領略現代分析學的一些風光。

2，與《數學原理》蹩腳的第一卷不同，本書雖然介紹了遠遠超出通常教學需要的集合論知識（不僅講了樸素集合論和ZFC，還講了構造性數學和模型論），但詳略得當，且採用了一些現代觀點以兼顧直觀與嚴謹。

3，本書只引入了學習分析學必要的代數知識，避免了在與分析學關係不大的內容上花費太多篇幅。

4，本書採用了範疇語言來表述「數學結構主義」觀點，取《數學原理》之精華。

附：nLab上的介紹：Handbook of Analysis and its Foundations in nLab

Apostol 數學分析

Dieudonné Treatise on analysis

最典型的這麼寫的數學分析教科書應該就是陶哲軒的《Analysis》了，絕對從最基礎的公理講起……

你們不知道老毛子的數學很厲害嗎？雖然現在工業頹廢了點，但是對數學的執著依然是讓人肅然起敬的，看看老毛子們寫的書，真替小毛子們捏了一把汗，這絕對是毒藥啊，我不吃了，包個糖衣扔給你們;-)，好好學，數學大有用處，摸摸頭,《華章數學譯叢》也非常優秀！！！

《數學原本》（éléments de mathématique）

陶哲軒的Analysis(英文版，底部有圖有驚喜)。我最開始是看中文版的，發現有點生硬，就去找了英文版的pdf，自己列印出來看，然後就是一句話：holy shit! 閱讀時的感覺完全是另一種境界了好嗎？此書語言比較口語化(絕不是說不嚴謹，相反，嚴格的證明是本書的特點)，把數學大廈是如何構建的過程娓娓道來，樸實無華卻又處處顯示著陶的智慧，同時，作為數學教育者，陶是非常注重啟發性教育，把大量的公理的證明放到了習題中。這些好處我不必多說，去讀一讀這本書就能體會到了。

最後，強烈建議讀英文版的，書中有類似"Don"t laugh!", "get for free"等這樣的"俏皮話"，我覺得不管翻譯的多好，必定無法保留其原汁原味了，對於這種好書來說，it"s kind of a loss。

ps: 英文版的據說沒在大陸發行(我也很好奇啊，為什麼翻譯版的都發行了，原版卻不發行，=_=)，恰好我們學校買了出版社的下載，個人習慣的原因，我不太喜歡長時間看屏幕，就列印出來了，自己裝訂然後包的透明膠帶，圖在最下面......由於釘子太小，需要分開訂，這樣的分冊一共有六本。列印六百多頁，老闆給我優惠八分一張，一共也就不到五十塊，丑是丑了點，but who cares ?

你如果真的想認真的學習數學，推薦你在學分析之前，看一下董延闓寫的這兩本書：

1. 《基礎集合論》

2. 《數系—從自然數到複數》

《基礎集合論》詳細的講解整個數學大廈的基石：ZFC公理系統，告訴你中學數學的各個基本概念（函數、數列、笛卡爾積、數學歸納法、遞推...等等）的嚴格定義（知道嗎，數學歸納法和遞推法都是需要被證明的定理），告訴你怎麼從「空集」構造出自然數，告訴你兩個無窮集怎麼比較大小，使你的思維和眼界從高中水平升至大學水平（並且可能比一般的大學生更深刻），並建立堅實的數學基礎。

《數系—從自然數到複數》

在自然數的基礎上一步步構造出實數，因為實數理論是數學分析的基礎，所以哪本分析教材都會講實數，但講得都不透徹，所以建議你讀這本書。

（這兩本書的pdf我都，可以私信我，或者去網上搜索）

然後，可以開始學習數學分析，推薦《陶哲軒實分析》

陶哲軒實分析不少人推介了，很值得研究一下。多幾本參考的話：

小平邦彥的《微積分入門》，實數部分推導很詳細。

辛欽的《數學分析八講》可以從一個總體上的角度看，學高數時的一些疑問會有答案的。

Tom M Apostol的Mathematical Analysis 也是典型的從數學角度討論。

要對分析理解好，拓撲方面也值得研究一下。點集拓撲學方面的書一找多了。有一定感覺後就知道哪些書是好的了，結合習題總會有所收穫。

數學是個整體，看看柯朗的What is Mathematics也不錯。

另外我覺得工科的線性代數教法也有問題，找一些參考書會好些。

考慮到題主只是學了高數後不開心又沒有真的自己去看數分教材，還是推薦Baby Rudin和P大張築生老師的《數學分析新講》吧。後一套沒有習題，需要配合別的教材（但不是吉米多維奇）食用~

Baby Rudin：Principles of Mathematical Analysis (豆瓣)

數學分析新講：

數學分析新講（第一冊） (豆瓣)

數學分析新講（第二冊） (豆瓣)

數學分析新講（第三冊） (豆瓣)

老毛子的書應該可以滿足你的要求吧。我看過卓里奇（第一卷），第二卷還沒看。一開始講了些集合論里的內容，也講了實數的定義。推薦看這個！！！但是一開始學數分就看這個有些難，我是二刷的，仍感覺有些難。

還有就是我們科大出的史濟懷的數學分析教程，因為是我們的教材，所以我看得很認真，感覺這本書很良心。

簡明數學分析郇中丹高教出版社

樓上讀書這麼少，叫我莫名尷尬啊。

題主真有心，不妨讀讀德國數學家E.Landau的《分析基礎》、《微積分》，感受一下正宗的詞典風格，什麼才叫從原初開始書寫。

陶哲軒實分析

既然是高數教材，題主應該是理工類。覺得高數不能滿足，

找本數學分析+實數理論的參考書，就完全足夠了

不知道題主想達到什麼水準且能達到什麼水準心太大不是好事兒

華章出版社，你值得擁有。

Baby Rudin 0基礎看的大概感受就是卧槽,好屌,這麼證就完了. 但是為什麼要這麼證?

tao的那本應該是最符合題目的了.解釋了很多為什麼.

apostol那本也不錯.但是那本比較像字典.相對更推薦abbott 的understanding analysis

國內大概有鄒應、陳天權的數學分析

外文的有很多，Amann、Zorich、Rudin、Apostol、Tao,還有一些高等微積分之類的書，也是從公理開始寫的。

我覺得北大的數學分析講義寫得不錯