有質量的彈簧，兩端拉力不一時伸長量是多少？

01-07

如題，假設一個質量為m的均勻彈簧，勁度係數為k，兩端受F1和F2兩個大小不同的力（不妨設F1&>F2），求這個彈簧穩定運動時的伸長量
這個問題我沒有找到什麼標準答案，自己想了許久寫下下面圖片的答案——伸長量為無窮大。
大神們看看我的這個解答是對的嗎？如果不對，錯在哪？正確的情況是什麼樣的呢？

當然不可能是無限大。其實每次把彈簧拉長都是兩端力不一樣的，只不過這個狀態不能一直保持，很快手就會停下了。

另外，還有一些寫法不對，比如 $Delta m=lim_{n ightarrow infty }{m/n}$ 是不對的，如果n取向無窮大，這個極限是0，Δm=0，如果你想表示無限小量，微元法應該用質量元為dm，總體的累加也應該是定積分形式的。

我暫時也沒有個清晰的思路，就先說這些吧。

想了這麼個分析法：

設彈簧原長 $l_{0}$ ，取一段微元，距離左端為 $l$ ，長度為 $dl$ 的彈簧，彈簧質量均有分布，則微元質量為 $dm=frac{m}{l_{0}}dl$ ，左端受力為T，右端為T+dT。加速度為a。

平衡方程， $dT=adm=frac{ma}{l_{0}}dl$

那麼 $T=int_{0}^{l}frac{ma}{l_{0}}dl +F_{2}$

現在a我還不太確定具體形式，如果假定是不變數，也就是按照總體的加速度a=(F1-F2)/m，那 $T=(F_{1}-F_{2})frac{l}{l_{0}} +F_{2}$ ，

彈簧彈力T是變數，l=0時，T=F1，l=l0時，T=F2，從F2到F1均勻變化。

不知道是不是正確。

然後用這個結果算變形量的話，設彈簧彈模為E，截面積為A， $l$ 處的應力 $sigma =frac{T}{A} =frac{(F_{1}-F_{2})l}{Al_{0}}+frac{F_{2}}{A}$

應變就是 $varepsilon =frac{sigma}{E} =frac{(F_{1}-F_{2})l}{AEl_{0}}+frac{F_{2}}{AE}$

總變形為 $Delta l=int_{0}^{l_{0}}varepsilon dl =int_{0}^{l_{0}} frac{(F_{1}-F_{2})l}{AEl_{0}}+frac{F_{2}}{AE}dl=frac{(F_{1}-F_{2})l_{0}^{2} }{2AEl_{0}}+frac{F_{2}l_{0}}{AE}=frac{F_{1}+F_{2}}{2AE}l_{0}$

上邊的計算都是不準確的，因為彈簧有變形，而計算彈力的時候沒有考慮變形，用的是彈簧原長，這是個大變形問題，所以不能用普通的小變形分析方法。

不過可以肯定的是，最終彈簧不會無限伸長，而是達到一定長度就不變了。彈簧的在這種加速運動中，是非慣性系，其實等效於給彈簧每一處都附加一個慣性力 $F_{I}=-ma$ ，這就和把彈簧懸掛起來靜止不動時受重力 $G=mg$ 是類似的效果。

彈簧兩端受力不同不可能相對質心靜止，要考慮波動的情況。

提示你：假設F2為零，截取彈簧兩等長，可求出截面張力F1／2。以此類推，求出彈簧各處張力，進而通過作圖求出彈簧長度

這個很簡單，但你要有點微積分基礎。將彈簧微分，按加速度和力得到每個微元段兩端的拉力，計算每個微元段伸長，積分得到總伸長。

具體計算希望別人能給出或者樓主自己計算下。最近我沒時間。

我認為應該不會是無窮大吧，假如F2=0，F1任意，就是只拉一端，肯定不會無限伸長的。

結果顯然不對。

定性分析下：

F1和F2 不等會導致彈簧整體產生一個加速度 a。

而 a 會等效於受到一個 F2-F1 這麼大的力場。

由於這個力場是均勻施加在彈簧各處，而不是施加再頂端的，所以伸長量會介於按照兩端都是 F1 和都是 F2 計算的之間。

（由於是一直加速，我們暫且把時間限定在有限時間內，不然速度快起來之後就不得不考慮相對論效應）

假設彈簧質量是均勻分布的。應該就是 (F1 + F2) / 2k 么。

想像你拎著彈簧秤往上加速，這時你給施加的拉力就大於重力了，它會無限伸長么？

過程…… 好久不看中學物理了，請問你這是樸素的微積分思想么？

分成n小段的目的何在？是為了讓兩端受力差接近 0 么？

我再看看你這過程……

第二頁開頭為何 F2 和 T1 直接發生關係了？按前面的描述，T1 不是在最右邊，靠著 F1 的那塊么？

我有可能沒看懂題意。我認為這個問題本身就有毛病，彈簧在一個加速度的作用下，根本就不會出現穩定狀態啊，不過你說的可能是在一個恆定加速度下，彈簧的長度。哎，這個題我記得我高中做過，是一個邊緣題，我忘了怎麼做了，學藝不精啊

整體分析：當彈簧的拉力是F2的時候，假如彈簧是此時是長度靜止的，那麼彈簧總體受力（F1-F

2）的加速運動（把彈簧看做整體），彈簧相當於一根繩子。

自身運動分析：但是彈簧是運動的，當彈簧拉力大於F2時，它做長度增加的減速運動；達到最大長度，做長度減少的加速運動；小於F2時，做長度減小的減速運動；達到最小長度後，開始做長度增加的加速運動。不斷循環。

以上。