一些初等函數如e^x^2之原函數不存在應如何證明？是否有系統的理論用以解決類似的函數原函數不存在的證明？

01-07

如題，今天在從網上看到的，感覺自己知之甚少。。。

謝謝 @望帝邀請。由於我還沒有系統地學過這一塊的知識，這個回答只能拋磚引玉。

法國數學家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）在19世紀30年代提出了劉維爾定理，後來被推廣到一般的微分域上。

劉維爾定理表明：一個初等函數如果有初等的原函數，那麼一定能寫成同一個微分域的函數加上有限項該域上函數的對數的線性組合，否則即表明不存在初等的原函數。

了解更多可以看Liouville"s Theorem。

關於如何證明 $int e^{x^{2}}dx$ 的初等原函數不存在（1835年已證明），有一篇非常詳細的論文：

http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/liouv06.pdf

實際上，很多函數都沒有初等原函數，上文中提到的應該屬於高斯積分類型。此外還有三角積分類型、指數積分類型、對數積分類型、菲涅耳積分類型、橢圓積分類型、貝塞爾積分類型、超幾何函數類型、伯努利函數類型……還有很多未歸類的類型。

不過有些函數雖然沒有初等原函數，但是在特定區間上的定積分是可以計算的。

比如 $int_{0}^{+infty } frac{sinx}{x} dx=frac{pi }{2}$ 、 $int_{0}^{+infty } e^{-ax^{2}}dx=sqrt{frac{pi }{4a} } ,a>0$ 等等。

希望我的回答能有一點點幫助=w=

先糾正一個概念：是「原函數不能用初等函數表示」而不是「原函數不存在」。

系統的理論是有的， @匡世珉已經說了。基於平時應用，我貼一張圖，是常見的一些「積分結果不能用初等函數表示」的不定積分。非數學系的，知道這些就夠了。

當然，這些函數在特定區間的定積分是存在的，積分方法在《複變函數》或者《信號與系統》中會學到。