從遊戲機制的角度看，《爐石傳說》的天梯模式中，為什麼大批玩家卡在5級左右？

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sorry，修改了一下題目，本意是想探討卡5級跟機制之間的關聯，可惜表述不清；如果需要交流如何突破5級的話，建議轉向請說說爐石傳說衝天梯的技巧? - 爐石傳說（Hearthstone）。

這個月中段第二次傳說，終於拿到了卡背，不請自來。

題主把問題一改，我的答案馬上就不切題了，感覺不太友好。但是我又老得用裡面的話教育別人，就先晾在這兒吧。

原答案：

@Pikazhu的計算我倒是沒仔細看，不過他說的沒問題，從數學上來看沒有連勝比有連勝的難度高不少。但是咱也別忘了——首先，你得到了5級還能經常連勝啊。

你可以當上一句話是玩笑話，但是現實就是如此，很多人的5級之路都是在拉鋸中度過的。如果你老是一勝一負，呆在幾級都是拉鋸，都沒法往上爬，連勝只是讓厲害的人爬得更快而已，你如果拉鋸了很久說明你的的確確就是這個水平的。不是因為我上了傳說所以飽漢不知餓漢飢，我之前的幾個月都是在5級拉鋸，對於自己曾經的心態和實力實在是太了解了。

其實往上爬就是一直保持勝率過半，但是說來容易做來難。下面我就來分析分析五級卡關的幾個原因——

1.你的套牌選得好么？

如果你已經到了5級，你會發現現在（15年1月）獵人、德魯伊、聖騎士是最多的，此時你就應該理解為何使用戰士的人沒那麼多了——不好打德，打騎士也沒譜，獵人也不都是待宰的Face Hunter，辛辛苦苦贏辛辛苦苦輸，起手還經常卡，所以很多人就放棄了戰士。

2.你是否總在換套牌？

堅持一套自己用的順手的套牌真的真的太重要了。為什麼？咱們接著下一條說吧。

3.你會否總結過自己的問題，而不是怪罪於不可控因素？

有的時候錯誤並不在你的套牌，並不（完全）在運氣上。如果你的套牌不是太背離主流，時間多了碰到Bad Matchup的次數就不會太多。同樣，你打的局數多了，霉運次數不會壓倒好運次數的，你覺得自己點背很可能是出於選擇性記憶。（舉例：這次我剛打到2級1星，首先被大螺絲精準1/5轟臉死，再在碾壓局中輸給了網路掉線……）

你可能會想自己打得肯定沒問題。那好，接下來請你這麼想：「只要堅持這套正確打法就肯定能勝率過半沖向傳說」，而不是一直想著自己那點倒霉事兒。

是的，如果你打法沒問題，套牌沒問題，運氣就只能決定你上傳說的快慢。

當我意識到長鬃草原獅更多的時候應該打臉，我的獵人水平就有了一個質變。

4.你對待遊戲的態度是什麼樣的？

曾經一個爐石好友觀戰我，當時我就在5級拉鋸。他看完告訴我，我出牌太快了。仔細一想是這樣的，有時候不過腦子的、想當然的選擇往往不是最優解。

很多5級玩家的大問題就是太想當然，太相信自己的爐石經驗。之後我逼迫自己想好再出牌，從內而外感受到了自己實力的提升。

面對連敗，我會告訴自己要鎮定，休息休息伸個懶腰。

我一直使用同樣的套牌，不斷熟練這套牌，並使自己對每個主流職業的對局了如指掌，憑藉著這點經驗針對性出牌，使對局往正確的節奏進行。

我騰出足夠多的時間，以便在狀態好的時候一鼓作氣。

這些，其實很多5級玩家根本就沒有做到，無論他們是否察覺。在跟他們對局的時候有時候可以明顯看出他們每一步行動並不夠謹慎細緻。舉個例子：當你場上有幾個兩血怪和一個三血怪，你不一定非要用那個三血怪去試爆炸陷阱。

有的時候，5級選手的整體實力，包括我以上說的那些，真的還輪不到拼運氣的地步。

就說這些吧，歡迎各位還在徘徊的朋友與我交流經驗。晚安。

強行自問自答。

其實原因你們都知道，因為5級以後沒連勝了嘛，本著熱愛學習的態度，容答主再分析一番

廢話太多，排版也不好，留個結論吧：

經過粗略計算，保持高於37.5%勝率，就能上5級，只是一個時間問題。

但想要在脫離連勝獎勵後繼續往前走，顯然需要50%以上的勝率。

假設你每天玩10盤（約1.5小時），從月初起每天都玩，打滿30天從5級滿星升到傳說，需要55%的勝率；

如果你的勝率在50%上下，則會長時間停留在5級。而這，又導致5級的玩家水平遠遠高於6~10級的玩家，因此5級是一道坎。

以下是長如裹腳布的推導過程，經高人指點略有修改，但仍然建議不看：

先假設玩家的勝率始終為50%。顯然，連勝兩盤的概率是25%，此時玩家進入「連勝模式」，下一盤如獲勝則加2星，如失敗仍扣1星。

追加假設條件：在「連勝模式」下，每一盤的勝率仍為50%，一旦某一局出現失敗，則連勝終止。

在進入「連勝模式」前，50%概率勝利並加1星，50%概率失敗並扣1星，每一場的數學期望都是0，這裡不解釋。

二連勝後，進入「連勝模式」。

進入「連勝模式」後的第一盤，12.5%概率勝利加2星，12.5%概率扣1星，數學期望為+0.125星。

（插：互動QA）

Q：12.5%和12.5%加起來才25%，剩下的75%去哪了呢？

A：實際上，在你的任意一場比賽中，你有50%的概率處於零連勝，25%的概率處於一連勝，當且僅當你既不是零連勝也不是一連勝時，數學期望才不為0，我們這裡只需要計算數學期望不為0的部分。

Q：在這個獨立事件里，所有事件發生的概率之和應該為100%才對，你的表述有問題吧？

A：媽的你懂了就好了哪來這麼多屁話！！

Q：sorry，我錯了，話說，「零連勝」和「一連勝」算哪門子連勝呀？

A：觀眾的都得到了答覆，感謝大家的熱心參與，咱們繼續~~咿呀~~

以25%的概率進入連勝模式第一場：

如果勝利（12.5%），加2星；連勝繼續。

如果失敗（12.5%），扣1星；連勝終止。

則第一場中勝利與失敗的概率各為12.5%，數學期望為+0.125星。

同時，有12.5%的概率進入連勝模式第二場：

如果勝利（6.25%），加2星；連勝繼續。

如果失敗（6.25%），扣1星；連勝終止。

則第二場中勝利與失敗的概率各為6.25%，數學期望為+0.0625星。

我們可以觀察到，假設連勝模式第n場的數學期望為a(n)，顯然它是一個等比數列

a(1)=0.125 a(n+1)=0.5*a(n), q=0.5

由等比數列求和公式Sn=a1*(1-q)^n/(1-q)

可知：當n趨於無窮大時，Sn=0.25

這是個什麼意思呢，這就相當於，當你的天梯等級處於6~19之間時，每打一盤，系統都會白送你0.25顆星。

假設你打了100盤，其中剛好贏了50盤，輸了50盤，那麼你的星數會增加25星，升了5級

（星數有0、1、2、3、4、5六種情況，其中某一級的0和前一級的5是完全等價的。[感謝知友董訊指點]）

由於升級時會自動追加一顆星，降級時懲罰一顆星，靠白送的星升5級，即升降抵消之後又追加了5顆星，也就是說，以50%勝率打100盤，可以得30顆星，升5級。

（P.S.這個演算法是正確的，你當然也可以換一種演算法，想每種情況都考慮到會非常複雜，但我猜結果是相同的，不展開；另外，如果你覺得我這個演算法有哪裡你想不通，那請你慢慢想啊，實在想不通就算了，說真的其實我自己也沒想通…）

那麼，如果我卡在6~10級，以多少的平均勝率可以留在這個區間呢?

假設打了100盤，其中贏x場，輸100-x場。

x-(100-x)+25=0

（勝場-負場+連勝獎勵=星數變化，下同）

解一元一次方程，得x=37.5

也就是說，只要你的勝率達到37.5%，就可以留在6~10級。

換句話說，只要你的勝率高於37.5%，等級就會穩步提升，到達5級只是時間問題。

計算十場上一星需要的勝場（十場大約一個半小時）：

x-(10-x)+2.5=1

x=4.25

即勝率在42.5%時，每10盤上1星（剛好為肉眼可見的速度）

如果你很厲害，勝率始終保持50%，那你就會以好友可見的速度迅速爬到5級。

然後問題來了，從5級起，連勝獎勵沒有了——這真是件毀滅性的事情。

一方面是因為十場上一星所要求的勝率從42.5%上升到55% [ x-(10-x)=1 ]

如果你的勝率沒有50%，那麼你就在5級和6級之間徘徊，

如果你的勝率剛好有50%，那麼你就在4級5級之間徘徊，手賤一盤，被克一盤，卡手一盤，沒準掉到6級去了。

即便是保持50%勝率，也沒這麼容易。在你上到5級之前，匹配到的對手中，有一部分是卡在6~10級的玩家。如果他們卡在那個等級，這就意味著他們在6~10級的對手下，平均勝率很可能是之前計算的37.5%；而卡在4級的玩家，他們的對手大多卡在3~5級，在這種條件下，保持50%的勝率。

你自己想呀，這難度能一樣嗎？

大家的卡組基本上大同小異，就是比誰失誤少、判斷准、把握得住環境。

嗯，說到這裡，相信不用我總結，你也知道了，大批玩家「卡在5級」的現象，用高中數學簡單分析一下即可得到一個大概的解釋。答主本人數理化基礎極差，計算可能有誤，懇請各位知友指點。

其實還有大批玩家卡在15級左右，比方說我。。。。。。。。。。。

我想靜靜

1.爐石的天梯系統也是採取的mmr匹配機制，所以假設個體在全局範圍內的50%勝率是毫無意義的，以此來進行推導也是毫無邏輯；雖然勝場的誕生必然伴隨著敗場的誕生（整體為零和），但不能以此來推導出「全局範圍內玩家的獲勝概率為50%」，只能說「全局玩家的勝場數和敗場數必然相等」。

2.爐石天梯共25個等級，其中25級為麻風侏儒（初始等級），1級為傳說。根據暴雪去年發布的一份爐石排名統計，5級到1級的玩家約佔2%，1級的玩家還不到0.5%，樓主的「大批玩家卡在5級左右」我不知道是從何而來。（ps：75%的玩家在15級以下）

3.連勝獎勵的引入，目的在於幫助高水平玩家快速從低級打到高級，參與符合其檔次的對戰；連勝獎勵的取消，目的在於避免在樣本數已經很小的玩家群體中，由於運氣等因素帶來的較大誤差。因為mmr匹配機制的本質就在於計算玩家的mmr值（11平台的天梯積分也是一個道理），以此來決定玩家掉落於哪個等級區間，也就是1-25級。所以說，連勝獎勵取消，並不影響玩家掉落於哪個等級區間。

4.具體的演算法，其實還是比較複雜的，和匹配玩家的mmr值之差，連續獲勝所帶來的mmr值加成，都會影響到系統為其分配到下一個對手的mmr值所在區間。

5.非要討論勝率的話，我們姑且可以假設每個等級內的玩家之間互相的勝率約為50%，同時假設mmr值就是星星數之和（也可能是一種積分，但不透明，但是已然和星星數成正比），來推算一個假想玩家從最低區間值突破最高區間值的概率，如果概率較小的話，說明積分設計是成功的；

暫時先寫這些吧。。。想到什麼了再補充

先說說@Pikazhu 的答案吧。

經過粗略計算，保持高於37.5%勝率，就能上5級，只是一個時間問題。但想要在脫離連勝獎勵後繼續往前走，顯然需要50%以上的勝率。

這個顯然不對，只要勝率p超過了0，肯定是可以在局數趨於正無窮的時候上五級，上傳說。有沒有連勝都一樣。

目測作者本意是說，保持高於37.5%勝率，就可以在局數趨於無窮的情況下，停留在五級。

由於升級時會自動追加一顆星，降級時懲罰一顆星，靠白送的星升5級，即升降抵消之後又追加了5顆星，也就是說，以50%勝率打100盤，可以得30顆星，升5級。

你可以認為4級滿星是5級零星。。

當然我認為局數可以是無窮大。同時，這也說明了在勝率相似的情況下，為什麼大家喜歡快攻。

他只從個人的角度說了，我來說說從全體玩家的角度。

然後我們把星想像成每個人的一種物品，勝負只是大家交換星而已，並不會產生新的星。

新的星產生有以下幾種情況

1. 20級跌不下去了。

2. 連勝。

3. 低級別戰勝傳說。

星也會消失，只有一種情況。

4. 被傳說戰勝。

一般來說，4比3的數量是多的。

所以如果玩家們能聯合起來，應該這樣做：

1. 一部分人在20級一直投，這樣可以產生更多的星。

2. 雙方見面，按照一個規則（比如誰的名字字典序小？）直接決定勝負，這樣可以最大化連勝。

3. 節約每局時間，見面直接投是最快的。

Pikazhu的計算還默認了一個事實，就是這個遊戲是真的隨機的，如果我是遊戲設計者，我並不這麼認同。顯然如果你是伺服器，你要做的就是把兩個連勝的匹配到一起，這樣能產生的星最少。（假設你的目的就是讓大家多玩會這樣。）

如果你看暴雪的報道，你會注意到他封「外掛」。就是他不允許機器人來玩這個遊戲。

聯繫剛才的計算，你會發現等級沒有任何意義，你只需要不斷的玩就可以了。自然機器人是不能被允許的。

最後，請思考一個問題：

「你玩遊戲是為了爽，還是為了贏？」

如果是為了爽，幾級不都一樣？每天刷刷任務也蠻開心的。

如果是為了贏，那隻能不斷的玩了，雖然有的時候這個遊戲挺噁心的。

不用那麼麻煩，大部分打到5級的玩家勝率並沒有那麼低，比如我57%，獵人接近80%，但是5級之後沒有連勝，假如你勝率有55%的話按概率來說要玩250場才能渡劫。250場對很多人來說太多了，可能一個月都打不了這麼多，比如我。除非勝率高到令人髮指的地步，那就是真高手了。職業牌手連安妮也有過3,4級一打就是一天的時候。所以說上傳說哪怕是51%的勝率都可以，只是需要耗費大量時間。

16級守門員表示不服

兩個原因

1. 5級以內沒有連勝，對於玩家的激勵也弱了許多。

2. 5級以內匹配到的選手實力比6級開外的要高一些，特別是2級以內，因為容錯率低大家都會選擇強勢高效卡組，出牌也極少有打錯的，技術不到位的玩家如果不是運氣特別好在這個階段很難爬。