偏微分方程可不可以用級數展開直接解？

01-07

指那些不能分離變數的方程（簡單一點的話，線性方程），比如對稱性比較低的量子力學問題。看了一下維基百科，列了好幾種方法，但沒有級數展開。

之前的幾位答主都提到了Cauchy-Kovalevskaya定理, 但我想恐怕還沒有提及一些更深層次的原因: 若要求解的明顯表達式, 那麼冪級數解法的適用範圍非常有限.

可以回憶一下Cauchy-Kovalevskaya定理是怎麼敘述的:

對於實解析的初始值, 具有實解析右端項的偏微分方程組

$frac{partial^{n_i} u_i}{partial t^{n_i}}=f_i(t,x,u,...), 1leq ileq N$

在空間的原點鄰域中存在惟一的一個實解析解. 但這定理對於右端項有非常強的要求: 第 $i$ 個方程右邊對 $u$ 的微分的次數不得高於 $n_i$ . 換句話說, 對"時間"的變化率要統領一切才行.

如果不滿足這個條件, 那麼就無法期望這一套冪級數解法還能生效. 一個最簡單的例子是熱方程的Cauchy問題:

$frac{partial u}{partial t}=frac{partial^2u}{partial x^2}, u(0,x)=frac{1}{1+x ^2}$ .

在原點 $(0,0)$ 的鄰域展開成冪級數並遞推之後, 發現級數有如下的形式:

$sum_{k,lgeq0}(-1)^{k+l}frac{(2l+2k)!}{(2l)!k!}x^{2l}t^{k}$

級數的收斂半徑為0. 原來的Cauchy問題在原點的任何鄰域中都不存在實解析的解.

注: 然而似乎可以證明, 這Cauchy問題的解以上面所列的級數為漸近級數.

造成這一困難的原因是, 剛剛所考慮的Cauchy問題是個特徵問題. Cauchy-Kovalevskaya定理對於這樣的特徵問題常常是失效的.

另外, 就算考慮Kovalevskaya型方程, 並且使用遞推公式得到了收斂的冪級數解 (如果要做截斷的話, 這個工作交給計算機去做完全沒問題), 一些更加微妙的問題也無法克服. Kovalevskaya定理的證明本質上是強級數方法. 上述的迭代過程儘管給出了收斂的冪級數解, 但是卻無法保證這些係數對於初始條件或者方程右端的微擾是穩定的. 這同常微分方程不同: 對於常微分方程來講, 在有限的時間區間內, 右端項的微擾或者初始條件的微擾都不會影響解的穩定性.

綜上, 對於偏微分方程來講, 冪級數方法的理論意義遠大於應用意義.

當然可以，這個事情現在很多教PDE的書都不大提了，不知道為什麼，但其實還是很要緊的。

這個結論叫做柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理，再跟我念一遍，柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理。

OK，如果要用冪級數解，那麼至少要求方程的係數和初始資料都是解析的。那麼定理內容很簡單，如果一個PDE的係數還有初始資料都是解析的，那麼解必然在一個小區域內存在唯一，並且也是解析的。證明方法就是冪級數法。當然說歸說，其實證明還是需要點工作的。

柯瓦列夫斯卡婭是俄國很著名的一位女數學家，但是因為是女性所以開始的時候很不受待見。。

可以,然而並沒有什麼卵用

因為展成冪級數後能解出來的那些方程,不展開也能解得出來.

不過這個想法挺好的,只是不能拘泥於冪級數這麼局限的展開,具體應用參見教材中&<廣義冪級數解&>這一章.

可以用級數解。樓上的回答都說了，我來說說為什麼很少有人用級數解吧。

原因很簡單，真正能用級數解的PDE必須是線性的。想一想，如果方程裡面有個u^2項，你怎麼用無窮級數？就算你強制把無窮級數的平方展開，那你得到的是一個無窮維的非線性PDE方程組，一般情況下照樣解不了。

所以能用級數解的方程都要是線性的，但是線性PDE是很好解的。你用傅里葉變換就能把他變成ODE，然後去解ODE就行了。當然，一些方程需要你對平常的傅里葉變換進行推廣。需要你去考慮整個k的複平面，而不僅僅是實軸。這種時候直接把Inverse Scattering Transform (IST)套過來就好了。線性PDE的Lax Pair很好找，有了Lax pair，IST完全可以給你解析解。

所以說，能用級數解的方程可以用更加普世的方法來解。那級數自然而然就沒用了。

PS：再來說兩句IST，把IST用在線性PDE上有點殺豬用牛刀的意思。IST真正的用途還是解某些非線性PDE。

大神們說了那麼多。。發現我只能給個例子，然而能解出來只是我運氣好。。。

------------------------------

另一個對於精確解逼近的思路為，直接求解拉普拉斯方程,題中的拉普拉斯方程及其邊界條件如下：

$abla^{2}u =- f(x,y)=-2 , (x,y)in Omega$

$u(x=pm1)=0,u(y=pm1)=0$

$frac{partial{u}}{partial{x}}(x=pm1)=0,frac{partial{u}}{partial{y}}(y=pm1)=0$

更符合數學習慣的，我們做一個坐標系的平移，將現在的(0,0)點移動到(1,1)點，以原先的(-1,-1)點為原點建立坐標系。

方程改寫為：

$abla^{2}u =- f(x,y)=-2 , (x,y)in Omega$

$u(x=0,2)=0,u(y=0,2)=0$

$frac{partial{u}}{partial{x}}(x=0,2)=0,frac{partial{u}}{partial{y}}(y=0,2)=0$

我們先不考慮轉角為0的邊界條件，從固定的位移邊界條件著手。

先考慮邊界條件$u(y=0,2)=0$下的特解$v(x,y)$，由：

$abla^{2}v =- f(x,y)=-2 , (x,y)in Omega$

顯然$v =- x^{2}+2x$是一個特解。

接下來我們令

$w(x,y) = u(x,y) - v(x,y) = u(x,y)+x(x-2),$

因此$w(x,y)$滿足齊次定解問題：

$abla^{2}w = 0 , (x,y)in Omega$

$w(y=0,2)=0$

$w(x=0,2)=x(x-2)$

根據分離變數法，我們尋找

$w(x, y) = X(x)Y(y)$

形式的特解。將其代入拉普拉斯方程及$y=0,2$的邊界條件，可以得到：

$-X$

利用分離變數原則，我們得到關於$X(x)$的特徵值問題：

$X$

以及關於$Y(y)$的常微分方程：

$Y$

對於特徵值問題

$X$

我們有特徵值： $lambda_{k} = frac{k^{2}pi^{2}}{2^{2}}$ ; 特徵函數: $X_{k}(x) = sin[kpi x/2]$

接下來，我們在把$lambda_{k}$帶入關於$Y(y)$的常微分方程

$Y_{k}^{$

從而得到通解：

$Y_{k}(y) = A_{k}exp{[kpi y /2]}+B_{k}exp{[-kpi y /2]},(k = 1,2,...)$

因此，我們得到方程滿足其次邊界條件中定值邊界條件部分的分離變數形式的解：

$w(x,y) = sum_{1}^{infty}(A_{k}exp{[kpi y /2]}+B_{k}exp{[-kpi y /2]})sin{[kpi x/2]}$

其中常數$A_{k},B_{k}$待定，以便滿足第三個邊界條件。

將 $w(x,y) = sum_{1}^{infty}(A_{k}exp{[kpi y /2]}+B_{k}exp{[-kpi y /2]})sin{[kpi x/2]}$ 代入最後的邊界條件，我們就得到：

$A_{k}+B_{k} = C_{k},A_{k}exp{[kpi y]}+B_{k}exp{[-kpi y]} = C_{k}$

其中$C_{k}$為函數$x(x-2)$在區間[0,2]中的正弦項係數，即：

$C_{k} = -frac{2}{2}int_{0}^{2}t(2-t)sin[kpi t/2]dt =- frac{16}{k^{3}pi^{3}}(1-(-1)^{k})$

由此最終可以算得：

$A_{k} = frac{exp{[kpi]}-1}{exp{[2kpi]}-1}C_{k},B_{k} = frac{exp{[-kpi]}-1}{exp{[-2kpi]}-1}C_{k}$

於是乎我們很開心的，用：

$w(x,y)+v(x,y) = u(x,y)$

倒著算出了u的函數表達式。

然後我們再校核邊界上轉角為0（一階偏導數為0）的條件，由於我們最終得到的函數是對稱的，先考察指數函數，在邊界上求導數一正一負恰好抵消，滿足邊界條件；再看三角函數，在x=0,2上是顯然的。

接下來我們把計算出來的解析解用Mathematica求10項級數和，得到答案

$u(1,1) = 0.589371$

---------------------

這是一個拉普拉斯方程的精確解囧；基本上就是這麼無聊。。

自學樂趣多

---------------------

雖然也解過薛定諤方程解呀解不出來。。此外試圖解過不時變的N-S方程，然而感覺是能力不濟解不出來。。然而彈性力學裡有好多種級數取法還是很有意思的；但是冪級數感覺並沒有什麼卵用。。

題主的意思如果是猜級數解的係數，可以看看彈性力學。。

我來我來我來啊。數學系的拯救你。

主要是我看到好多答案是為了解而解偏微分方程的答案，而不是研究微分方程。怎麼說呢。這個感覺就像是。工科學微積分是為了解決工程問題。而數學的學為什麼微積分這麼做，理論依據是什麼。。所以，數學系表示剛開始就是學的級數法。。

解法中不算數值的，比較通用的解法就比如弦震動熱傳導什麼的。。有這幾種解法吧1.級數法。2。拉普拉斯變換法。3，傅里葉變換法(注意不是展開！！！！)4。還有就是研究穩定性時候能量法的構造函數法。

其實，本身好多偏微分方程都是靠級數解啊。是本身！！！是本身！！或者可以這麼說，級數才是偏微分方程正常解法。

拉普拉斯變換傅里葉變換都是開掛的解法。其實解出來都是級數啊。最簡單的弦震動，熱傳導，不都是傅里葉級數法。數值解法大多數也是級數啊。讓我再說一句。現在偏微分或者說複雜的偏微分或者說工程中的偏微分問題都是用數值解的。數值解才是主流，因為好多解不出來。但是用數值解就夠了。

當然可以啊，清華大學有一本演算法書算是數學上一些東西的實現方法，很牛

可以我記得老師教過這個方法

特徵函數（分離變數）法不就是級數解么

問題主要在兩個方面

(1)方程是否Kovalevskian type？(Heat, p-evolution等)

(2)是否滿足Cauchy-Kovalevskaja Thm?係數(Lewy"s example)，右端項，初始資料的要求都很高。(C^{infty}也會有問題)

由於物理，工程等實際問題的需要，所以通常不能達到定理的要求(當然啦，也有因為做純數的人的原因)，所以通常會做Sobolev，BMO，Besov上的。解也是證明well-posedness而已，很少會把表達式也解出來。所以能用級數表達出來的還是一小類。老闆在80年代也是做Kovalevskian type，90年代到現在都轉為各種wave eq.了，我猜是這類得出好結論挺難的吧

跑個題，用deep learning解偏微方程。Overcoming the curse of dimensionality: Solving high-dimensional partial differential equations using deep learning》J Han, A Jentzen, W E