三角函數的值如何計算得出的？

比正弦30°為0.5，餘弦45°為二分之根二等精確的值是如何得出的？

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30°,45°,60°,15°,75° 等特殊角度可以通過一些初等三角學結論簡單地算出，比如：

1) 有兩角為 60° 的三角形為等邊三角形；

2) 等腰三角形底邊對應的的高、中線與角平分線重合；

3) 有一角為 45° 的直角三角形為等腰三角形；

4) 勾股定理。

更多特殊角度的三角函數精確值演算法見 [1]。

對於一般的角度(~x)，可用 Taylor 公式[2] 算出任意精度的近似值。正弦函數在(~x=0~)處的 Taylor 公式： [

sin x =x -frac{x^3}{3!} +frac{x^5}{5!} -ldots +(-1)^nfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} +r_{2n+2}(x)~，

] 相應的余項 (誤差) 為 [

r_{2n+2}(x) =frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}sinleft( heta x +frac{2n+3}{2}pi
ight) =o(x^{2n+2})~，quad heta in (0,1)~。

] 只要計算充分高次數的多項式，或者說令(~n~)充分大，就可以使誤差任意小。餘弦是類似的： [

cos x =1 -frac{x^2}{2!} +frac{x^4}{4!} -ldots +(-1)^nfrac{x^{2n}}{(2n)!} +r_{2n+1}(x)~，\

r_{2n+1}(x) =frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}cosleft( heta x +frac{2n+2}{2}pi
ight) =o(x^{2n+1})~，quad heta in (0,1)~。

] 還有其他一些逼近方法如切比雪夫逼近等。

[1] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%B2%BE%E7%A2%BA%E5%80%BC

[2] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F

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