什麼叫做「共軛」？有沒有統一的概念？

01-07

在物理、化學、數學中都有見過這個詞。請問究竟什麼是共軛，有沒有一個統一的概念？

共軛（conjugate）是一個被用濫的名詞，曾經梳理過它的意義：

數學上的共軛：

共軛複數：實數部分相同而虛數部分互為相反數的兩個複數。

矩陣的共軛轉置：把矩陣轉置後，再把每一個數換成它的共軛複數。

自共軛矩陣：矩陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等。

代數上的共軛與共軛複數類似，用來進行分母有理化。

共軛梯度法

共軛類

共軛指數

信號處理：

成對出現，卻又相異，彼此通過傅里葉變換相對應，但是無法同時被確定，擁有相同的性質。

化學上的共軛：

共軛系統：共價雙鍵或三鍵交替出現的現象，會導致電子的離域，並使體系更加穩定。

共軛效應，共軛現象對體系產生的影響。

酸鹼平衡中對應的酸鹼對，其中的質子（H+）給予體為相應鹼的共軛酸，而質子接受體則為相應酸的共軛鹼，它們合稱為一對共軛酸鹼對。

氧化還原半反應中，相應的氧化型及還原型物質互稱共軛氧化劑/還原劑，反應則被稱為氧化還原共軛關係。

物理上的共軛：

共軛物理量：在量子力學中指算符不對易的物理量。

醫學上的共軛：

共軛現象：在脊柱的運動中，共軛現象是指同時發生在同一軸上的平移和旋轉活動，或指在一個軸上旋轉或平移必然同時伴有另一軸的旋轉或平移運動的現象。

同樣被用濫的還有正則，核等名詞。

所謂「軛」，指的是古代牛車上放在並行的牛脖頸上的曲木。共軛關係，通俗來說一般用以描述兩件事物以一定規律相互配對或孿生（一般共軛對整體很相似，但在某些特徵上卻性質相反）。在自然界和數學王國中這種現象十分普遍，因此我們用這個詞描述了很多以不同規律配對的對象。如二次方程的根式，複數，正反物質等等都有符合共軛現象定義的特徵表現。

話說誰來教教我，共軛【conjugation】和對偶【duality】有什麼不一樣？

共軛本質上是來自於自然界奇妙的對稱特性。至於為什麼自然界有這樣的特性，估計目前也沒有統一的解釋。數學，物理學上的體現只是對這種對稱性的一種描述方式。

說點感性認識

a+b 和a-b共軛。 + 和 -隨你定義，你要換成乘和除也沒啥大事。這是最常見的，說2個東西共軛的場景。

一個n次方程（係數在子域）的n個根（根在擴域）共扼，所以共軛也不止對2個東西說哈。

據我觀察，叫共軛的，總是有點能玩轉正反傅立葉變換的效果, 而且從某一邊變換回來一定要能把擴域行為「打回原形」。

比方說x=a+b, y=a-b 傅立葉變換一下就回來 a=(x+y)/2， b=(x-y)/2。典型的就是s+ti s-ti這對基友, 變換成了s 和ti。有沒有一種破開現象得本質的感覺啊。

比方說實係數方程的n個複數根也可以根據韋達定理推斷出這個首次項係數為1的n次方程的其餘n個係數. s+ti s-ti這對基友就變換成了 $x^2-2sx+s^2-t^2=0$ 的根了。 2s 和s^2-t^2, 也算成功實現降域。歸一化係數取決於首次項係數。實數域高次方程求根困難，但是其他抽象數域往往有簡單方法「直接定義」擴域的根（就像咱們直接定義x^2+1=0的根那樣，反正是抽象數域，元根i怎麼方便怎麼定義，隨心所欲）。

綜上：講某些點共軛，我看起來就是要能結合起來做可逆的變換，而且在某些時候從一邊變到另一邊的時候能夠簡化問題（包括但不限於上面說到的降域）。所以如果研究某些系統，參數是某種變換下的共軛點，往往能夠把他們轉換成簡單的「對偶點」（抱歉引入了個新的還不那麼直觀的概念）來進行研究。

我看了下樓上樓下提到的物理和化學對應的概念，基本都能match。

諸多學科中的「共軛」一詞，都來源於英語單詞「conjugation」。根據《美國傳統詞典》，「conjugate」一詞的語源為：

Latin coniugāre coniugāt- [to join together]

com- [com-]
iugāre [to join] from iugum [yoke]

「com」即「共」，「iugāre」即「軛」。因此共軛這個詞實際是一個外來詞。

而兩頭牛背上的架子稱為軛，軛使兩頭牛同步行走，共軛即為按一定的規律相配的一對。（via http://baike.baidu.com/view/1040781.htm）這個比喻還是很形象的。

軛原本指車輪，共軛的原本意思是兩者就像兩個連在一起的車輪一樣有著某種羈絆，會相互影響。我就說說化學上的共軛吧，化學上的共軛主要是指共軛體系和共軛酸鹼對。共軛體系指的是電子離域體系，也就是大派鍵，在這種體系下，參與共軛的電子不在固定在原本的原子上，而是在所有參與共軛的原子間遊盪，也就是說這些電子本質上是一樣的，沒有哪個電子屬於哪個原子這種說法。他們之間的羈絆是共同擁有這些原子或者共同屬於這些原子。類似於共產主義最終目標，什麼東西都是共用的。而共軛酸鹼對指的是這個酸失去一個質子之後就成了鹼，也就是說酸和鹼之間相差一個質子，所以這個質子就是這個酸鹼的羈絆，最直接的影響是，酸越強鹼越弱。其他物理數學啥的不清楚，反正共軛這種詞都被用爛了，如果你無法理解，不妨改成有某種聯繫的這個詞比較好。

說個機器學習的共軛分布，beta與伯努利分布，multinomial與dirc分布，都是樸素貝葉斯分類相關的

我個人總結的——兩個量相乘為常量，則稱這兩個量共軛。

*註：此回答只涉及數學中的共軛

在討論「共軛」的本質之前，我們先來梳理一下數學中出現的共軛：