為什麼測度論要建立在σ-代數上？

01-06

為什麼要用σ-代數作為structure，來定義一個東西是否是可測的，而不用其他結構，比如一個拓撲空間？
為什麼σ-代數在定義時要選那三個條件，和拓撲的定義很像然而又最終不同（在可數並集上）？
甚至product σ-algebra 的構造也和product topology非常雷同，為什麼會有這樣的相似之處呢？

Borel在構造時是怎麼想的？
問這個問題的起因是我這個學期同時有測度論和拓撲的課
在borel algebra的時候，發現這兩個有聯繫，而且很多地方很像
比如拓撲open sets可以有一個basis來慢慢generate出來，borel也一樣
兩個topological space的product，和borel的product構造的方法也一樣
於是就產生了為什麼要選此非彼作為基石的原因，
測度論和積分一門課，前者上建立了後者
拓撲和微分一門課，後者總要在賦范向量空間上定義
所以就思考了一下這個問題

（我是在巴黎的本科生，可能有些表達太受法語影響了，比如tribu engendré .. 很多詞都是對著Wikipedia從法語逆翻譯過來

謝邀，這種問題你需要比較類似但是不同的概念。你找拓撲空間比就算是找錯對象了。以下是一個長答案，你得耐下性子聽。因為要理解一個概念，你往往需要在一個更大的picture下面考察這個概念。

首先，一般來說「最弱」的一個集合族的概念叫semiring（半環）。它比algebra還弱一點：

半環 semi-ring

畫個圖，它們的關係是這樣的，也就是說 $sigma$ -代數非常好，這就是教科書喜歡用它的原因，很方便，具體的幾個原因我後續解釋給你聽

各種集合族的關係

下面談論一個概念，叫做charge，你會發現它和measure和接近，而且本質上兩者都可以定義在半環上面。

charge and measure

我什麼我們最後選了 $sigma$ -algebra? 需要多談一些關於積分的內容，其實，如果你只是想定義一個「像」黎曼積分那樣的東西，你不需要measure，charge+algebra就足夠了。你可以如下面定義的那樣定義step函數的積分，這裡已經換成了algebra，因為後續用來證明這個積分和具體的簡單函數表達無關還是有點意義的。也就是說，如果 $varphi=sum c_i chi_{B_i}$ 的時候，他們得一樣。

然後，我們可以定義積分：

是不是和黎曼積分里的達布上和和達布下和很像，然後你可以定義一個函數可積當且僅當 $int f dmu= I_*(f)=I^*(f)$ ,這種積分有兩個問題，第一它只能定義在有界函數上，第二，這個積分不具備類似單調收斂、控制收斂那種好用的性質。

所以我們需要把charge換成measure，但是不一定需要 $sigma$ -algebra，我們還是只需要semiring，因為本質上，下面這個東西是我們處理各種積分需要的東西。

半環上測度的「連續性」

發現了沒有，類似的結果在rudin上也有，但是因為rudin使用了 $sigma$ -algebra，所以條件 $Ain mathcal S$ 是沒有必要，因為這個會自動成立。

rudin上的類似結果

這個細微的區別導致的結果是，如果你想定義「半環」上的測度的Lebsgue積分，我們需要考慮在一個「半環」上定義測度後會發生什麼。我們可以定義Caratheodory extension（其實outer measure就可以了，這裡只討論measure）。

這裡一堆結果，關鍵是我們可以注意到extension $mu^*$ 本身一個定義在 $sigma$ -algebra $Sigma_mu$ 上的measure，而且對於任何一個滿足 $Ssubset Sigmasubset Sigma_mu$ 的半環 $Sigma$ , $mu^*$ 都是 $mu$ 在這個半環上面的唯一延拓。這個情況下，對於半環上的測度，我們可以定義如下的積分

$int s dmu=sum c_imu^*(A_i)$

然後通過一般的方式，這個積分可以推廣到無界函數上，而且具備了單調收斂，控制收斂之類非常好用的結果。而且如果原來的測度定義在一個 $sigma$ -代數上，這個意義上的「可測」函數（本質上是在 $mu^*$ 下的可測的）和原來意義上的可測函數最多差一個零測度集合。

另一方面，如果你仔細看各種證明思路，我們注意到「單調性質」很重要，這個性質可以保證，半環上的測度連續性中「條件」變得自動滿足，也就說 $A_n o Aimplies mu(A_n) o mu(A)$ ，而不需要考慮 $A$ 是否「可測」。

然後，我們可以注意到下面的結果：一個代數是一個monotoen class當且僅當它是一個 $sigma$ -代數。

綜合上面的考慮， $sigma$ -代數自然是最好的初學者應該考慮的概念，可以非常自然地過度到後續的積分理論，它本身具有非常棒的性質，這是教材選取它的原因。當然了，如果你學習一些「真正」的測度論，那麼什麼半環啊， $pi$ -class, $lambda$ -class也是非常重要的。由於我的個人知識有限，我就談這麼點東西了。千萬別在測度論學得好的人面前說什麼「測度論是建立在 $sigma$ -代數上的」，這有點以偏概全了，雖然我個人不會這樣斤斤計較。

PS：我這裡只是談了一種構造積分理論的路線，還有其他路線。

PS: charge在刻畫函數空間 $C(X)$ 的對偶空間方面具有非常好的作用（這其實也是我學習chareg唯一的原因了），只是用測度是不足以刻畫大部分此類空間的對偶空間的。

這裡的 $mathcal{B},mathcal{A}$ 分別表示 $X$ 中拓撲生成的 $sigma$ -algebra和algebra。

需要注意的是，這些空間都是charge，沒有measure，但是在Hausdorff空間上的tight而且finite的 charge就是一個regular measure。也就是說某些情況就是經典的結論。

ps: 上述的內容來自Aliprantis 的「Infinite Dimensional Analysis.「這個教材雖然說是給數理經濟學」學生寫的「泛函分析教材」，但是就內容來說在「泛函分析」這塊上非常深入。我見過的大部分數學專業博士都不具備這個教材以上的泛函分析知識。所以下次見到數理經濟學的博士生千萬別覺得人家的數學知識就比你「低」，他知道的你未必知道，這叫術業有專攻。當然了，這本書也比較「偏門」，就泛函來說，它有些方面非常深入，有些東西完全不涉及（比如泛函中的運算元理論）。但是它在 Banach lattices (AL, AM-spaces), Riesz space 這些方面是比較好的入門教材。

逐條回答答主的疑惑。

1. 問題：為什麼乘積拓撲的定義和乘積sigma代數的定義很類似？

回答：題主的觀察很敏銳！按照Bourbaki的想法，product set（乘積集合）上的結構是一種initial structrue，quotient set（商集）上的結構是一種final structure. 這表明，乘積集合上拓撲的定義方式和sigma代數的定義方式本質上是一樣的. 這要用到一點範疇論的知識：拓撲空間範疇中的態射是連續函數，sigma代數範疇中的態射是可測函數. (1) 如何在乘積集合上定義拓撲？乘積空間的拓撲是使得投影映射連續的最粗糙拓撲. (2) 如何在乘積集合上定義sigma代數？乘積sigma代數是使得投影映射可測的最粗糙sigma代數. (3) 如何在商集合上定義拓撲？商空間的拓撲是使得典範映射連續的最精細拓撲. (4) 如何在商集合上定義sigma代數？商集合的sigma代數是使得典範映射可測的最精細sigma代數. 具體可以看Bourbaki的Theory of Sets, Topology I. 另外還有inductive limit和projection limit也是定義結構的方式.

(2)問題：為什麼不用拓撲結構代替sigma代數結構去構造測度？

回答：各自的定義有具體的歷史背景，它們是從具體問題中抽象出來的，具體問題要用到什麼樣的性質，就把那些性質抽象出來. 拓撲結構的定義起源於對序列收斂性的抽象刻畫，如Moore-Smith收斂和H. Cartan的Filter理論. sigma代數理論起源於Lebesgue測度的定義方式，基本的想法是：(1) 把長方體作為element set（semi ring），它們的測度已知; (2) 把長方體測度擴張到ring，對長方體作有限並，定義有限並的測度; (3) 進一步把測度擴張到sigma ring. 所謂sigma代數就是把全空間加進去.

用手機打字的，符號打不出來，將就一下吧～

希望能解答題主的疑惑，並帶給題主一些啟發＠(￣-￣)＠

測度，你要算並集的測度吧，你要算補集的測度吧。

除了可數性的要求，哪裡不是合理的?

而可數性結合級數的知識看也是合理的。不可數個數求和沒意義。

拓撲空間?你的意思是開集有測度，閉集可以沒有?

如果你想用拓撲的方式，你就需要你的拓撲足夠奇特使得集合的特徵函數這種一般意義下不連續的函數也成為連續函數，然後你會問這個拓撲和原來的拓撲什麼關係，這樣，你就漸漸的走遠了…

我想Borel想做的只是用某種代數的方式來描述前人關於測度論的結果。σ-代數為什麼叫代數呢？因為如果你不把組成σ-代數的元素看成集合，而是集合上的特徵函數，那麼以這些元素做生成元，我們做加法和乘法，確實可以得到一個R上（或C上）的代數。只不過Borel發現，σ-代數作為代數不是純代數，還有某種極限性質(拓撲性質)，這種性質寫出來，大概就是測度的可數可加性之類云云。

先別問這麼抽象的問題例如"為什麼"，這玩意先接受了再說，往後讀自然理解就加深了。

sigma 代數是概率論的基石！你可以認為，一個sigma代數其實是規定了何種事件是"可測的"(可定義概率的)，他可以看做是一套法律規則。例如，如果一個sigma 代數是?和全集構成，那麼可以認為這個sigma代數是一種最"嚴苛"的法律規則，在這個規則下的合法集合只有兩個，這個規則下的合法函數(可測函數)只能是常熟函數。

而sigma代數的另一個重要性質是"可數"交並是封閉的，這個保證了分析性質的良好，比如Monotone convergence和dominated convergence. 更重要的，對於概率論來說，概率密度(也就是Ladom Nikodym定理)和Fubini定理(聯合分布)沒有這個性質根本沒辦法玩下去！

同時，sigma代數的子代數正定義了什麼叫"條件概率"，和"條件期望"，也就是將不合法的函數抹勻(平均)，利用Ladom Nikodym，弄成子sigma代數下可測(合法)函數，這件事情是隨機過程的基石！