為什麼物理規則幾乎都是乘法？

01-06

F=MA
F=M1*M2*g/(r^2)
E=Mc^2
看到這些公式我真的為之一顫，這麼的簡單，就是一個乘一個，這種奧秘真的太震撼了，而我突然想到，他們的普遍特點就是這個乘。
為什麼一個量總是另幾個量的乘的關係（把除法算在內），最平凡不過的乘法運算為什麼有這樣無比強大和神奇的特性？

乘法（可以用來描述物理方程式的本質）到底有什麼不為人知的奧秘？
ps:我的疑問在於這個數量關係，想必很古老的時候還沒有物理學的時候我們就有了乘法運算，這麼簡單的規則竟然適應於萬物的法則，一個量對其它量的關係就是這個乘法為何看似如此簡單必有其理由吧！

這是為著滿足量綱不變性的要求。

（物理大戰數學亂入ing：一大波來自所謂《量綱分析》的學科內容正在靠近……）

簡單地說，一個有意義的「物理規則」若用一個關於某些物理量的方程表示，則應不依賴其計量單位之選擇（比如最簡單的牛二，力關於加速度成正比，這個比例關係就不依賴於作為比例係數的質量單位是用「千克」還是用「克」。它既不會因為你將質量單位取為「毫克」就與加速度的二次方成比例，也不會因為加速度用「千米每毫秒二次方」就變成了關於質量的雙曲餘切函數），而滿足這種條件的數學形式必然是各相關物理量的齊次函數，即：

定義（齊次函數）：令 $F$ 為一個域，向量空間 $V$ 到向量空間 $W$ 上的一個 $k$ 次齊次函數 $f:V ightarrow W$ 定義為滿足條件： $forall old{v} in V, alpha eq 0_{F}, f left( alpha old{v} ight)=alpha^{k}cdot f left( old{v} ight)$ 的映射。

【背景：選擇這一數學定義的物理動機在於——計量單位的轉換，實際上相當於乘一個係數（所謂換算，多數都是做這件事）。換言之，就是同量綱的單位間互成比例。數學上，這等價於線性變換 $old{v} mapsto alphaold{v}$ 。】

而齊次函數里最典型的例子就是關於諸元的單項式（先自己跟自己乘幾次，再跟別的乘一起）、齊次多項式（齊次單項式們趕快乘好！各就各位～預備——加）和齊次有理函數（齊次多項式們，誰在上誰在下商量好，商量好了除一發），大部分常見的物理方程式無外乎此。

【思考題：既然如此，為啥斯涅爾定律（Snell"s law）裡面居然有正弦（正弦顯然不是齊次的）？果真沒有打臉嗎？】

（2016.9.22更）

我這個人很不喜歡對別人的答案指手畫腳品頭論足，但今天實在看不下去，不得不正式評論一下那些「乘法本質上就是加法」的答案。

對於這樣的回答，我只想問一個特別簡單的問題——在你們的世界裡，有沒有一個叫做「超越數」 的物種存在？

兩個超越數相乘，我才疏學淺，您要不讓我長長見識——給我「加出」它們的乘積？

加不出來不要緊，但也請您注意——

不要說「超越數只是個例，總共才有幾個？」這種一看就沒正經學過高等數學的外行話哦（儘管這麼說會讓您顯得年輕，還擁有著孩提時期的天真可愛，但這件衣服真的不適合您，還是請您放下，別拿了）！
也不要說「超越數只是數學的畸形產物，物理上不重要」這種話哦，以免露怯——壓根沒見過帶 $pi$ 和 $e$ 的物理學公式（高中文科班，物理選修1的電學沒學吧？嘻嘻～）……

【OS:本來我以為是我幽默感欠缺，沒意識到這樣回答的答主們是惡作劇，誰知道幾天沒看這樣的答案竟然出來這麼多？？不禁讓我懷疑給出這種答案的數學水平莫非還停留在小學初中有理數運算那會兒嗎？拜託，要真這樣就彆強答了好嘛……】

為啥是乘法，這個問題很好。首先，正如其他的大佬指出的，不是所有的物理規則都是乘法，但是確實有很多的看起來像乘法，實際上它是什麼，是算符作用在物理量上。

物理規則應當表示物理量到物理量的轉化，

在具體情境下，這種轉化以線性變換體現，而線性變換在具體表象下就是乘法。

Newton第二定理 $F=ma$ ,這實際上是

$egin{pmatrix} F_1 \ F_2 \ F_3 end{pmatrix} =egin{pmatrix} m_{11} 0 0 \ 0 m_{22} 0 \ 0 0 m_{33} end{pmatrix} egin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 end{pmatrix}$ ,

而 $egin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 end{pmatrix} =dfrac{d^2}{dt^2}egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix}$ ;

每一層都是一個算符作用在物理量上。

微分運算元 $abla$ （四維 $partial^{mu}$ ）

Fourier積分、Laplace積分也是運算元 $(Tf)(u)=int^{infty}_{-infty} K(t,u)f(t)dt$

都是乘法

又譬如Schrodinger方程，

$ihbardfrac{partial}{partial t} | psi angle =hat{H} | psi angle$ ,這實際上也是算符作用在物理量上。

相對論的更是如此

Lorentz變換 $x^{mu$ ，乘法。

電磁場

$F^{alpha$

$A^{mu$ （在加上Lorenz規範就能得到 $square A^{mu} =-mu_0 j^{mu}$ ,這就涵蓋了所有電動力學內容），也是乘法

四動量變換（一些答案裡面提到的質能公式） $p^{mu$ （再加上質心系 $p$ 為零得到質能公式），也是個乘法。

這實際上是矢量的利用張量（矩陣）進行的線性變換，

而物理學就建立在這個基礎上。

所以這不是一般的乘法，是線性變換。

因為物理量都是有量綱的。。公式里都是有為了湊量綱而存在的比例係數的說。。

物理規律就是為了揭示不同物理量之間的關係，當然為了湊量綱用乘法了。。

是因為你現在學習到的內容還處於線性法則的初級階段。在一定範圍內，任何表達式都可以做微分近似，從而表現為和某個物理量成線性關係，然後為了簡單一般會以源物理量為0的位置定義目標物理量為0的位置，就表現為簡單乘法。

實際上需要加減法的也非常多，比如合力，比如波的疊加，比如質量和能量等等。它們通常不表現為定律，而是一條潛移默化的規則：相同物理量是可加的。

加法和乘法組合形成線性系統，這才是線性物理法則的全貌。準確來說應該是加法和卷積，乘法只是與常數卷積的特殊情況。

更進一步說，將法則表示為線性系統，只是因為線性系統數學性質好容易研究而已，相對論、半導體、非晶體等理論充斥著各種非線性效應，因為它們太難了，所以不太適合在初級階段進行教學。

因為涉及求和的部分已經幫你按照定義合併了

簡單來說就是能夠加減的東西量綱就是一樣的我們習慣把這種東西重新定義成一個物理量

什麼合力總能量總作用量哈密頓量之類的就不說了

最能把這個原則體現的很明顯的是愛因斯坦張量

然後剩下的部分看起來就只有乘法了

更何況你列舉所謂的乘法的形式，也不過就是X=Y

我寫成X-Y=0不就變成加法了嗎

加法保留幾項是為了突出本質，我們要保留出最體現物理意義的部分，以便公式本身足夠精鍊，或者說，好看。

比如愛因斯坦方程的左邊是時空幾何，右邊是物質場

比如熱力學第一定律的這個形式dU=TdS-pdV，意思一目了然。但你一定要寫成d(total Energy)=0可不可以？當然可以。

再比如麥克斯韋方程，你看到一大坨眼花繚亂的東西，那你知不知道它可以寫成d*F=*J和dF=0?

再比如單粒子薛定諤方程，如果你想把動能算符和勢能項單獨研究你就有加法，如果你關注的東西是量子力學的基本規律，要把能量看成整體那就只有一個哈密頓算符。

即便你舉的例子也並不那麼準確

E=mc^2

明明是

E=m0/sqrt(1-vv/cc)*cc

誰說這裡面只有乘法？

excuse me? 物理幾乎只用乘法？

這是量子場論【標準模型】的基本公式，我們看到了：加減法、乘除法、偏導運算、張量運算、伽馬矩陣縮並、厄米共軛運算等等……這還不夠，還要嵌套變分法中的Euler-Lagrange方程……

請注意，上圖還僅僅只是標準模型最基本的公式，或者說是計算推導的第一步……

物理學家當然也想只用乘法啊！！！

奈何大自然並不是只用乘法啊～（手動心累）

快來萬門大學和我一起打call一起學超級好玩的理論物理～

取個對數不就變加法了.......

簡單地說，初等物理中，描述一個簡單過程可以用一個連續的初等函數，也就是平面直角坐標繫上的一條曲線表示。當已知這個過程，求過程累積的效果時，數學意義就是求這個函數的積分，幾何意義就是求這個曲線相關的曲邊梯形的面積。面積經常表示為兩個量（長和寬、橫坐標和縱坐標）的乘積。因此，很多初等物理定律用到乘法。

見得少啊

————

補充一下，我不認為這個問題的答案和量綱有關。

真正的物理規律大多可以用無量綱化的量來表示，所以這不是量綱的問題。本質上就是接觸的公式太少。其實冪函數、指數函數、三角函數甚至特殊函數都經常出現。

普通人容易接觸到的物理規律常常可以用非常簡單的函數比如線性函數、二次函數這些，還有一個原因就是高中物理涉及到的多是一些極限情況，自然會用到各種線性近似、二次近似。你不能指著真空中的球形雞就說物理怎麼這麼傻逼。

乘法是什麼?

這樣子的嗎？

你舉的這些都是解，已經積過分了。

第一個可以寫成歐拉拉格朗日方程，不是乘法

第二個是廣相的近似，精確形式不是乘法

第三個準確形式是E=√(p^2+m^2)不是乘法

疊加原理，是加法。

因為乘法才會改變數綱，而物理公式大多是不同物理量之間的關係。

加法只能在相同量綱的物理量之間進行。

而當遇到指數，對數，三角函數這樣的東西時，其自變數一定是個無量綱量。

我覺得是個數學原因。

一個物理量的量綱本質上是在這個物理量的空間中選擇了一個基底。在這個意義下，不同的物理量屬於不同的線性空間。而屬於不同線性空間的向量，一般來講沒法定義一個有意義的和，因此沒法相加。

反之，屬於不同線性空間的向量的直積是可以定義的，因此兩個有單位的量做積一般是有物理意義的。

你舉例的這些：

兩邊log一下就全都是加法了；

挨個取倒數就全都是除法了；

兩邊log之後再全部取負就是減法了。

世界是客觀的，我們採用的數學描述只是一種描述而已。

我覺得，乘法常見是因為很多物理規律都遵循正比關係，即一個量增減一定倍數，就會導致另一個量也增減相同的倍數。有了正比關係，就很容易導出反比關係，也就是除法。而平方正比、平方反比等關係，則常常是因為一個量的變化同時導致了兩個中間量的變化，這兩個中間量又與結果量分別成正比或反比關係。

與乘法不同，加法一般出現在一個量由多個因素疊加決定的時候。但很多量只需要一個因素就能產生，所以不需要加法。

還是因為題主接觸的物理規則太少了，高中階段大部分物理規則用乘法表示的，但並不是「物理規則幾乎都是乘法」。

後面的像熵的定義：

$S=log W$

靜流體力學在可逆過程中的熱力學微分方程：

$d E= T dS -P dV$

麥克斯韋方程組：

$abla cdot E=4pi ho$

$abla imes E=-{1over c}{partial B over partial t}$

都不是描述的物理量之間的乘法關係。

量子力學和場論裡面有一堆矩陣乘法，但這裡矩陣乘法裡面可是蘊含著疊加以及相位疊加的呀。

類似的，費曼路徑積分也可看做不同路徑以作用量作為相位的復因子加權的求和。

而比如高中的知識，引力場不就是直接線性疊加的嗎？或者直接說，牛頓第二定律不也是線性方程可疊加嘛？

所以你看，是不是一堆加法？

因為物理量之間存在的關係是正比，是反比，是平方反比

表示這些關係只能用乘法吧