為什麼微觀經濟學中拉格朗日函數都用減號，而高等數學教材中都用加號？

拉格朗日函數法用來求約束條件下的最值問題。例如某消費者只消費x和y兩種商品，單價分別為1元和2元。消費者的收入是10元。效用函數u(x,y)＝xy。求消費者的最優選擇。

微觀經濟學教材中給的解法是這樣的：

消費者的預算線是x＋2y＝10

構造拉格朗日函數

L(x,y)＝xy－λ(x＋2y－10)

然後分別對x,y,λ求導令其等於0，則所求的消費束(x,y)即為最優解

而這種問題在高等數學教材中構建拉格朗日函數時一般會寫成L(x,y)＝xy＋λ(x＋2y－10)

為什麼一個用減號一個用加號呢？

評論里 @適格的魔法師 基本上給出了解釋，我在這裡完善一下：

首先要知道，Lagrangian Multiplier的做法的合理性來自於Kuhn-Tucker Theorem，而Kuhn-Tucker Theorem中，對於約束條件，通常是寫成不等式的形式的。

當然，這並不是說不能寫成等式的形式，但是寫成不等式有一個好處，就是這樣約束集通常是凸的（想像一下二維的情況），而我們又知道，所謂凸優化問題（Convex Programming）是滿足Kuhn-Tucker Condition的——滿足這一條件時，用拉格朗日乘數法所得到的解和原問題的解等價。

那麼回過來，在Kuhn-Tucker Theorem當中，如果約束條件是不等式G(x)&<=c，其乘數λ按慣例是這麼寫進去的：L(x,λ) = F(x) + λ( c - G(x))，而且此時準確來說，一階條件不是L對λ的偏導數為0，而是λ&>=0，c-G(x)&>=0（就是L對λ的偏導數，等價於G(x)&<=c），且兩等式至少有一個為0（這被稱為Complementary Slackness），這樣做是為了帶上邊角解或者約束不起作用（not binding）的情況。

但是，如果我們（由於別的原因）明確知道約束會起作用（binding），也就排除了λ=0的情況並且知道G(x)=c必須成立，這就回到了最常見的情形。

我們再來看所謂「消費者的預算線」的問題。我們知道，消費者的預算其實不止是一條線x+2y=10，事實上x+2y&<=10的所有商品（準確來說還要加上x&>=0,y&>=0），消費者都可以進行消費，其實我們完全可以在「預算集」而不是「預算線」上做優化，這樣我們的約束條件就變成了不等式x+2y&<=10，而且在用乘數法時自然而然就是寫成+λ(10-x-2y)的形式（也就是題主所說的-λ(x+2y-10)這種用「減號」的形式了）

但是，我們可以從邏輯推導的角度看出：如果不用完預算，總是可以多買一些x或y來提高效用，因此最後的解一定是落在預算線x+2y=10上，於是我們就不用考慮λ是不是0的問題了——更進一步，我們也不關心λ是正是負，那麼當初用的是「加號」還是「減號」就無關緊要了。

以上的說法，更多地像是一個「慣例」的理由——因為Kuhn-Tucker Theorem這麼寫，就通常這麼用了，而且在一般情況下也不用在意正負的問題。

不過，還有另外一個理由，就是由包絡定理（Envelope Theorem），可以算得在取最優解時，L*對c的偏導數就是λ*（L*是L的最優值，λ*是λ的最優值），也就是說，λ*表示對資源約束放鬆一點點所造成的邊際效用增加量。既然是「增加量」，讓其為正數也是有意義的。（這也是 @適格的魔法師 評論中的主要觀點）

我之前的專欄文章對此也有說明：三個應知應會的數學技巧

這些大概就說明了為什麼微觀經濟學中用「減號」，但是我還是不太清楚為什麼高等數學教材中都用「加號」，希望有知友解惑。

對於等式約束，加號減號都無所謂。對於不等式約束，則所謂。

如Richard Xu所說，這個約束條件最初的formulation應該是 ，但是顯然這個約束條件在最優解處必須是tight的，即等號必須成立，否則總可以提高x或者y一點點使得目標函數值更大一點點。

所以你看的經濟學中， 我猜 還保留著先前的經濟學意義。