如何理解「任一定義域關於原點對稱的函數 都能拆成一個奇函數和一個偶函數之和」？
01-06
證明過程不用再寫了，我就是感覺這個定理有點抽象，不好理解。如有大神能夠用具體函數舉舉例，最好還有圖像輔助表示整個拆分過程就好了，感激不盡！
說明在定義域關於原點對稱的情況下，函數空間是奇函數空間和偶函數空間的和，實際上該和為直和。
幾種退化情形：
1、整函數（暫且理解為麥克勞林級數處處收斂於那個函數即可）可以拆成泰勒級數奇次數項部分和偶次數項部分。特別地，多項式可以寫成僅含奇數次項和僅含偶數次項的多項式之和。
2、可展開為傅里葉級數的函數可以拆成正弦部分和餘弦部分的和（注意：不是正弦級數和餘弦級數）。假設關於原點對稱的函數為 f(x)，則：
f(x) = g(x) + h(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 + (f(x) - f(-x)) / 2g(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 = g(-x) 為偶函數
h(x) = (f(x) - f(-x)) / 2 = -h(-x) 為奇函數另外我在維基百科上也找到了相關的回答：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B8%E8%88%87%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
想太多了………其實就是類似：
任一有理數都可以拆成一個正數和一個負數之和或者：
平面任一向量都可以分解為兩個不共線的向量的balabala（具體描述不記得怎麼說，就是Z=aX+bY的意思）實際上，
g(x)=[ f(x)+f(-x) ]/2 是偶函數h(x)=[ f(x)-f(-x) ]/2 是奇函數f=g+h證完………與其說是「證明」，不如說是「構造方法」……圖像反而更難理解………（主要是兩個函數圖象疊加並不直觀）g實際上是把f關於y軸對稱後再疊加
h就是把f關於原點對稱後再疊加然後發現這兩個疊加後和f相差一個係數，所以有了1/2……如果把「疊加」從相加改為「求平均」，就不用調節係數（完全不覺得這樣講比抽象函數直觀多少……）抱歉用手機碼字不能上圖例。其實你可以完全按照定理的證明過程自己來構造這樣的函數啊，只要你真正理解了證明過程就會理解這個定理。這是一個構造性的證明，也就是說它要說明的不是「一個奇函數加一個偶函數的組合可以構成全體定義域對稱的函數」，而是要說明「定義域對稱的函數可以分拆成一個奇函數加一個偶函數」，構造性證明可以造出千奇百怪的結果而我們人腦只能想像比較簡單的函數，從而會營造出「這個定理好神奇」的錯覺，可能是你不理解的一個原因。
這個太好理解了。
假如說你有一個函數F，它在x處的值是y1,在-x處的值是y2那麼必然存在兩個數a,b，使得a+b=y1, a-b=y2（事實上，a=(y1+y2)/2，b=(y1-y2)/2）
也就是說，如果有一個函數f1，同時經過點(x,a)和(-x,a)，以及一個函數f2，同時經過點(x,b)和(-x,-b)，那麼f1+f2就經過了點(x,a+b)和(-x，a-b)，也就是(x,y1)和(-x,y2)然後對於F定義域內的每個x，都有對應的-x、y1、y2、a、b，只要讓剛才我們的f1每次都經過(x,a)和(-x,a)，f2則每次都經過(x,b)和(-x,-b)，那麼f1+f2就永遠等於F了然後我們又發現，f1恰好每個點都是(x,a)和(-x,a)的形式，正好是個偶函數，對應的，f2也正好是個奇函數。。
a=m+n
b=m-n相當於說這個關於m,n的二元一次方程組恆有解
只要令a=f(x0) b=f(-x0) m=g(x0) n=h(x0)(f(x)為給定函數，g(x)為某偶函數，h(x)為某奇函數)再進一步，就可以理解成，任何兩個數同時加上某一個實數都可以變成一對相反數
數軸上任何兩個點，同時平移後，都可以關於原點對稱反過來理解就好。對任意的一個f(x)，總存在一個奇函數，對稱的兩個點所對應的函數值上下平移（就是加了一個偶函數），可以與f(x)對應。
這是數分一裡面一個證明題吧，感覺證明過程就很好理解啊。
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