如果時間無限能不能寫完0～1之間的所有實數？

01-06

【請不要說紙不夠長之類的】換句話說，可不可以理解為雖然實數為n個且趨近於無窮大，但是我可以把時間取為更大一些的n+1，使得lim（n+1
）n趨近正無窮結果為1，也就是可以寫完所有實數
有點亂，如果有大神懂了我想問什麼請幫忙修改

不可以

但是如果時間無限，可以"寫完"0~1之間的有理數

可數和不可數的區別

這裡牽扯到兩種無窮，一種是可數無窮，一種是不可數無窮。不可數無窮是一種比可數無窮大得多的無窮。0到1之間的所有有理數有無窮多個，但是這個無窮是可數無窮，也就是可以數得過來，但是0到1之間所有的實數的無窮是不可數的。事實上，0到1之間的實數跟從負無窮到正無窮之間所有的實數的個數是一樣多的。所以如果你能寫完0到1之間所有的實數，你就可以寫完所有的實數。這兩種無窮之間的區別最早是康托爾發現的。我覺得就算是有再多的時間，也只能寫出可數個數，也就是頂多能寫出一個有理數集合，要想寫完不可數集合是不可能的。

參考：

連續統假設

格奧爾格·康托爾

希爾伯特旅館悖論

關鍵點在於：無窮大與無窮大之間也有大小之分。舉個通俗的例子就是：自然數的個數 = 整數的個數 = 有理數的個數 &< 實數的個數。

0～1之間的實數是一個實數集合

然後，假定你寫一個數需要1/K秒（K不妨去一個很大的數，而且不變），那麼你就在0，1/K, 2/K....都可以寫出一個數來。這個集合與自然數的集合一樣大。

所以，你不可能寫完。

度娘關鍵詞:康托對角線一一對應

你怎麼就不明白呢，你可以寫完的都是有限的，什麼時候觀測都是有限的，無限只存在於思維。如果永遠寫下去，那麼這列數也是可列的，不可能表示所有實數。

時間無限和寫完這兩個概念矛盾

你第一個數打算寫什麼？？！

其實已經有大神說了這個是無窮大的基數問題，這個知識點也算是比較簡單，所以大神作答也很隨意。但是看題主用極限來衡量這個無窮大的基數大小，大概是還沒學到基數這個知識點。我就用啰嗦點講下：

題主的問題簡單來說就是兩個無窮大集合怎麼比較大小，只要理解這個就行了。

首先考慮自然數和正偶數，這兩個都是無窮集合，那麼哪個更大？乍看來好像所有的正偶數都是自然數，當然自然數更大，但是

一個是 1 2 3 4 ······ n ·········

另外一個是 2 4 6 8········2n ·········

這兩個集合是一一對應的，數目是一樣大的，這就是無窮集合直接比較大小的方法。

其他還可以想自然數和平方數n^2，自然數和整數，自然數和有理數的大小比較上也是一樣的（這些都是一樣大的）。如果能想通這些，就有了無窮集合大小比較的概念了。

但是實數的話就是另外一回事了，實數是沒有可數性（像自然數那樣能一個不漏的排成一列來數）的，實數的無窮大小是遠大於自然數的無窮大小的，具體就不展開了，網上和書上可以找到各類實數基數比自然數基數大的證明。

回到原題，如果把寫數定義為每秒寫一個數，像自然數能排成1,2,3,4······跟時間這一秒秒數是一一對應，是同等大小的無窮，所以自然數是能這樣寫的，但是實數沒有可數性，基數（無窮的大小）比自然數基數大，也就比「寫數這個時間」「的基數大，找不到實數和寫數的一一對應，所以實數寫不完。

一直在寫，算不算「寫完」……

可以證明，假設你寫完了，一定存在一個實數是你沒寫到的。

不妨假設你一秒寫一個，這和什麼光速之類的是等價的，相較於宇宙之無窮，速度快上幾億億倍是沒意義的，不考慮相對論效應。

假設你第n秒寫下了Xn，我們把Xn展開成二進位小數，即0.0101101....，每個Xi都對應一個二進位展開。現在，我說，有一個實數必定是你沒有寫出來的。

考慮小數x，它的第i位與你寫的xi的第i位相反。例如，若xi的第i位是1，則x的第i位就是0。那麼我說這個x與你寫的任何一個都不同。想想為什麼。

所以，這個x是你從未寫出來的。

因此，寫完所有的實數是不可能的。

當然寫不完啊。

當然不能，寫數說明能寫出可數可列個數，這個無窮大是最小的一個無窮大。實數的無窮大比可數可列的無窮大要大。你可以理解為，時間無限，你能寫出所有的整數，自然數，有理數，但是，你寫不出所有的實數。因為實數的無窮大比有理數的無窮大要大。具體證明，康託大神已經給出。

1.在任何情況下，能不能寫完0～1之間的所有實數? 不能

2.如果時間無限，能不能寫完0～1之間的所有實數? 不能，加了限制條件不是反而更加不能嗎？

哈哈，他們都說錯了，你當然可以寫完了

為了你好理解，如果把時間和溫度做對應，假設5分鐘水燒開至100°

五分鐘這個時間區間也就是0分鐘-5分鐘其中是無限的

0°-100°也是無限的，你可以想像如果把0°-1°無限除以2可以得到無限的數字，也就是隨著時間曲線的上升，溫度也在不斷上升，所以2個無限是有對應關係的。如果假設把樓主加速到光速（在不氣死愛因斯坦的情況下），樓主是可以數完0-1之間的數的。

你還記得函數關係圖吧？

（自己畫的，忽略畫的難看和不標準。。。我只是想表明意思，如果有強迫症的，你可以幫我畫一個標準的）樓主可以通過上圖看出時間0-5min是無限接近於5min的其中經歷了4.5min4.55min4.555min......

樓主再看溫度，0-100°是無限接近與100°的，99.5°99.55°99.555°

而他們之間呈現了一個函數關係對應圖

也就是說，如果樓主縮小且加速為光，你看到的溫度就是一個無限突破另一個無限的過程，如果你有雅興拿筆記錄下來，當然是可以寫完的（足夠長的紙）

（PS 一條直線上可以找到無數個點，就有無數個對應關係，但最後會達到100°所對應的5min）

如果向他們說的數不完，那水永遠都不會燒開了