怎麼評價康托爾（Cantor）的影響？

01-06

Cantor對於無窮的分級以及他創造的集合論對於數學來說有什麼影響？為什麼？

謝邀。。又是個積累很久的文債，不好意思。。

首先，要評價康托爾的影響，首先需要知道他做了什麼。

他的主要貢獻在於兩個：

1，集合論

2，超窮數理論。
這兩個都對應著同一個元數學對象，那就是「無窮」。

介紹下背景和影響：

所謂「集合論」，

集合論在誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念，但是這些概念數學家並沒有準確的在元數學層面去「定位」他，雖然數學分析理論在此時已經初見規模，但是不解決這個理論基礎問題，總歸體系不明。柯西在《極限理論》解決了這些基本的邏輯困難。但是

並沒有徹底完成「分析」的嚴密化，有一定的模糊性，因為沒有真正拜託幾何直觀，不深入到基礎中去，無法達成良好自恰。。。

而讓康托爾開始深入到「分析」領域的其實是這樣與個問題：

「任意函數的三角級數的表達式是否唯一？」

海涅證明了「定義區間里除去間斷點任意小鄰域保持一直收斂」。。但間斷點的情況如何呢？

康托爾做了如下理論建立：點集論，也就是將無窮點集作為對象。

而這種思想的影響大概在以下幾點：

1，一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應，恰恰反應了無窮集合的一個本質特徵。

2，確立了實數不可數性質。

3，n維連續空間與一維連續統具有相同的基數。

4，給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中藉助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。

5，康托爾對於「無窮」在元數學上的立場和認識，讓哲學認識論領域的「千年老坑」被炸了出來，正愁沒事幹的哲學家們瞬間找到目標了，大量關於集合論本身的數學哲學討論，以及其他哲學領域的討論被炸了出來，這也算是元數學研究對於哲學命題方向的一次指導。

6，這種新的理論概念已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門，也引起了哲學方法論的一些討論。

而「超限數理論」進一步擴充了他的研究，作用在於：

改變了早期用公理定義(序)數的方法，採用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個「序列」；規定了它們基本運算。

擴充過後的集合論基礎又引起廣泛探討，反對者如，

數學界：克羅內克等

哲學界：魏爾等等一大堆。

然後就是喜聞樂見的哲學家們的「打臉」時間：

布拉里-福蒂悖論

序數按照它們的自然順序形成一個良序集。這個良序集合根據定義也有一個序數Ω，這個序數Ω由定義應該屬於這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何一段的序數要大於這段之內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬於Ω。

康托爾最大基數悖論

證明: 假定相反情況，並設 C 為最大基數。則(在馮·諾伊曼基數公式化中) C 是一個集合因此有冪集 2C通過康托爾定理，它有嚴格的大於 C 的勢。但是根據定義 C 的勢是 C 自身，所以我們展示了一個大於被假定為最大基數的 C 的勢(就是 2C)。有這個矛盾達成了這樣的基數不存在。

羅素悖論

Q∈P 還是 Q?P？若Q∈P，則根據第一類集合的定義，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A?A的性質，因為Q∈Q，所以Q?Q，引出矛盾。若Q?P，根據第二類集合的定義，A?A，而P中的任何集合都有A∈A的性質，所以Q∈P，還是矛盾。

然後，這些悖論和質疑直接引起著名三次數學危機就開始爆發了，

而這次危機的在數學體系內的解決方案就是「公理化」。

康托爾支持者，以希爾伯特為代表，開始解決這些事情。

戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理化運動。

而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對於初等幾何的公理化。

但是在數學體系內部，公理化可以解決這個問題，元數學上也可繼續研究。但是這給哲學家又留下了一個目前沒有共識的「千年老坑。。

但是康托爾總歸給僅僅著眼於瑣碎問題的現代數學家們給了一個更為整體，更為基礎更為完善的數學基礎體系和一個更為有遠見的數學思維方式

這便是康托爾作為現代數學基礎建築師的成就

從研究具體的某個東西到開始討論一類具有共同性質的東西，抽象層面大大提升。

比方說Banach空間

外行亂入。

沒有康托爾，現代數學的發展將完全難以發展。現在有哪個數學分支不使用「集合」與「映射」概念的？

希爾伯特說過，誰也無法將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去。

沒有集合論就沒有現代數學。也不好說別的什麼影響了。

Cantor的最基本的工作就是超限數，一種設定無限集合的方法，是對於目前歸納的認知構架的一種超越。

cator的工作涉及了一個目前都無解的邏輯困境，這裡的困境指的是當我們發現邏輯無法自洽時，沒有辦法剔除錯誤。

問題：對於任何一個自然數，都存在一個對應的偶數，那就是它的兩倍。因此所有書的數目並不比偶數的數目更多，也就是說，整體沒有部分大。這是萊布尼茲的推論，這種推論在我們古典邏輯體系中無處不在，比如極限問題，歸納問題，整體與部分問題。我們現在使用的所謂現代數學，無非是古典邏輯之上，用集合論工具，使用符號邏輯工具（代替古典文字邏輯）來表達的體系。那麼，集合都不能定義，整個現代數學的邏輯都不是自洽的，起碼都現在都是。

Cantor也做了和萊布尼茲一樣的推理，從而面臨著同樣的困境：或者談論一個無限集中元素的數目是沒有意義的（不用自然數作為基礎參考序列），或者某些無限集將與它的子集具有相同的元素數目。萊布尼茲選擇了前者，即不使用自然數作為集合的標定序列，康托爾選擇了後者，研究怎麼樣的集合是可以用自然數序列標定的，如何標定。

對於普通人而言，cantor的工作僅僅是當我們使用數學歸納法時，當n&>n+1時的趨近在哪種情況下更可信；當我們選擇一個無限集合（a,b,c,c.....）時，這個集合的元素具備什麼特性，才可以使用{1，2，3，4........}序列來標定他。這個工作看起來和平時計算機演算法，數學求值技巧關係不大，但是對於整體認知體系而言，卻是一個天壑破了一個小口，是非常了不起的成就。

隨便說一句：關於第三次數學危機問題，假如看羅素或者其他人的邏輯，是搞不清楚這個問題的（他們自己的推理有問題），我也是看了描述萊布尼茲和康托爾的說明清晰建立概念。