哥德爾不完備定理動搖了數學的基礎嗎？

01-06

「哥德爾的研究開啟了一個可能性，即日常使用的數學可能是不一致的，並且，數論本身中存在一個長度有限的使得0=1的證明。用這個驚人的結論，只要某個關於整數的論斷在語法上是正確的，那它就能被證明為真，那麼，我們所知的數學就會像紙牌屋一般坍塌。」
以上摘自《Our mathematical universe》

我們先說什麼是completeness

其實有兩種，哲學上我們常說的是語義的完備性，數學上我們常說的是語法的完備性。什麼意思？

首先什麼是語法？語法就是你先要有一堆符號，然後有一些規則讓這些符號組成句子，然後在一個系統裡面我們可以挑一些句子作為公理，然後我們可以再挑一些類似於三段論一樣的從舊句子推導出新句子的方法，這樣我們就定義這個系統里所有的定理就是這些能從公理裡面推出來的句子。注意這個裡面我們沒有說到任何的關於這個定理是不是對的的事情，那是語義管的事情，我們暫且不表。

語法的完備性就是說給定任何一個命題，我們都能證出來要麼這個命題是個定理要麼他的negation是個定理。

哥德爾就是證出來我們數學裡沒有這個完備性。

注意在一般的邏輯裡面我們是從不敢奢望有語法的完備性的：比如最簡單的句法邏輯里的一個代表原子句子的符號p. 我們當然不能證明它或者非它。

為什麼在數學裡面我們希望有這個完備性呢？其實也不是我們，主要是希爾伯特和他的形式主義。跟我念：二十世紀上半葉數學三大主義—邏輯主義～直覺主義～形式主義。

形式主義是幹嘛的呢？

他們就覺得，通過這些有限的公理和推導方式，我們一定可以知道一切關於數學（至少是算數的東西）。

就是希爾伯特說的，我們必須知道，我們必將知道。

聽起來很有道理並且令人心潮澎湃。

哥德爾不完備性定理主要就告訴了我們，希爾伯特這一套行不通。

但也不是完全行不通，就我知道的哈佛還是有一個退休的老教授（忘了名字了。。）是完全持形式主義的。因為現在即使沒有像希爾伯特想的那麼好了，我們仍然可以把數學看成是由一串串字元拼起來的文字遊戲，只不過在這個遊戲裡面我們不能證明或者證偽所有命題，也不能證明自己這個遊戲不會推出來矛盾罷了。

另外我印象Joel Spencer有一篇寫的很好expository的文章就舉了組合里的一些不能證出來的例子，那些例子有一個很有趣的特點，就是數變大地太快了，超出了皮亞諾遞歸能承受的速度，很有趣的。

最後我們說這個有沒有動搖數學的根基呢？

你問希爾伯特的話，他如果誠實的話肯定會覺得有點動搖了，不過還好，我們目前還沒有任何一個關於數學是不自洽的證明。

你問哥德爾的話我猜他會說沒有。為什麼？

他是相當激進的柏拉圖主義者。

我印象里Yuri Manin也說他持radical platonism

哦對了這方面Yuri Manin寫過很多文章還出了一本書，我感覺寫的超級好，強烈推薦大家去看看。

柏拉圖主義者，顧名思義，他們的想法柏拉圖就有了，就覺得，數學是一個超出了我們這個世界，在我們這個世界之上的實體。

啊哈，那這個不完備性定理用柏拉圖主義的角度來看簡直太對了，我們在這個世界怎麼能知道另一個世界的全部呢？

另外你們可以去看看哥德爾後期的哲學思想，包括他給出的愛因斯坦方程的解，和他的本體論證明，都是很有意思的。

我想目前大部分的working mathematician內心都是柏拉圖主義的，只不過程度有深有淺，因為我覺得形式主義的數學家或多或少會覺得自己用盡一生來玩一些文字遊戲，這在我看來是不能接受的。

嗯。。說再多就都是關於柏拉圖主義的東西了（我發現Joel Hampkins在搞set theoretic geology和platonism的東西，這聽起來很有趣，麻煩懂的小朋友給我講一下：））

總之就是，對於形式主義者來說，有點動搖。對於柏拉圖主義者來說，沒有。

最後，說實話這些東西也都七八十歲了，現在人對數學的看法和當時也很不一樣了。比如說我完全沒有提到現在的範疇邏輯和type theory對這些問題的回答，但實際上我想你和現在的數學家們說這些會更make sense.

謝邀。

我對數理邏輯及其歷史並不是很熟。下面如果有說錯的歡迎指出來。

首先哥德爾不完備性定理有兩條。我直接把維基百科的原文貼上來。

First Incompleteness Theorem: "Any consistent formal system F within which a certain amount of elementary arithmetic can be carried out is incomplete; i.e., there are statements of the language of F which can neither be proved nor disproved in F." (Raatikainen 2015)

Second Incompleteness Theorem: "Assume F is a consistent formalized system which contains elementary arithmetic. Then $F ot vdash { ext{Cons}}(F)$ ." (Raatikainen 2015)

第一條的意思大致是說：包含算術系統的公理體系（也就是說可以定義自然數的公理體系）都是不完備的，即在這個體系下可以寫出一條命題，他既不能在這個體系內證明，也不能在這個體系內被證偽。這個事情聽起來挺玄乎的，其實你仔細想想，比如選擇公理是可以在ZF公理下表述，但是ZF不能證明也不能證偽選擇公理；這個定理無非是說，對足夠複雜、能定義自然數的公理體系，他裡面總存在「新的公理」而已；你不可能通過添加有限多條公理來達到完備——即所有的命題要麼被證明，要麼被證偽；總有一個角落你夠不著。

第二條就是題主提到的一致性的問題了。這個表述更弔詭：一個包含算術系統的公理體系，即使他是一致的，他也不能在其內部證明他自身的一致性。是不是挺繞口的。。什麼意思呢？比如我們還是拿ZFC公理舉例，「ZFC不一致」這個命題我們用 $ext{ZFC}vdash 0=1$ 來表示，其實也不一定要用0＝1，隨便一個什麼假命題都可以，只是0=1這個寫起來最簡單而已。如果我們證明了ZFC內部能夠證明0=1，那不就出矛盾了，就亂套了嘛——在一個有矛盾的公理體系內部，真假是沒有意義的，所有命題都同時為真同時又為假。那麼不一致的反面就是一致，也就是 $ext{Cons(ZFC)}= eg ( ext{ZFC}vdash 0=1)$ ,這個命題可以用形式語言寫成ZFC內部的一個命題。這個繞口的定理是說，我們不能在ZFC的內部證明ZFC的一致性，但是可以在ZFC的外部（引入新公理）來證明ZFC的一致性。

好吧，我自己對一致性理解也不是很好，上面說得我自己都有點困惑了。。希望學邏輯的老師同學來給出更清晰的解釋。

但無論如何，第二條定理是說，我們不能排除ZFC不一致的可能性，但不代表我們已經發現了ZFC內部存在矛盾。這兩條定理某種意義是說形式語言表述能力的有限性，你不能指望一個足夠複雜的有限的形式系統能夠完美地做到你期望他做到的一切事情，有時候不可避免地要加新公理。

只說了包含數論部分結果的系統。但是還有很多不包含數論的系統，即完備，又一致。

懶得翻譯了，就醬。

動搖數學基礎？沒感覺到哎。畢竟數論，真的只是數學的一小部分。雖然自然數系統是數學的最初接觸對象。但並不代表它是數學各種系統不可拋棄的部分，也不代表它一定是理想數學系統的核心。你看圖片里這麼多system不包含自然數論一樣轉啊，而且轉地更開心了！以上

只說明任何系統都有邊界。沒有全知全能的系統。而更可怕的是有些問題不可能用邏輯解決且這樣隱藏的問題可能極多。即邏輯系統的有效性是不完美的。所以未來有邏輯革命的可能，因為總有一天，邏輯已經落後的不能滿足生產力的發展需要。邏輯如果是鋤頭，那麼用鋤頭的人應該被解放。

樓主對不完備定理理解有誤。

不完備≠不一致

皮亞諾自然數體系的一致性已經由格哈德·根岑（求中文證明過程！！！）證明了。

所以0=1不會被證明。