p為正實數，證明： {sin(n^p)} 關於n從1到正無窮，稠密於[-1,1]？

01-06

目前只會證的內容：
p=1：通過證明 ${n(mod 2pi)}_{n=1}^infty$ 的下確界為0的方法來得。
p為有理數時，可約化為整數的情形。

PS：
這不是作業題，請別舉報。。。只是一個偶然想到這個問題，發現有點做不動，但是不知道翻什麼書去。

謝邀，這個問題研究的是叫做equidistribution. 也就是對於任意 $[alpha,eta]subset [0,1)$ ,下面的結果是否成立

$lim_{N oinfty}frac{#{a_n;1leq nleq Nin [alpha, eta]} }{N}=eta-alpha$

$#$ $A$ 表示 $A$ 中的元素個數。特別的，也就是說 ${a_n}$ 在 $[0,1)$ 稠密。你的問題可以變成 $frac{1}{2pi}n^p$ 模掉1後在區間 $[0,1)$ 中的稠密性問題。

Weyl』s criterion說明只要對於任意 $min mathbb{Z}$ ,

$lim_{N oinfty}frac{|sum_{n=1}^N e( ma_n)|}{N}=0$ ,

$e(x):=e^{2pi ix}$ , 那麼 ${a_n}$ 就是equidistributed的。根據這個結果，馬上就會發現如果 $alpha$ 是一個無理數，那麼 ${alpha n}$ 是equidistributed，還有，如果

也就是說對於你提出的 $pgeq 1, pin mathbb{N}$ ，這個問題就解決了。可以參考下面的結果。

http://www.math.ucsd.edu/~jverstra/Weyl2.pdf

更進一步的結果可以看陶哲軒的blog：

https://terrytao.wordpress.com/tag/weyl-equidistribution-theorem/

equidistribution | What"s new

https://terrytao.wordpress.com/tag/vinogradov-lemma/

比較慚愧，我在這方面（Vinogradov指數）也不是特別熟悉，畢竟我比較關心pde。這個問題確實屬於數論方面的結果。 Stein的Fourier analysis對這個問題有詳細的介紹，而且我想本科生看懂這些內容是不難的。對了，其中的一個習題和你這個問題直接相關