A＝B一定能推出B＝A嗎？

01-06

稍微談及到對稱性破缺，沒有理解，但記下了部分關鍵詞與大致結論——A＝B 不是總能推出B＝ A。就好像乘法的交換律，在代數里a·b＝b·a，而矩陣里A·B≠B·A，（交換律在代數運算里成立，在矩陣運算中不成立）。那麼A＝B在某些情況下是否真的無法推出B＝A？是怎樣的情況呢？

等價關係是定義在某集合 $G$ 上的二元關係，滿足自反性、對稱性和傳遞性三種不同的性質。。

自反性： $forall xin G$ ， $x=x$ 。

對稱性： $forall x, yin G$ ，若 $x=y$ ，則 $y=x$ 。

傳遞性： $forall x, y, zin G$ ，若 $x=y$ 且 $y=z$ ，則 $x=z$ 。

所以，按照等價關係的定義，一定能。。

如果還有疑問，請先想想自己是不是在思考等價關係。。

怎麼肥四......怎麼突然多了幾十個贊......

懵了......

以下是原答案:

你大概是搞混了關係和運算這兩個概念……

更新:其實很簡單嘛，等於是個等價關係，有些答主已經說過了。題主說ab不一定是ba，但如果ab是ba，那ba一定是ab咯……

順便一提，代數是個比矩陣更大的概念，你說的可能只是數域

啥？

一個是relation的symmetricity，另一個是operation（dot product）的commutativity。

我覺得你搞混了？

等價關係是這麼定義的：

設 $R$ 是非空集合 $S$ 的一個關係，若 $R$ 滿足

1.反身性，即對任意 $ain S$ ，有 $aRa$

2.對稱性，即若 $aRb$ ，則 $bRa$

3.傳遞性，即若 $aRb$ ，且 $bRc$ ，則 $aRc$

則稱 $R$ 是 $S$ 的一個等價關係，如果 $aRb$ ，則稱 $a$ 等價於 $b$ ，記作 $a～b$

那麼如果 $=$ 定義為等價關係 $R$ ，由定義中2可知：若 $a=b$ ，則 $b=a$

首先 $forall a, b in Bbb{N}$ ， $a imes b$ 和 $b imes a$ 就是不一樣的東西，之所以他們相等，是因為

a*0=0*a : ? a → a * 0 ≡ 0 a*0=0*a zero = refl a*0=0*a (suc a) = a*0=0*a a


  a+a*b=a*++b : ? a b → a + a * b ≡ a * suc b

  a+a*b=a*++b  zero   _ = refl

  a+a*b=a*++b (suc a) b

    rewrite nat-add-comm b (a * suc b)

          | nat-add-comm b (a * b)

          | nat-add-assoc-flip a (a * b) b

          | a+a*b=a*++b a b

            = refl

a*b=b*a : ? a b → a * b ≡ b * a a*b=b*a zero b rewrite a*0=0*a b = refl a*b=b*a (suc a) b rewrite a*b=b*a a b | a+a*b=a*++b b a = refl

，而並沒有什麼東西證明了a b為矩陣時這樣的性質一定成立。

而相等的東西就是相等的， $a equiv b Leftrightarrow b equiv a$ 。

另外

估計是因為在這幻想鄉，不能按照常理出牌。。

看你等號的定義是什麼了，因為現在的符號語言不夠嚴謹的地方之一在於不同的概念可能會使用同一個記號。

如果你等號代表的是等價關係，那顯然是可以推出的；但是如果代表的是類似於像f(x)=O(x^2)這種記號，那就不能反過來寫了。

在代數上面談這個問題意義不大，畢竟連=是什麼都不知道。我可以把A=B定義為「A是B他爹」，這個關係就不具有對稱性了。

還有這些tag是想幹嘛？

具體看情況，「＝」這地方只是個符號，要是指代一種等價關係的話，那你說得對。

現在的問題是一堆人對符號本身摳來摳去，對背後的概念卻視而不見。

相等的定義依賴於所考慮的對象的類，根據研究的類別以及目的定義出相等。但是為了滿足邏輯上的要求，我們定義的相等需要滿足下列四條平等公理:

1、自反定理。

給定任何對象x，有x=x。

這其實是邏輯上的同一律。

2、對稱公理。

給定同一類的兩個對象x和y，如果x=y,則y=x。

3、傳遞公理。

給定同類的3個對象x、y和z，如果x=y,y=z,則x=z。

4、代入公理

給定同類的兩個對象x和y，如果x=y,則任何依賴於x的性質p（x），都適用於p（y），且二者等價。

驗證一個相等的定義是否在邏輯上站著住，並且能加以應用，需要對這個定義進行上述四條公理的檢驗。

綜上，相等只是邏輯學上的一個二元關係邏輯，它只是一個定義而已。

如果一個二元關係「#」不滿足A#B推出B#A，那它就不配寫作「=」。

我們遇到的在標準數學中寫作「=」的二元關係，都是滿足上面的性質的。

哈哈哈，最近正好在上Cook的Computability and Logic。前面的幾個答主說得蠻好的，但是不全面。

先說結論，在LK-proof的系統里，符合 Equality Axioms的情況下，＝默認就是我們平常認識的那個等價關係。這種情況下，因為對稱性A=B等價於B=A。Equality Axioms如下：

但是＝可以不是默認等價關係的。這種情況下 L-structure變成了弱L-structure。=可以是任何二元關係（大於小於都可以）。

這種情況下就沒有對稱性了。於是A=B推出B=A不成立。

PS: 這周這門課期中考試，求好運。

=號是定義的，不是推導的。你可以定義一種所謂的不對稱的=關係，但是通常大家的定義就是自反對稱遞推

稍微談及到對稱性破缺

你怕不是活在夢裡？

$A = B$ 不能推出 $B = A$ ，這是 $=$ 做為一個等價關係的定義

在代數里a·b＝b·a

$forall a, b in S a cdot b = b cdot a$ ，是 $(S, cdot)$ 作為一個代數結構上的二元運算 $cdot$ 的定義

然而並不是每一個代數結構上的運算都滿足交換律

建議你在討論「哲學」「數學」「量子物理」「邏輯學」之前先去系統地學點基礎的數學（

你把中間那個「=」換成相應的漢字

就明白了。

不同的關係用了同一種符號表示罷了。

如果=是賦值的話……

(手動滑稽)

題主讓我想到了某些中國法官的邏輯思維。

因為缺乏理科學習的過程，目前中國教育所產生的中國的律師和法官經常就會有題主這種疑問。

比如，我們會在判決書中看到一些啼笑皆非的邏輯：

「

檢察機關認為，黃某應當預見到雨天路滑追趕小偷並拉扯可能造成摔倒受傷的結果，其行為應構成過失致人死亡罪。

」

「

雖然客觀上小轎車並未觸碰到老大爺，但是老大爺受到了驚嚇，是老大爺倒地的直接原因。故，小轎車車主應承擔一定的責任。

」

「

鄧某某作為成年人，應當意識到在被強姦時弄斷強姦犯的陰莖會導致強姦犯大量出血並引起死亡，故鄧某某具有故意殺人之主觀故意。判處5年有期徒刑。

」

「

雖然一審判決事實有誤，法律適用不當，但結論正確，故予維持

」

「

根據日常生活經驗分析，原告倒地的原因除了被他人的外力因素撞倒之外，還有絆倒或滑倒等自身原因情形，但雙方在庭審中均未陳述存在原告絆倒或滑倒等事實，被告也未對此提供反證證明，故根據本案現有證據，應著重分析原告被撞倒之外力情形。人被外力撞倒後，一般首先會確定外力來源、辨認相撞之人，如果相撞之人逃逸，作為被撞倒之人的第一反應是呼救並請人幫忙阻止。本案事發地點在人員較多的公交車站，是公共場所，事發時間在視線較好的上午，事故發生的過程非常短促，故撞倒原告的人不可能輕易逃逸。根據被告自認，其是第一個下車之人，從常理分析，其與原告相撞的可能性較大。

　　如果被告是見義勇為做好事，更符合實際的做法應是抓住撞倒原告的人，而不僅僅是好心相扶；如果被告是做好事，根據社會情理，在原告的家人到達後，其完全可以在言明事實經過並讓原告的家人將原告送往醫院，然後自行離開，但被告未作此等選擇，其行為顯然與情理相悖。

」

「

美國著作權人就其作品在網路上享有的相關傳播權利涵蓋在複製、發行權利中，並未如我國《著作權法》中就信息網路傳播權做出專門規定。

故在網路播出版權視頻並不侵犯國外版權方的著作權。

」

這tm都什麼邏輯？！

題主們，你們可長點心吧：A＝B一定能推出B＝A！

用邏輯學(Fitch System)證明如下

我覺得你們應該仔細審題，A＝B 不是總能推出B＝ A？

不！A＝B一定能推出B＝ A

在代數里a·b＝b·a和矩陣里A·B≠B·A有聯繫嗎？

a·b＝b·a一定能推出b·a＝a·b！！！

至於矩陣里A·B≠B·A和上面有半毛錢關係嗎？

這位同學，你給出的例子都是交換律所以才不一定成立啊，作為運演算法則，是在一定條件下成立，但是對於『=』，它本身並不是運演算法則，而是數學賦予了它的意思：

形式是把相等的兩個數（或字母表示的數）用「=」連接起來。

A=B不需要推出B=A，因為 A=B就是B=A。

這就跟你問加號是什麼意義一樣的。

謝謝～

equivalence relationship的性質之一就是reflexive，你可能把概念搞混了……