黎曼猜想和哥德巴赫猜想有什麼聯繫？

01-06

包含，被包含？毫無關係？等價？有交集？

謝邀.嚴格上講黎曼猜想與哥德巴赫猜想並沒有特別明顯的聯繫（至少現在應該沒有什麼神奇的定理表明二者是等價的），不過在對哥德巴赫猜想的研究過程中黎曼猜想確實扮演了類似敲門磚的作用。

先講黎曼猜想（the Riemann Hypothesis）：

一、黎曼 $zeta$ 函數

所謂的黎曼 $zeta$ 函數是無窮級數

$zeta left( s ight)=sum_{n}^{}{frac{1}{n^{s} } } left( mathrm{Re}left( s ight)>1<br /> ight)$

在 $mathrm{Re}left( s ight)<1$ 這半個複平面上的解析延拓（analytic continuation）.因為在 $mathrm{Re}left( s ight)leq 1$ 這裡上述級數是不收斂的，1859年德國數學家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）於1859年在其文《論小於給定數值的素數個數》中首先找到了如下的解析延拓

$zeta left(s ight)=frac{Gamma left( 1-s ight) }{2pi mathrm{i}} int_{C}^{} frac{left( -z ight)^{s} }{mathrm{e}^{z}-1 } frac{mathrm{d}z}{z}$

可以證明，在上述解析延拓中除了在 $s=1$ 處有一個簡單的極點（simple pole）外，在整個複平面上是處處解析的，即所謂亞純函數（meromorphic function）.通過上述表達式可以證明，黎曼 $zeta$ 函數滿足下列函數方程

$zeta left( s ight)=2Gamma left( 1-s ight)left( 2mathrm{pi} ight) ^{s-1}sinleft( frac{mathrm{pi }s }{2} ight)zeta left( 1-s ight)$

首先可以從上述表達式中看出黎曼 $zeta$ 函數在 $s=-2n$ （ $n$ 是正整數）出取值為0，是為平凡零點（但要注意一點解析延拓後的表達式與原來的級數表達式已然不同，所以你不能簡單地令 $s=1$ 然後說 $sum_{n}{n}=sum_{n}{frac{1}{n^{-1} } }=zetaleft( -1 ight) =-frac{1}{12}$

這畢竟是很多民科「引以為豪」的結果）.黎曼發現 $zeta$ 函數除了有上述平凡零點外也有無窮多非平凡零點（non-trivial zero），這些零點的性質遠比平凡零點來得複雜，黎曼經過研究後提出日後成為數學界最為艱深的猜想——黎曼猜想：

黎曼 $zeta$ 函數所有非平凡零點均位於複平面 $mathrm{Re}left( s ight)=frac{1}{2}$ 的直線上

學界稱這條直線為臨界線（critical line）我們可以很容易地從上面函數方程中看出來黎曼 $zeta$ 函數確實關於臨界線有某種對稱性，因此黎曼憑藉他強大的直覺猜測很有可能 $zeta$ 函數所有非平凡零點都是在臨界線上的（不過後來事實證明黎曼自己確實是算過一些零點的數值的）。為了對 $zeta$ 函數進一步研究，黎曼引入了輔助函數 $xi left( s ight)$ $xi left( s ight) =Gamma left( frac{s}{2}+1 ight) left( s-1 ight)pi ^{-frac{s}{2} } zeta left( s ight)$

容易發現 $xi$ 函數的零點恰好便是 $zeta$ 函數的非平凡零點（因為 $s=-2n$ 是 $Gamma left( frac{s}{2}+1 ight)$ 極點，所以也就不是 $xi$ 函數的零點了），也就是說 $xi$ 函數像一個細密的篩子將 $zeta$ 函數的所有非平凡零點從其零點中篩了出來。利用複變函數的知識黎曼證明了

$xi left(s ight) =xi left( 1-s ight)$

這下子對稱性就變得尤為明顯了。我們記 $ho$ 為 $xi$ 函數的零點便有

$xi left( s ight)=xileft( 0 ight)prod_{ ho }left( 1-frac{s}{ ho } ight)$

這裡 $ho$ 與 $1- ho$ 總是配對出現的。需要注意的一點，上述連乘積展開對於有限多項式雖是顯然，但對這種無窮乘積卻不總是成立的，這背後蘊含著極其深刻的原因。直到1893年阿達馬（Hadamard)對以 $xi left( s ight)$ 為代表的整函數（entire function）進行系統研究之後，才完完全全證明了黎曼這個表達式。

利用 $xi$ 函數黎曼研究了零點分布並且提出以下三個猜測：

猜想一：在 $0<mathrm{Im}left( s ight)<T$ 的區域內， $xi left( s ight)$ 的零點數目約為 $frac{T}{2pi } mathrm{ln}frac{T}{2pi } -frac{T}{2pi }$

猜想二：在 $0<mathrm{Im}left( s ight)<T$ 的區域內， $xi left( s ight)$ 在臨界線上的零點數目也約為 $frac{T}{2pi } mathrm{ln}frac{T}{2pi } -frac{T}{2pi }$

猜想三： $xi left( s ight)$ 的所有零點均在臨界線上.

可以看出，黎曼的三個猜測是呈階梯一般不斷增強的，而最後一個便是大名鼎鼎的黎曼猜想。需要指出的是，除了猜想三黎曼確確實實承認自己證不出來外，猜想一、二都被黎曼認為是簡單的（但他並沒有給出完整證明，鑒於黎曼的人品，黎曼極有可能確實證明了這兩個猜測）。不過隨便舉個例子你們感受一下這三個猜想的分量，最簡單的猜想一直到黎曼的論文發表46年後才被證明；次簡單的猜想二直到現在也沒被證明，它強於所有已經取得的結果；至於猜想三嘛，呵呵……

二、黎曼 $zeta$ 函數與素數分布

熟悉初等數論的人都知道歐拉（L.Euler）在1737年發表的一個著名公式

$zeta left(s ight)=sum_{n}{frac{1}{n^{s} } }=prod_{p}frac{1}{1-p^{-s} }$

其中 $p$ 遍歷所有素數.藉由這個公式，我們便將黎曼 $zeta$ 函數與素數緊密地結合在一起，換句話說：黎曼 $zeta$ 函數解密了素數的結構。（By the way，利用這個乘積可以很簡單地證明素數有無限個）利用歐拉的這個公式做引子，黎曼證明了如下結果

$mathrm{ln}zeta left( s ight) =int_{0}^{infty } x^{-s} mathrm{d}Jleft( x ight)$

這裡 $Jleft( x ight) =sum_{n}{frac{pi left( x^{frac{1}{n} } ight) }{n} }$ ，其中 $pi left( x ight)$ 為不大於 $x$ 的素數個數.利用分部積分，黎曼得到

$mathrm{ln}zeta left( s ight) =sint_{0}^{infty } Jleft( x ight) x^{-s-1} mathrm{d}x$

這下子聯繫就比較露骨了，左邊是萬能的 $zeta$ 函數，右邊是與素數分布直接相關的 $Jleft( x ight)$ ，那麼接下來要做的便是解出 $Jleft( x ight)$ ：

$Jleft( x ight) =frac{1}{2pi mathrm{i}} int_{a-mathrm{i}infty }^{a+mathrm{i}infty } frac{mathrm{ln}zeta left( z ight) }{z}x^{z} mathrm{d}z$

而利用簡單的莫比烏斯反演（Mobius inversion）可以得到

$pi left( x ight) =sum_{n} {frac{mu left( n ight) }{n} Jleft( x^{frac{1}{n} } ight) }$

這樣我們就把素數分布函數 $pi left( x ight)$ 完完全全蘊含在黎曼 $zeta$ 函數之中.

三、素數定理

對素數規律的探求一直是數論領域的核心問題。對於 $pi left( x ight)$ ，高斯（Gauss）有如下猜想：

$pi left( x ight) sim int_{2}^{x} frac{mathrm{d}t}{mathrm{ln}t} =mathrm{Li}left( x ight)$

獨立於高斯，勒讓德（Legendre）也有如下猜測：

$pi left( x ight) sim frac{x}{mathrm{ln}x-1.08366}$

容易看出，這兩者是等價的（不過我一直好奇1.08366是怎麼找出來的……），共同被稱為素數定理.

1896年，阿達馬與普桑（de la Valee Poussin，這名一看就是上流社會）分別獨立證明了黎曼 $zeta$ 函數在 $Re=1$ 上沒有零點，進而證明了素數定理。這當然是一個輝煌的成就，素數定理被證明之後，人們普遍希望能得到一個有精密誤差項的估計。可以證明高斯的公式比勒讓德的公式要精密得多（廢話，氣質就不一樣，一個高富帥，一個土老帽……）。在黎曼猜想成立的假設下，人們證明了 $pi left( x ight) =mathrm{Li}left( x ight) +Oleft( sqrt{x} mathrm{ln}x ight)$

反之，從這個公式也可以推出黎曼假設是對的，也就是說兩者是等價的。（黎曼假設還有一個很有意思的等價命題：對所有的 $ngeq 1$ ，

$sum_{d|n }{d} leq H_{n}+mathrm{exp}left( H_{n} ight)mathrm{ln}H_{n}$

其中 $H_{n}=sum_{k=1}^{n}{frac{1}{k} }$ ，等價性由Jeff Lagarias證明）

四、廣義黎曼假設（GRH）

即使研究黎曼猜想受阻，但依然攔不住數學家們想要高飛的心。所謂的廣義黎曼猜想，就是黎曼猜想的2.0版本，不過其研究對象由黎曼 $zeta$ 函數變成了更具廣泛性的狄利克雷（Dirchlet） $L$ 函數。所謂狄利克雷 $L$ 函數指級數

$Lleft( s,chi ight) =sum_{n=1}^{infty }{frac{chi left( n ight) }{n^{s} } } left( mathrm{Re}left( s ight)>1<br /> ight)$

在 $mathrm{Re}left(s ight)<1$ 上的解析延拓，其中 $chi left( n ight)mathrm{mod}p$ 是狄利克雷特徵，稱此函數為模 $p$ 的狄利克雷 $L$ 函數.今人有如下之猜想：

所有 $Lleft( s,chi ight)$ 的非平凡零點都位於臨界線上

顯然，這個比黎曼猜想牛b多了，當然也難證多了。現代數論研究中，多以GRH為假設進行討論，與黎曼假設類似，GRH可以推出：當 $left( l,k ight) =1$ ，令算術序列 $l+knleft( n=1,2,3,cdot cdot cdot ight)$ 中不超過 $x$ 的素數個數為 $pi left( x ,k,l ight)$ ，則有

$pi left( x ,k,l ight) =frac{1}{varphi left( k ight) } mathrm{Li}left( x ight) +Oleft( sqrt{x} mathrm{ln} x ight)$

同樣的，這個公式反過來也能推出GRH.

五、研究進展

基本離證明還差得遠呢……（好吧好吧，我承認是來湊字數的）

不過有好多有希望的想法，有複變函數論的（黎曼猜想多半是個複變函數問題），有解析數論的，有非對易幾何的（代表人物法國大數學家孔涅，不過希望渺茫）還有量子力學的！！！（沒錯，確實有量子力學的，參見「希爾伯特—波利亞猜想」）但怎麼有種有生之年看不到的感覺……

簡單介紹一下孔涅的研究：（嚴格上說孔涅的證明思路是屬於量子力學的，但他在研究過程中確實也用了非對易幾何，具體效果如何恐怕不容樂觀。）孔涅寫出了一組方程，用其構造了一個量子力學體系，這個體系的本徵值恰好對應著黎曼ζ函數在臨界線上的非平凡零點，如果孔涅能證明出了對應本徵值的零點外沒有其他非平凡零點了，那也就相當於證明了黎曼猜想了，但就目前來看要做到這一點難比登天。

六、哥德巴赫猜想（Goldbach Problem)

在1742年給歐拉的一封信中，哥德巴赫提出了兩個猜想，歐拉用稍微簡練的語言改下後表述如下：

（哥德巴赫猜想）每一偶數 $ngeq 6$ 都能表成兩奇素數之和，即 $n=p_{1} +p_{2}$ .

（弱哥德巴赫猜想）每一奇數 $ngeq 9$ 都能表成三個奇素數之和，即 $n=p_{1}+p_{2}+p_{3}$ .

很明顯，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想。在1900年的第二屆國際數學家大會上，大衛·希爾伯特（D.Hilbert）向全世界的數學家們建議了23個問題，其中哥德巴赫猜想便是第八問題的一部分。12年後的第五屆國際數學家大會上，蘭道又將其作為素數論中未解決的4個難題加以推薦，時至今日，對哥德巴赫猜想的研究極大帶動了解析數論的發展，從這個意義上來講，哥德巴赫猜想可謂是素數論中的核心問題。

七、弱哥德巴赫猜想與GRH

數學家們首先向弱哥德巴赫猜想發起衝鋒。第一次重大突破發生在20年代，哈代(Hardy）和李特爾伍德（Littlewood）在其「算術分拆」的系列文章中創立並發展了「圓法」即把方程 $n=p_{1}+p_{2}+p_{3}$ 的解數表為積分，並將積分區間 $left[ 0,1 ight)$ 表為一段「優弧」和一段「劣弧」。然而此積分的上下界估計均需要廣義黎曼假設（GRH）來得到，因此在假定GRH成立的前提下，哈代和李特爾伍德證明了：

每個充分大的奇數 $n$ 都是三個奇素數之和

和

幾乎所有的偶數都是兩個素數之和，即令 $Eleft( x ight)$ 為不超過 $x$ 的不能表為兩素數之和的偶數的個數，則有 $lim_{x ightarrow +infty }{frac{Eleft( x ight) }{x} }=0$ .

這一方面表明在GRH的假定下，哥德巴赫猜想基本成立；另一方面有暗示廣義黎曼假設與公理體系中的很多定理是相容的，這就增強了GRH的可信度。

直接來說，在哈代和李特爾伍德的證明中用到了GRH導出的有關 $pi left( x ,k,l ight)$ 的估計式：對任意的 $varepsilon >0$ $left| pi left( x,k,l ight)-frac{1}{varphi left( k ight) }int_{2}^{x}frac{mathrm{d}t}{mathrm{ln}t} ight| leq c_{varepsilon } x^{frac{1}{2}+varepsilon }$

這明顯是GRH的算術形式，用素數定理的方法來處理優弧上的積分當然也可以但是不足以推出弱哥德巴赫猜想。

到1936年事情出現了轉機，帕奇（A.Page）與西格爾（C.L.Siegel）分別先後獨立證明有關 $pi left( x ,k,l ight)$ 的估計式，他們的結果雖然比GRH要弱很多但是已經比當時已取得的結果要強不少，也足以導出優弧上的積分估計。數學家們意識到哈代和李特爾伍德證明中的GRH是有可能被取消的，稍後維諾格拉多夫（Vinogradov）和埃斯特曼證明了：

每一個充分大的奇數 $n$ 皆可以表為兩個素數及一個兩個素數乘積之和，即 $n=p_{1}+p_{2}+p_{3} p_{4}$

和

每一個充分大的整數 $n$ 都是兩個素數和一個平方的和，即 $n=p_{1}+p_{2}+m^{2}$ .

大多數人認為在不依賴於GRH的傳統圓法證明中這已經是很好的結果了，很難被超越了。1937年，維諾格拉多夫改造了傳統圓法，將劣弧上的積分化為估計三角和

$Sleft( alpha ight) =sum_{pleq x}{mathrm{e}left(p x ight) }$

其中 $eleft( x ight) =mathrm{e}^{2pi mathrm{i}x}$ ，他給出了 $Sleft( alpha ight)$ 的一個非同尋常的估計，並使他無條件地證明了

每個充分大的奇數 $n$ 都是三個奇素數之和

但是這個」充分大「到底有多大才夠，首先是其學生波羅斯特金（Borozdin）計算出來 $3^{3^{15} }$ 已經足夠大了，很顯然，這個下界太大難以用計算機驗證，緊接著波羅斯特金又將下界改進成了 $mathrm{e}^{mathrm{e}^{16.038} }$ ，但是依然太大難以用計算機來驗證……話說那時候有民用計算機嗎？？

後來大家就這麼拖著拖著拖到了2002年，香港大學的廖明哲和王天澤將下限降到了 $mathrm{e}^{3100}$ ，但這TMD還不夠！！2012年，加州大學洛杉磯分校的陶哲軒（T.Tao）大神首次不藉助GRH完全證明了： 奇數都可以表為最多五個素數之和

2012、2013年，巴黎高師的哈洛德·賀歐夫各特連發兩篇論文將下界降到了史無前例的 $10^{30}$ ，其同事大衛·帕拉特（D.Platt）利用計算機驗證了小於該下界的所有奇數均符合要求，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

八、哥德巴赫猜想與GRH

對哥德巴赫猜想的研究主要是圍繞圓法進行的，以華羅庚為代表的中國解析數論學派在其中發揮著舉足輕重的作用。篩法源於公元前250年的Eralosthenes篩法，Eralosthenes用該方法製作出了世上第一張素數表。1919年，布倫對傳統篩法進行了大幅度改進，並首先將其應用於哥德巴赫猜想的研究，他證明了

每一個充分大的偶數都是兩個素因子個數不超過9的整數之和，簡記為「9+9」

我們可以類似定義 $a+b$ ，布倫這個結果的意義不但是大大提高了篩法的戰鬥力而且開闢了一種證明哥德巴赫猜想的新思路，即不斷降低 $a,b$ 的大小，等到降到 $1+1$ 也就證明了哥德巴赫猜想。

有了布倫的方法，有關哥德巴赫猜想的結果成井噴式增長：

1924年，拉代馬海（H.Rademacher）證明7+7

1932年，埃斯特曼證明6+6

1937年，里奇（Ricci）證明了5+7,4+9,3+15,2+366（大神……）

1938年，布赫施塔布（Buchstab）改進布倫篩法證明了5+5

1940年，布赫施塔布證明4+4

其後，塞爾伯格（A.Selberg）發表了他著名的 $Lambda ^{2} -$ 方法，該方法可以得到比布倫篩法更好的結果。起初 $Lambda ^{2} -$ 方法是被塞爾伯格用於研究孿生素數問題，華羅庚首開先河將其應用於哥德巴赫猜想的研究，想法便是利用 $Lambda ^{2} -$ 方法改進布倫篩法的上界估計，同時利用布赫施塔布篩法得到更好的下界估計，在華羅庚的幫助下王元於1955年證明了3+4，這標誌著中國解析數論學派開始在該問題的研究領域佔據領導地位。

不巧的是，幾乎同時維諾格拉多夫得到了更好的結果，換而言之，他證明了3+3；王元發現維諾格拉多夫的結果可以直接由 $Lambda ^{2} -$ 方法得到，他指出了維諾格拉多夫證明中的不足並加入了一些新的想法，維諾格拉多夫對他的3+3證明做了更正。

同年，孔恩（P.Kuhn）發表了他關於 $x^{2}+1$ 序列中素數問題的幾篇文章，裡面包含了不少的新想法。結合孔恩的方法，王元證明了3+3和 $a+b$ $left( a+bleq 5 ight)$ 。時間相隔不遠，在王元之前其同事潘承洞證明了1+5和1+4。

1957年春，王元在假定GRH成立的情況下證明了1+3，在此之前的最好結果是埃斯特曼的在GRH下的1+6和王元、維諾格拉多夫在GRH下的1+4。

剩下的事就都知道了……陳景潤發表了驚天地泣鬼神的《大偶數表示一個素數及一個不超過2個素數之和》論文，達到了篩法的巔峰遠超此前取得的所有結果，不用GRH證明了1+2。陳景潤證明1+2後人們普遍認為由於篩法自身的局限性，很有可能1+2便是最好的結果（此前人們認為篩法最多到1+3），因此如果想在陳氏定理上更進一步甚至證明哥德巴赫猜想，就需要引進更加新穎而且強有力的技術。

九.黎曼猜想可能構成哥德巴赫猜想的證明嗎？

我的感覺是不太可能，且容我緩緩道來……

就目前在整個數學上的地位來講（我從對數學的發展角度出發說一點不成熟的見解），哥德巴赫猜想肯定是無法與黎曼猜想匹敵。因為哥德巴赫猜想橫豎就是個數論問題，再牛B也就是個數論問題，而且從目前來看它也並未對除堆壘數論以外的數論分支產生重大影響，在這一點上它連費馬大定理（FLT）也比不過。而黎曼猜想則不同，其證明不但對數論領域有深刻影響，而且可以對複變函數論的發展起相當積極的推動作用（前面說過了，黎曼猜想多半是個複分析問題），也就是說黎曼猜想是數學界最重要的問題，而哥德巴赫猜想則更像是某個智力競賽題。

那麼，到底黎曼猜想可能構成哥德巴赫猜想的某種證明嗎？

要回答這一問題，首先就要回顧一下哥德巴赫猜想的歷史（翻前文）：

迄今為止，對哥德巴赫猜想的並未用到黎曼猜想，而是清一色用的是更厲害的廣義黎曼猜想。原因很簡單，黎曼猜想在這個問題上不夠強！！另外，很有可能單從證明上講黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想難得多，更別提廣義黎曼猜想。有可能若干年後，出了一位不世出的天才以不世出的方法證明了哥德巴赫猜想，但黎曼猜想仍然懸而未決。

最後說一句，哥德巴赫猜想跟孿生素數猜想有著極為深刻的聯繫，哥德巴赫猜想的相關結果一般而言是可以轉換成孿生素數猜想的相關結果的，比如陳景潤也曾證明過這樣一個定理：存在無窮對素數 $p_{1}$ 和殆素數 $p_{2}p_{3}$ 使得其為相鄰的奇數.

這跟他的1+2很像，也跟孿生素數猜想很接近。

如果廣義Riemann假設成立，那麼前 $x$ 個偶數中，哥德巴赫猜想的反例不超過 $O(x^{0.879})$

另外Andrew Granville, Refinements of Goldbach"s conjecture and the generalized Riemann hypothesis[J], Functiones et Approximation. XXXVII (2007) 7–21指出：

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