是否存在重力場中使質點等速下滑的曲線或曲面？

01-06

考慮連續曲面上的質點在重力、支持力和摩擦力的作用下運動，且速率（大於零）恆定。假設摩擦係數是常數（與位置、速度、支持力無關），問該曲面應滿足什麼條件？

是個有意思的問題，但是高中範圍內求不出定量的結果。我寫寫求解思路吧。

假定在某直角坐標系下，粗糙曲面的方程為 $[left{ egin{array}{l} x = xleft( t ight) \ y = yleft( t ight) \ end{array} ight.]$ ，從而曲面有一定弧度，各點處具有曲率，則：

$[f = mu N]$ （滑動摩擦力方程）

$[N = mgcos heta + mfrac{{{v_0}^2}}{ ho }]$ （曲面法方向受力分析）

$[mgsin heta = f]$ （牛頓第二定律，保證合外力為0）

這是依據題主的要求列出的三個方程

接下來我們求曲面的形狀：消去參數

$[mgsin heta = mu left( {mgcos heta + mfrac{{{v_0}^2}}{ ho }} ight)]$

同時有 $[ an heta = frac{{dy}}{{dx}}]$ ， $[cos heta = frac{1}{{sec heta }} = frac{1}{{sqrt {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} }}]$ ， $[sin heta = cos heta an heta = frac{{frac{{dy}}{{dx}}}}{{sqrt {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} }}]$

同時也要注意到 $[ ho = left| {frac{{{{left( {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight)}^{frac{3}{2}}}}}{{frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}}} ight|]$

代入化簡，得到 $[gfrac{{dy}}{{dx}} = mu left( {g + {v_0}^2|frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}|{{left( {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight)}^{ - 1}}} ight)]$

（感謝 @普通的穗乃果普通地搖指出指數上的問題，我果然算錯了……）

你算吧，解得出來算我輸.jpg

有別的答主在自然坐標系下得到了答案，感興趣的同學可以移步他們的回答。

回到這裡直角坐標系下的定性討論：令曲面是下凸的，這樣二階導可以定號，同時 $[mgsin heta = mu left( {mgcos heta + mfrac{{{v_0}^2}}{ ho }} ight)]$ 也暗含下凸曲面假定。否則，應當方程中受力分析為-號。但這樣的條件下，去掉絕對值又會產生另一個負號，則方程恆為 $[gfrac{{dy}}{{dx}} = mu left( {g + {v_0}^2frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}{{left( {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight)}^{ - 1}}} ight)]$ 。

1.如果初速度 $[{{v_0}}]$ 很小，或者曲面弧度 $[K = left| {frac{{frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}}{{{{left( {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight)}^{frac{3}{2}}}}}} ight|]$ 很小，使得 $g > > {v_0}^2frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}{left( {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}}<br /> ight)}^2}}<br /> ight)^{ - 1}}$ ，我們可以捨棄後一項，

此時得到張工的答案 $[frac{{dy}}{{dx}} = mu ]$ ，這是傳統意義上的斜平面。

2.如果初速度比較大的話，我們可以看到，物體的質量在這裡仍然不會影響曲面的形狀。

但給定一個初速度，它就只能在滿足特定形狀與材質關係的曲面上勻速率滑動。

3.那可否再作一些退讓呢？我們假定該粗糙曲面各處坡度不太陡，也即 $[frac{{dy}}{{dx}} < < 1]$ ，此時微分方程化為

$[gfrac{{dy}}{{dx}} = mu left( {g - {v_0}^2frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}left( {1 - {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight)} ight)]$ ，這樣方程是可以存在一個關於 $[frac{{dy}}{{dx}}]$ 的解析（但並不顯式）結果的。由於沒辦法進一步積分，再搞下去也沒啥用了。

同時注意到 $[frac{{dy}}{{dx}} < < 1]$ 的假設前提，該解仍然嚴重受到初速度、斜面材質的約束。

我感覺做出來了，大家幫看看吧。

整個過程和分析在左邊，積分和大體圖像在右邊。

看不下去了。

分明是一道不那麼平凡而且涉及二階微分的題。

@Song 大大給出了不錯的解釋，雖然高數和物競都沒學過的寶貝兒們看不懂。

但是張工你犯的錯誤還能再幼稚一些嗎？這是我高一上學期還沒學圓周運動的時候才會犯的錯誤好不好。真的是高中生不會犯的錯誤。

而且張工犯錯不止一次了。之前曾經是張工粉，直到看了張工的這個回答

【電場和磁場會不會是同一個東西？】Patrick Zhang http://www.zhihu.com/question/52089274/answer/129017549 （分享自知乎網）

我去，張工你說的是些啥？磁場是電場的相對論修正，電磁場是一個東西，磁場和電場是電磁場的一體兩面，相對論電動力學的電磁場張量已經說的很清楚了啊！

張工，你怎麼能就根據性質不同判斷本質不同呢？有道理嗎？身為電氣工程師，相關專業的行家，你不可能連這個道理都不懂吧？

從此粉轉路人，以後張工的一切回答再也不看。

今天又看到張工犯一些低級錯誤招搖拐騙，翻了翻張工的回答，不得不說還有好多問題。

比如這個【電流有速度嗎？如果有下面這個問題怎麼解釋？】Patrick Zhang：http://www.zhihu.com/question/53267826/answer/134219095

蛤？電流速度是電子運動速度？？？你逗我？？？？？

這是高中生都知道的東西，每一個學過Maxwell理論的人都懂的事情，電流速度是電場的傳遞速度（接近光速）。要是電流速度秒速五厘米，那電從發電廠到千家萬戶就得數分鐘甚至上小時，這顯然不符合我們的已有現象。

張工在自己擅長的領域犯錯還不說，還要跑到自己不擅長的領域犯錯：【無界變數和無窮變數分別是什麼？】Patrick Zhang：http://www.zhihu.com/question/50662763/answer/122082288

數學領域，嚴謹的數學定義問題。什麼無窮的定義域一定為實數？？？無窮量是說極限的，而不是說定義域的！和定義域無太大關係！只要定義域無界就可以！定義域離散無界都能找到無窮量！等等等等！

這種錯誤太trivial了，我都替張工臉紅！

張工，以後數學問題留給數學專業的人回答，好不？

從此路人轉黑。

匿了，@Patrick Zhang 。

希望張工不要負了自己的大v身份。

我接著@Song 列出的方程說吧。

實際上，這個問題和我們通常求解的運動問題不同，一般我們是給條件求運動時間函數，這個題是給運動時間函數，求條件。

下面接著@Song 的方程說。

實際上這是個常微分方程沒有「確定下來」，方程飽含兩個未知函數，摩擦係數(注意它是x的函數)，和曲面形狀。

只有給定摩擦係數的函數表達式，我們才能求出斜面形狀y(x)；

或者給出斜面形狀y(x)，我們求出摩擦係數的函數表達式。

對於特殊情況，我們是先假的y=y(x)是簡單的斜面，dy/dx=const，然後解得摩擦係數是常數即：摩擦係數=dy/dx=const。

如果要求出其他結果，那就先人為給定一個斜面形狀y(x)，算一個滿足條件的摩擦係數。

或者事先給一個摩擦係數函數，然後算一個曲面形狀。

使用方向曲率限制斜率範圍，去掉絕對值二階降一階則問題（部分）可解。
以下示例為二維且摩擦係數為常數的情況：

求解以下微分方程：

$mg cdot sin heta=mu(mgcdot cos heta + mfrac{v^2}{ ho})$

不失一般性，假設 $heta in (0, frac{pi}{2})$ (則 $x in (-infty,0]$ ).

其中

$tan heta=frac{dy}{dx}, ho=frac{(1+(frac{dy}{dx})^2)^frac{3}{2}}{frac{d^2y}{dx^2}}=(cos hetafrac{d heta}{dx})^{-1}$ .

可得

$tan heta - mu=frac{mu v^2}{g}frac{d heta}{dx}$

假設非平凡解等式兩側不為0，分離變數並積分，得

$log(sin heta - mu cdot cos heta)-mu heta=Kx+const$

其中常數 $K:= (1+mu^2)frac{g}{mu v^2}$

或寫為

$logfrac{p-mu}{sqrt{1+p^2}}-mucdot an^{-1}(p)=Kx+const$

其中 $p=frac{dy}{dx}$

由於左側沒有顯式反函數，試求其參數解，對p微分，得

$frac{1+mu^2}{(p^2+1)(p-mu)}=Kfrac{dx}{dp}=frac{K,dy}{p,dp}$

代換後分離變數，積分，可得y關於斜率p的參數形式

$mucdot logfrac{p-mu}{sqrt{1+p^2}}+ an^{-1}(p)=Ky+const$

示例:

張工說錯了哦

如果斜面不是平面而是曲面就要考慮使速度方向改變的向心加速度，從而影響支持力的大小。

設向下凸的軌道曲率半徑 $ho$ 為正：

支持力 $N=mgcos heta +mv^2/ ho$

摩擦力 $f=mu NRightarrow f=mu (mgcos heta +mv^2/ ho )$

勻速條件摩擦力等於重力下滑分力： $f=mgsin heta$

所以軌道切線斜率 $heta$ 、軌道某點摩擦因數 $mu$ 、軌道某點曲率半徑 $ho$ 的關係需要滿足：

$gsin heta =mu (gcos heta +v^2/ ho )$

用直角坐標系難度大就換一個。

曲線長度s，時間t，速度v，傾角θ

這裡說一下s（θ），θ（s）的單調性，如果不單調，就有ρ=0的地方，在這裡其實就會轉為直的鞋面。

積分可得s（θ），這種先在mathematica上偷懶試試看。

大概是可以求得s（θ）的。然後

這其實是棘手的地方。答主要買衣服去了，以後再寫。買完東西發現@Yivan 已經給出漂亮的結果了，就不再獻醜了→_→。

也有可能是斜面與物體的動摩擦係數在斜面上連續變化

張工犯了個有一定水平的高中生都不會犯的錯誤，還是有人維護他，而且是用攻擊質疑者的方式維護他。

大V真可怕.jpg

song給出的那個方程看起來並不難解（認真臉），正在嘗試。

另外給出為了解決答主的問題是不是要討論下解的存在性（滑稽）

贊同@Song 的回答，但還可以繼續解釋一下

這個微分方程雖然不好解，但從物理直觀上看，最後的曲線還是要漸進於甚至乾脆重合於直線的（斜率等於摩擦係數），而微分方程對應的軌跡實際上的意義是當V0矢量不和漸近線平行時，初速矢量和最終軌跡之間的鏈接曲線。（從這個角度講，@Patrick Zhang 的說法也不能說完全錯誤，不過他只考慮了穩態，沒有考慮暫態過程，也就是只考慮了靜力學，沒有考慮動力學效應。言辭之間也並沒有以前在他非專業領域那麼自信和固執，所以這裡不要太過批評了）

這個結論有些人不太理解，我煎蛋解釋一下，從微分方程可以看出二維軌跡必然是下凸或者直線，但這條曲線的曲率必然會趨近於零，否則必然會遇到斜率為正的點，這樣物體速度一定會下降，與前提矛盾，所以曲率一定會趨近於0，此時斜率趨近於定值。

而且可以據此推算出幾個無解的初值範圍，比如初速方向有向上的分量時肯定無解，還可以繼續加強結論，以斜率為mu的（靠，知乎的公式編輯器有說明嗎？）最終軌跡方向為x軸，以其法線為y，如果初始速度有在這個y方向上有向上的分量，那麼應該也是無解的。

所以只有在初速與水平方向向下成摩擦角到90度的範圍內，上面那個微分方程才會有解。

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繼續講的話，應該說，上面的微分方程是一個二維簡化版的解，如果要講曲面的話，應該還要更自由一些，對於同樣的初值應該會有更多的曲面解。

比如說只要初速矢量的方向合適，就必然有一個穩定的螺旋線解。

這個合適，指的也是上面那個範圍。

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以上所有的討論，前提都是摩擦係數mu是一個常數，而實際上mu=mu（N，v）是正壓力和相對速度的函數，這樣考慮的話更加複雜了，而且初值可能會影響最終的曲線方向了。

如果允許mu=mu（x）即允許摩擦係數隨位置變化，那麼辦法就很多了，其實就相當於你勻速開車空擋下坡，用剎車控制速度。最後這個算腦洞吧，別當真了。。。。

試答一下:簡單的說，一個平的斜面即可滿足條件，即保證重力支持力以及摩擦力平衡即可保證初速度方向大小均不變的平衡；再深入思考一下，可以看到題目給出的條件是速率不變，而非速度，那就意味著存在一種可能，就是構建螺旋式的曲面，使得質點在保證速率不變的情況下螺旋式下滑。而這一點，排名前幾位的同學貌似都有意無意忽略了，僅針對於曲面在xoy平面上的投影進行分析，未考慮到速率產生的離心力是在三維的空間坐標下參與力的平衡作用。

由於在不受外力作用下，質點在水平面做速率不變的圓周運動，可以看出，這道題考慮的切入點應該是能量守恆，即質點重力勢能的變化量全部轉化為與曲面摩擦過程中產生的內能，滿足這個條件的曲面都能使得質點在重力支持力以及固定的摩擦係數條件下的速率不變。

PS:才注意到題目標籤是高中物理，好吧請忽略後半截的回答，只要知道斜面就能滿足要求，而更有無數的曲面也可滿足要求就可以選對這道選擇題了。

為啥你們考慮這麼複雜？既然速率不變，那麼動能不變，勢能轉化的能量都被摩擦力消耗了。

我可以直接假設斜面就是簡單的平面，摩擦係數都相等，則:

物體重力*斜面高=壓力（支持力）*摩擦係數*斜面長

手機碼字輸入不了公式，用漢字代替了。重力和支持力有關，斜面長和斜面高有關，兩邊銷項，就能算出摩擦係數和傾角的關係。

換句話說，既然題主可以假定物體是質點，那我就可以找到一塊理想的平面，摩擦係數一定，然後我根據計算的結果決定這個平面傾斜多少度就可以了啊！高中物理討論到這裡就可以了吧。

下面再考慮一下曲面，這個算大學物理了啊，起碼要會算微積分，求導啥啥的。我的理解是平面當然是一個特殊的曲面。研究好了平面上的能量關係，曲面上面也是一樣的，用微分的方法同樣列出等式，可以計算對應關係。不過我不知道這種曲面函數也沒有，摩擦係數函數也沒有的問題，解出來一個關係有啥用，當然按我的水平應該也解不出來，那就不詳細講了。

就這樣。

沒有人用變分法分析一下嗎？

只能求到曲線斜率和橫坐標的關係，完整曲線方程應該是非初等的

能不能是在一個圓筒內的豎著的螺旋線？ @辛坤毓

如果考慮一個極限情況的話可以用一個等距螺線做為解答，