數學上有哪些當時研究頗多現在已經「死掉」或者不再是研究熱點的方向？

01-06

這裡的方向肯定是指某個三級學科下的子分支，而不是泛指的研究範疇，如古典分析學等等。
「死掉」是指這個方向已經把能做的題做得差不多了，而剩下的大多是很多前人都做不動的題等等，也可以指這個方向的理論已經發展得足夠好了，現在繼續在這方面研究的人比較少。
那麼能否舉一些例子，並簡單介紹一下方向的內容和研究的輝煌乃至巔峰的成果呢？

想到了這段話，有點聯繫，引用自《數學的建築》[法] 布爾巴基等著

這裡這本書的其他一些摘錄有哪些值得一讀的介紹數學史的書籍？ - 知乎用戶的回答

19世紀以來,特別是20世紀數學的領域空前的擴大,新學科、新領域大量湧現,數學呈現空前的多樣化局面。它有些像人類面對的自然界中,動物、植物、礦物所顯示出的千姿百態、豐富多採的世界。一般人可以局限於特殊事物,而科學家就是要理解它們之間的關係,也就是自然界的統一性。現代數學家可以只去考慮自己某一狹窄領域裡的特殊問題,而布爾巴基則要探索其間的共同點,也就是數學的統一性。他們強調,數學不僅僅是各個學科的簡單總和,數學各領域之間有著千絲萬縷的聯繫,而且各種問題的價值並不一樣。最有價值的數學,就是與各個領域有密切關係的問題,而比較孤立的問題往往是意義不大的。

狄奧多涅曾把問題分成六大類:

(1)沒有希望解決的問題。例如完全數問題、費爾馬素數的判定問題、歐拉常數的無理性問題,等等。它們之所以難於解決,是由於不能發現同其他的數學理論的聯繫,其本身也找不到結構,這些往往是很孤立的問題,在初等數論中特別多。

(2)沒有後代的問題。所考慮的問題有可能得到解決,但是它的解決對於處理其他任何問題沒有什麼幫助。許多組合問題就屬於此類。這主要是它們比較孤立,與其他數學理論沒有聯繫。

(3)產生方法的問題。有些組合問題及有關數論的問題,其本身比較孤立,它們的解決對於其他問題的解決幫助並不大,特別是對於其他理論影響不大。但是,為了解決原來的問題,可以從中鑽研出一些有用的技巧甚至方法,利用它們可以處理相似的問題或者更困難的問題。例如解析數論中哥德巴赫(C.Goldbach)問題、孿生素數問題、超越數論問題以及有限群論中的一些問題。這些問題雖然比較孤立,但是創造出的解決方法影響卻不小。這些方法的本質以及內在的結構還值得進一步探索。

(4)產生一般理論的問題。問題從特殊情形開始,但是由於揭示出了難以預測的隱蔽結構的存在,不僅解決了原來的問題,而且提供了有力的一般工具,可以解決許多不同領域的一批問題。從而,問題本身發展成為生機勃勃的分支學科。代數拓撲學、李群理論、代數數論、代數幾何學等主要問題都是屬於這個類型。

(5)日漸衰落的理論問題。正如希爾伯特所強調的,一個理論的繁榮要依靠不斷提出新的問題。一個理論一旦解決了最重要的問題(從本身意義上來看或者從與其他數學分支的聯繫上來看)之後,往往就傾向於集中研究特殊的和孤立的問題。這些問題都很難,而且前景往往也並不是十分美好。例如單複變函數論的某些分支。不變式理論就曾經有過多次起落,而主要是靠找到了同其他數學領域的聯繫才獲得新生的。

(6)平淡無聊的問題。由於理論中某些特選的問題幸運地碰到好的公理化,而且得以發展出有用的技巧和方法,就導致許多人沒有明確的動機就任意地改變公理,得出一些「理論」,或平行地推出一些沒有什麼實際內容的問題。這種為公理而公理的「符號遊戲」,在數學中佔有相當的比例。

布爾巴基強調的主要是第4類問題,間或有少量的第3類問題。因此,儘管布爾巴基所選擇的主題內容龐雜、數量繁多,很難掌握,但是它們的特點在於其突出的統一性。其中,沒有一個理論的思想不在其他一些領域中反映出來。而且,從布爾巴基討論班上反映出來的也正是他們時時注意的,屬於當前主流的理論。主流的特徵在於各個理論與分支之間有著多種多樣的相互聯繫而且彼此之間不斷在施加新的相互影響。

一個理論不是永遠處於主流而不再變動的。像非交換、非結合代數、一般拓撲學、「抽象」泛函分析等等,都曾一度處於主流,不過後來有意義的問題越來越少,同其他分支也脫離得越來越遠,並且偏於一些過分專門的問題或者搞一些無源之水式的研究,結果逐步偏離開了主流,也就偏離開了布爾巴基的選擇。

謝邀。

用常微分方程解偏微分方程數值解。

此所謂有限元線法。

可惜尾大不掉，系裡還有些老師在做。

在90年代還是多有斬獲，但是

隨著計算機科學的進步，這些奇技淫巧必將變為歷史。

只能匿了。

配邊理論。

Thom曾因在配邊理論中做出的奠基性貢獻而獲得Fields獎。

此外，Hirzebruch著名的符號差公式和Hirzebruch-Riemann-Roch定理的證明也應用了配邊理論。

甚至大名鼎鼎的Atiyah-Singer指標定理，最初的證明都是強烈依賴配邊理論的(基本借鑒了Hirzebruch-Riemann-Roch的證明)。

但它現在已經死掉了。

庫存理論，在五十年代提出quasi-convex概念和(s,S)還有(q,r)策略之後，基本就沒什麼大的突破了。最自然的模型是帶有Lead-time、多對多的上下游供應鏈，然而無法找到具體解析解，甚至連數值結果都很難算（維度太高）。現在基本上就是建各種模型，加額外假設，考慮某一類特殊情況，等等……

橢圓積分可以算吧~ 至少不像19世紀那麼火了

必須是有限單群分類啊……

因為現在已經完全解決了……

Set theory

現在再做基本上和公嫖沒啥區別……反正幾乎不會產生對於其它數學領域有價值的結果了。

有人說了不變數，我們稱為不變式。

完整來說，應該稱為給定域上的多元多項式環在給定群作用下的不變式子環。有點類似於線性代數中的不變子空間（當然，不變式子環要比它複雜，因為多了乘法運算）。這裡面一般有兩個對象要考慮，一個是域，一個是群。

這個領域起源於十九世紀，曾經很火，美國數學評論中可查到的文章能達到五百篇（估算）。如果再加上歐洲的，也能上千了。如果感興趣可以看看M.Neusel,L.Smith,G.Kemper的著作。

對於域而言，如果在特徵值為零的域上的不變式子環問題，無論群是什麼，已經差不多都解決了。但如果考慮有限域上的，則還存在很多問題。而且越簡單的群，問題越多。不過就現在世界一流能力而言，想要全部解決，還有很長的路要走。

btw，我們是國內唯一做這個問題的團隊。從來不必擔心遇到國內同行，投出去的文章幾乎都會跑到那幾個世界boss手裡。所以論文審核周期一般都一年，然後被拒。所以畢業的時候，一般就一兩篇sci。

高統的老師有一次講到，你們別太痴迷推公式。

現在算個複雜的分布概率，誰還慢慢推去，計算機蒙特卡羅跑起來，分分鐘出結果，還不容易錯

感覺熱的都是交叉類，比如代數幾何之類的。單純的比較少人做了。不過數論一直是處於不鳴則已一鳴驚人的狀態，一出結果都是大結果。

統計學中的，可容許性，同變性，無偏性，感覺都不那麼重要了

點集拓撲？東歐數學家以前很熱衷這個。。

謝邀。

拓撲學裡面有些較為初等的分支已經比較完善，比如點集拓撲，低維流形，龐加萊猜想是其中比較著名的成果，當然Perelman這個掃地神僧的故事好像大家也很感興趣。。。

代數學裡的有限群論，在有限單群分類工程完成後，也已基本完善。

Erlangen program，道理很簡單，因為那一套已經完全併入微分幾何了，而且homogeneous space的結構相對簡單。當然影響還是很深遠的，比如平直空間上的場論。

不過老有數學愛好者拿來說事，不理解。

還有超越數論，Baker"s theorem之後就不會有什麼東西了吧…