Bethe ansatz這個是怎麼用的呢？

常遇到這個東西，但是不知道這個Bethe ansatz有啥背景？能介紹一下嗎？最好能舉個例子

最簡單的Bethe Ansatz(BA) 是coordinate BA(CBA)， 比如楊振寧在解一維delta相互作用的N體問題時 [Yang, C.-N. (1967). Some exact results for the many body problems in one dimension with repulsive delta function interaction. Phys.Rev.Lett., 19(23), 1312–1314]，就用CBA假設了波函數的形式(比較妙的一點是這個假設是與粒子的統計無關的)。當然其實這就是Bethe 本人一開始的做法。

簡單來說就是從S矩陣的觀點看，本來如果粒子之間為delta相互作用的話，可能會出現三體甚至以上的相互作用，BA的基本思想是說假設相互作用只有兩體（Factorized S-Matrix），因此我們可以通過兩體delta作用時熟悉的波函數連續導數躍變來確定波函數的係數之間的關係。

為了使這個假設是自洽的，所得到的CBA的係數滿足的方程就是著名的Yang-Baxter方程。(比如三體S矩陣123 = 12 + 3 = 1+23就是這個方程)

一般來說CBA已經能夠解決很多問題了因此早期的文獻都是用CBA來直接求薛定諤方程，並沒有考慮如何推廣這個方法。

但是對於一般的體系尤其是如果想把這個方法推廣到場論，對於坐標進行假設就會有很多不方便。因此，Faddev et.al 講原始的CBA推廣，得到了更加代數化形式化的algebraic BA (ABA)，從ABA出發，人們解決了一維Heisenberg Chain 在熱力學極限下的嚴格解，得到了一般的Heisenberg Chain可積時的Hamitonian的形式。人們同時發現非線性的薛定諤方程還有非線性sigma model的離散極限正好對應於上述可積的spin chain。 [上述內容參見Faddev Les Houches講義]

最近隨著AdS/CFT的發現，我們很想知道這個對偶是不是真的成立。因此一個方法是嘗試嚴格的求解場論，然後與引力的計算結果對比。我們知道在引力弱耦合的情況下的解就是經典愛因斯坦方程的解，因此我們如果能夠嚴格的解場論的結果的話就能了解這個對偶是否成立以及怎樣進行量子引力的修正。。在這個過程中人們發現上述的嚴格求解就需要用到BA及其推廣的形式。

為了研究大N極限下的N=4 SYM，Bersert et.al發現N=4 的dilatation operator (SU(2) sector)與前面提到的1維spin chains有某種聯繫。我們求解由ABA得到的自洽性方程就能得到N=4 SYM至少在1-loop上的gapped 解。與此同時，為了解決散射問題，人們開發出了asymptotic BA並且嚴格得到了任意耦合強度下的cusp 反常的維度。

我們前面討論的都是平面極限，更一般的我們可以用BA來求解非平面的N=4 SYM。Kazakov 等人開發出了themodynamic BA (TBA)來求解一般的Y-system。 這個過程中他們發現可積性一般聯繫著Hirota方程。他們求解的方法是把Y-system轉化為一個有限維的Riemann-Hilbert問題，也就是經典的spectral curve來求解。。之後他們繼續的發展是得到了所謂的quantum spectral curve，對其進行求解的文章差不多就是在14年了。這就到了最近的發展了。。

作者：知無涯
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來源：知乎
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這個說來話長，我是做這個方向的，具體是做可積AdS/CFT系統中的譜問題。
從2002年J. Minnahan和K. Zarembo 發現 Super-Yang-Mills（SYM） 中存在可積結構到2013年N. Gromov, V. Kazakov 等人發現徹底解決譜問題的工具——量子譜曲線（Quantum Spectral Curve） ，這個領域算是基本完結。這一領域曾是最熱門研究領域之一，吸引了也造就了一批理論物理領軍人物，包括但不限於Juan Maldacena, Joseph Polchinski, Niklas Beisert, Pedro Vieira, Nikolay Gromov. 累計發表的文章超過1500篇。今天試著寫一點東西吧，也算是對自己這兩年工作的一個總結。

以下我會盡量避免公式，只試著對研究歷史和物理圖像做一個粗淺地概括。 說實話我個人認為這是一個十分有趣的領域，非常符合我的口味，其中深刻抽象的數學和清晰簡潔的物理圖景完美地融合。我高中時代就曾對物理中蘊藏的數學十分痴迷，儘管當時懂的很少，也沒有自學大學的物理內容，其實相信每一個認真思考過物理這個學科本身的高中生，即使在沒有接觸更多的內容的情況下，也一定可以預見到將來數學會以種種神奇的面目出現在物理世界中。 限於個人水平和其他原因，我沒有能像知乎的大多數那樣能幸運地在國外攻讀理論物理博士學位。 但隨著對這一領域的深入研究，我少年時代的對物理最初的夢想或多或少實現了。 我發表的那些文章的重要性或許微不足道，但無論如何，也算是過了一把癮。

自從1997年J. Maldacena 提出著名的AdS/CFT猜想，這一課題也差不多被研究了二十個年頭，雖然沒有得到證明，但我個人感覺這一猜想無疑是正確的，特別這一猜想的弱版本，也就是在大N 極限下。 因為從可積性的角度看，這個猜想簡直不能更正確。人們利用可積性這一有效性質，給出了 SYM 中某些算符的反常量綱隨耦合常數變化的精確結果，在微擾區與用費曼圖直接計算吻合（直到四圈，包括數十萬個費曼圖），而且在場論的強耦合區（等價於一個特定背景下的弦論），弦論的兩圈結果也與可積性給出的結果吻合。在AdS/CFT 中可積結構的發現無疑是激動人心的，因為它允許人們嚴格求解一個非平庸的四維場論，這在以前是不敢想像的，因為以前人們只敢說對微擾的量子場論有比較好的理解，非微擾場論也有研究，但多半是和瞬子、反常等現象相關，而這類現象基本是和場位形空間或時空的拓撲有關，非微擾的意義在於拓撲。近幾年的研究使得人們有可能可以精確求出在任意耦合常數下的物理量。包括反常量綱、結構常數和散射振幅等。其中反常量綱的計算已經得到徹底解決，就是我前面提到的量子譜曲線。人們繼續在其他領域進行更深入的研究，以期待各自問題中量子譜曲線類似物的出現。

我們知道可積系統這一概念，在人們以往的印象中一般是與二維緊密聯繫的，無論是海森堡自旋鏈，還是經典統計里的二維伊辛模型抑或是二維共形場論。在四維場論中出現可積結構，實在是令人震驚。然而事實是人們並不用過於吃驚，因為SYM中的可積性本質上是出現在一個隱藏的二維空間上。怎麼來理解這件事情呢？我們知道量子場論中的局域算符會有一個正則量綱或者叫經典量綱，一般是個有理數，單獨討論這個量並沒有太大的意義，有意義的是它的量子修正，又被稱為反常量綱（anomalous dimension），可以是無理數。量子效應會導致具有相同經典量綱的算符發生混合，譬如我們想計算某一單跡（single trace）算符（一系列基本場乘積求跡）的反常量綱，會發現最終得到是一個反常量綱矩陣，我們的任務是把它對角化，求出本徵值，而這個任務在算符長度（基本場的個數）比較小時，比較容易完成。而當算符長度很大時，具同一經典量綱的算符數量會急劇增加，導致對角化幾乎不可能完成。而在體系存在可積性的前提下，Bethe ansatz就是幫助我們完成這一看似不可能過程的利器。

現在，把單跡算符看成自旋鏈也是極其自然的事情，只需把算符長度等同於自旋鏈的長度，基本場之間的對稱群（）等同於自旋的極化空間，反常量綱矩陣等同於自旋鏈的哈密頓量，求跡相當於是閉鏈，BPS算符（保持一半超對稱的算符）相當於自旋鏈的真空，對稱群的素根（simple root）相當於磁子……，這一過程幾乎是平庸的，不平庸之處在於這個哈密頓量是可積的！Minahan和Zarembo工作的重要性也在於此。

人們很快計算了某些sector更高圈的反常量綱矩陣，到第三圈這個哈密頓量已經變得無比複雜，寫下來需要整整一頁紙，自旋的相互作用也變成了長程（long-ranged）作用，而且作用範圍會隨著圈數的增加而增加，求解哈密頓量這一思路已經走不通了，必須尋找別的出路。新的出路在於直接考慮無窮長鏈兩磁子的散射S-矩陣，這就是Beisert的創見。

我自己把我這個領域戲稱為"A world playing with Dynkin diagram". 鄧金圖（Dynkin diagram） 相信大家都不陌生，在李代數和李群的表示理論中，鄧金圖記錄了李代數的素根（simple root）結構，甚至包含了李代數的全部信息。在AdS/CFT可積性領域，超李代數（super-Lie algebra）則更為常見，超李代數最大的特性是鄧金圖不唯一，它們之間通過奇外爾反射（odd Weyl reflection）聯繫。神奇的是，2005年，偉大的Niklas Beisert 給出的all loop的Bethe ansatz方程也具有這一性質，這一組Bethe ansatz方程十分複雜，初見者一定會被嚇一大跳，但是就在這複雜方程的背後，隱藏著所謂的費米對偶性（Fermionic duality）和動態對偶性（dynamic duality)，費米對偶性與奇外爾反射自洽。可以說，在這一領域Bethe根承載了素根的全部意義，實際上，Bethe根相當於素根的某種提升，除了代數意義外還有解析意義。這只是其一，下面我們將看到鄧金圖會以更多的面目一再出現，包括T-hook, TBA(Thermal Bethe Ansatz), Y-system, classical spectral curve. 它們在特定背景下有著各自的物理意義或數學意義，但如果跳出來看它們就是一回事。

Beisert在2005年的發現不可謂不重要，這就是所謂Asymptotic Bethe Ansatz的概念。由於考慮的是無窮長的自旋鏈，存在漸進態，磁子之間的相互作用可以由S-矩陣描述。直到所有圈的Bethe ansatz方程的出現實質上依賴於S-矩陣的嚴格求解，而這個不變的S-矩陣幾乎可以僅由對稱性決定，除了一個被稱為dressing phase的標量因子。僅由對稱性就能決定S-矩陣，初看起來不可思議，Beisert發現，要害之處在於 這個超李代數的奇妙性質，這個超李代數的最大中心擴張包含3個中心荷，其中一個是能量，另外兩個與磁子的動量有關，人們發現 SYM 自旋鏈包含16種基本激發，它們應該從屬於 的16維表示，單看一個指標，應該從屬於 的4維表示，可惜的是， 並不存在4維表示，除非它最大中心擴張之後的三個中心荷之間滿足一個約束條件，也就是表示的shortenng condition, 這個條件實際上給出了基本激發的色散關係。磁子的色散關係由代數限制給出，這已足夠有趣，而更為有趣的是，對於兩個滿足shortening condition 的短表示言而，它們的直積竟然還是一個不可約表示！正是這一性質使人們僅由對稱性就能基本決定S-矩陣。其實仔細一想，這也不難理解，兩個短的表示的直積的中心荷等於這兩個表示中心荷之和，求和之後的中心荷之間並不滿足shortening conditon。而這個額外的標量因子可以由其他的一些物理要求完全確定下來（比如crossing symmetry）。S-矩陣既已求出，運用Nested Bethe ansatz 技巧可以給出all loop的Bethe ansatz方程。至此，無窮長算符的反常量綱問題得以解決。

由於這組Bethe ansatz方程過於複雜，難以求解，人們轉而研究Bethe根的動力學性質，把Bethe根的集合當作一個動力學系統，人們發現Bethe根可以形成Bethe-string, stack, stack of string，還可以凝聚形成支割線（branch cut）.長度為n的 Bethe-string可以看作是n個基本磁子形成的束縛態，而Bethe根凝聚形成的支割線可以看成大量量子激發形成的相干態，表現出類經典行為，對應於經典弦的運動，classical spectral curve 正誕生於此。 從這裡可以看出，弦已經從規範場論中湧現（emergent）。然而這個過程看起來有點複雜，我們從另一個更直接的角度來理解，可以直接把自旋鏈的一個格點看成一個string bit。自旋鏈處於場論中，現考慮兩個自旋鏈的直到所有圈的量子相互作用，其極其複雜的費曼圖編織成一個二維的面，我們把它看成是弦的世界面，而這根自旋鏈感受到的所有量子修正等同於在中運動的弦量子漲落所感受到的時空曲率！回顧一下才發現我們幹了一件多麼激動人心的事情，首先由一連串基本場算符構建了單跡算符，一維空間得以出現，而量子相互作用又衍生出另一維，從空無一物到兩維空間出現，弦竟藏身其中。

12.23更新

有兩個贊了，好開心啊，話說有人看嗎？我寫的夠通俗易懂嗎？有人看的話吱個聲，我更新才有動力。後面會講到更為有趣的關於有限長度算符的wrapping效應和TBA, Y-system等內容。