為什麼最小角動量是 h/（2π）？

01-06

最近在學Bohr Model，在推導氫原子電子能量時，即介紹pr=nh/（2π）時老師提到h/（2π）是最小角動量。她給出的原因來自於接下來對能級存在（或對電子繞核運動時不會因損失能量而「掉入「原子核）的解釋，即：因為mv^2/r=ke^2/r^2, r=ke^2/(mv^2), 又因為pr=nh/（2π），2πr=nh/p, 根據de Broglie Hypothesis, λ=h/p，所以2πr= nλ；對於電子的運動軌跡，可以看作matter wave形成的standing wave，由於standing wave的能量「儲存」在振源上，那麼可以得出電子不會「掉入」原子核的結論。但是我不知道這則解釋對解釋h/（2π）為最小角動量的幫助。

（本答案僅用作討論，可能答非所問）

大二上量子討論班的時候寫過一點東西，我把它截過來

這就是WKB近似的相關內容。對於最後一張圖，我做一下解釋

震蕩定理說的是一維微分方程的本徵函數的零點個數等於本徵函數的階數。數學上有一個操作性證明和這裡其實類似。
關於索末菲量子化條件的零點，這個取決於邊界條件——一個正常的勢能邊界給出一個1/4，一個無窮大躍變（例如無限深方勢阱）的邊界條件給出0，而周期邊界條件就直接沒有這個常數了。另外還有邊界是正則奇點的情況，朗道的量子力學上也有一些討論。 @qfzklm
這個式子對於充分大的量子數是嚴格成立的。對於氫原子、諧振子、無限深方勢阱等系統是嚴格成立的。
量子力學中的絕熱定理說的是哈密頓量緩慢變化時，不同能級上的布居數不變。經典力學中的絕熱定理說的是哈密頓量緩慢變化時，絕熱不變數不變。通過這個式子兩個絕熱定理可以聯繫起來，類似波爾所說的對應原理。
關於漸浸和絕熱這兩個詞的歷史淵源，可參考
http://www.wuli.ac.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDFid=31711 http://www.wuli.ac.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDFid=31560 @Yongle Li 。總之這個混亂可能還是要追溯到愛因斯坦

另外@ 相關人士 @Narayan @蔡家麒

Bohr Model的歷史比較混亂，其構建的過程大致是

1913年，Bohr為了解釋實驗光譜，從一系列假設出發，建立了Bohr模型。
隨後Arnold Sommerfeld從浸漸不變數角度出發推廣了Bohr模型，是謂Bohr–Sommerfeld量子化
In 1924，de Broglie提出de Broglie波粒二象性，從中可以圖像清晰的給出Bohr–Sommerfeld量子化等價於形成駐波

實際上你的老師的說法本質就是錯誤的，沒有什麼最小角動量的說法，只能說在Bohr模型中基態電子軌道具有的角動量最小。

Bohr–Sommerfeld量子化的原理（舊量子論）的核心就一條：

$ointlimits_{ H(p,q)=E} p_i , dq_i = n_i h$ ；

在一維條件（譬如無限深勢阱）下對應的是： $p_i imes 2L =n_i h$ ;

在三維條件（Bohr模型）下對應的是： $p_i imes 2pi r =n_i h$ (或者說 $2pi L_i =n_i h$ ，de Broglie駐波條件);

從而可以解出與量子力學同樣的結論；

實際上，我完全沒有使用什麼角動量的說法，只有廣義動量 $p_i$ 與坐標 $q_i$ ,任何一組廣義動量與廣義坐標及其量子數都滿足這個，所以這裡沒什麼理由能提出來一個最小角動量；你能提出一個最小角動量，我還能搞個最小動量呢，沒意義的。

至於Bohr–Sommerfeld量子化，經典力學中浸漸不變數（或稱絕熱不變數），也已經說的很清楚了：

對於任意的周期運動，作用量僅依賴於其廣義坐標 $q_i$ （縮短作用量）,

廣義動量 $p_i=dfrac{partial S_0}{partial q_i}=dfrac{dS_i}{dq_i}$ ;

作用量 $S_i=int p_i dq_i$ ;

通過正則變換，將廣義動量化成常量 $I_i$ ,此時 $I_i$ 稱為浸漸不變數，

同時此時廣義坐標 $omega_i =dfrac{partial E(I)}{partial I_i}t+constant$ ,實際上對於系統的頻率.

當我們把系統的廣義動量定為某個分立的數值時（這就是所謂的量子化），

就得到對應的廣義坐標坐標。

譬如令 $I_n=n hbar$ 時， $omega=dfrac{E}{nhbar }$ ;

$E=nhbar omega$ ，這就是Einstein給出的光量子的能量量子化條件；

同樣的我們也能給出Bohr–Sommerfeld量子化，就是

$oint p_i dq_i=n_i h$ .

商業互吹：蔡家麒專欄「力學」文章

力學（七）—哈密頓力學之劉維爾定理與絕熱不變數

為什麼最小角動量是 h/（2π）？
最近在學Bohr Model，在推導氫原子電子能量時，即介紹pr=nh/（2π）時老師提到h/（2π）是最小角動量。她給出的原因來自於接下來對能級存在（或對電子繞核運動時不會因損失能量而「掉入「原子核）的解釋，即：因為mv^2/r=ke^2/r^2, r=ke^2/(mv^2), 又因為pr=nh/（2π），2πr=nh/p, 根據de Broglie Hypothesis, λ=h/p，所以2πr= nλ；對於電子的運動軌跡，可以看作matter wave形成的standing wave，由於standing wave的能量「儲存」在振源上，那麼可以得出電子不會「掉入」原子核的結論。但是我不知道這則解釋對解釋h/（2π）為最小角動量的幫助。

不確定關係、德布羅意理論

這個方法很多人稱之為量綱分析。趙凱華有一本書上專門用這個方法推導量子問題。

這個方法其實是有物理道理的。原因在於，距離小於德布羅意波波長 $lambda = h/p$ 時，電子不能再視為粒子。這些經典理論的分析不再適用（應該用量子理論代替）。而距離正比與 $r$ ，若令距離恰好為 $r$ ，那麼可以得到 $pr = h$ ，相差的無量綱常數需要具體理論（量子力學）給出來。

這個論證同樣可以用不確定關係：即認為 $prge hbar$ 。對於基態，等號給出一個下限。

舊量子論

尊師講的駐波是玻爾原始的解釋。這裡定性的解釋與其相融。當然駐波解釋能給出一個更強的結論，即玻爾-索末菲量子化：

$oint p ,mathrm d q = nh$

這裡常數和高激發態都給出來了。不過，相比於不確定關係，駐波解釋的物理含義比較模糊，需要量子力學的支持。

那麼如何從量子力學推導出玻爾-索末菲量子化條件呢？答案是：Hamilton-Jacobi 理論。

Hamilton-Jacobi 理論

參看這個文章：從量子力學到經典力學

從HJ方程，可以做 $hbar$ 展開，得到的半經典近似理論叫做WKB。

WKB

參看 @梁昊的回答。注意到，玻爾-索末菲量子化是嚴格成立的，不依賴於WKB近似。

應該這麼說，沒有任何關於【最小角動量是h/2π】的解釋，只有關於【最小角動量間隔是h/2π】的解釋。。德布羅意那個關於駐波的說法，只能說是誤打誤撞給碰上了。。╮(╯_╰)╭

舉個最簡單的例子，用德布羅意的駐波假設，算一下諧振子的能級就行了。。這個半經典的計算，將給出 $E=nhbar omega$ ，而事實上，量子力學的計算給出 $E=left( n+frac{1}{2} ight) hbar omega$ 。。難道在諧振子中，德布羅意波就莫名其妙地出現了半波損失？

總之，【最小角動量間隔是h/2π】是一個廣為接受的說法，而【最小角動量是h/2π】則是不可接受的。。╮(╯_╰)╭

這解釋跟自旋1/2沒什麼關係，波長和自旋會有啥關係，我想是沒有關係？另外最小自旋為0啊，標量場你懂的。

我們看到是這樣，就只能選擇這樣的理論。當然狄拉克方程可以很自然的得到自旋半數這樣的結果，至於這個自旋到底怎麼來的。。。。至少目前，（當然我不知道超對稱性能不能給出解釋，據我所知，超對稱性已經可以統一費米子和玻色子了（而且是唯一可以統一波色子與費米子的理論？弦網凝聚不是說也能得到玻色子和費米子嗎？），所以還是希望有大佬能強答一波。）no one knows。

其實一個更加有意思的問題應該是，為什麼有的粒子具有整數自旋，有的具有半數自旋，為啥電子這些東西要有半數自旋？而不是所有的粒子？

電子自旋就1/2，不是角動量就一定大於那個最小

建議上b站搜田光善的教學視頻，第10集左右吧（記不真切了）有相關的詳細推導

要是波爾模型的話，其實可以用德布羅意波來說明。把電子視為一個駐波，則軌道周長是電子波長的整數倍（2πr＝nh/p），變個形就是mvr＝nh/2π，n取1即是最小值。

不過這也就是個半經典的理論，大概當時確定的時候是根據實驗欽定的吧╮(︶﹏︶)╭