數理金融和金融工程需要修的數學課程有哪些?

01-06

本人本科經濟統計專業（數學和統計學的不多），學習數理金融或者金融工程，想先補補數學課，求前輩推薦需要修的數學課程及先後順序，最好是有教材名稱及作者或者出版社名稱～

11/10 更新，黑貓好想更新啊，但是又是搬家搬完家就開始板磚，有空再說吧……

10/19 更新了翻譯第二階段的書目和下面部分的目錄。

評論區很多人問c++證書是啥，黑貓羞愧的很，只是個不值一提的小證書（黑貓實在是不擅長C++，拿不到那個90分的高級證了……）：

如果硬要評論這個證書的話，黑貓只能說當初沒有跟隨大眾去考什麼CFA，FRM。錢花的一樣，SAN也保住了（學那倆玩意我掉SAN），價值也比那兩個二貨要高，算是值了。

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評論有很多賣書的，歡迎多推薦～

原文：

黑貓有七八道被邀的問題，一直留著。因為感覺這些問題不是用來回答的，而是用來伴隨自己成長的。男神 @Yuhang Liu 邀了我好一陣子，我遲遲沒有答。一是因為天天被各種需要看的東西給拖著，二是因為這類題不能簡單扔個天賦你們點吧這麼就答了，太不負責。

黑貓剛剛開始了正式quant遠程實習了，同時不久前才吭哧癟犢地通過了一個c++證書。可以說是一個「改朝換代」的日子吧，索性用著暴風雨前最後的寧靜，來男神邀的問題答了，作為那個我在知乎第一次被當貓看的賣書答案金融專業學生的數學進階如何安排？ - 黑貓Q形態的回答的補充。這個答案怕說錯，怕誤導人，所以每一句話都想了很久很久。

先發出去一波，這個答案我會慢慢更新，裡面的說法也會隨著成長而不斷修改

正文：

金融的這個專業的內容，太多了，能用到數學的地方不是那麼多。但是咱們不考慮如何維持系統運轉，不考慮怎麼做生意，不考慮政治，不考慮會計，不考慮監管，還剩什麼？（咱脫的有些乾淨……）

資金在時間和空間的上的不確定性和交換 ，這就是金融里學習數學的理由。我們這裡學習數學最終不是為了玩兒出什麼花來，而是為了：

當翻譯

我們需要用一種高度抽象的語言來「精準表示」不確定性和交換，一切的目的都是為了讓這些能夠簡介明了的被表示出來！（或者反過來說，把數學的「魔能」具現化，在資本市場里體現出他的威力）。這也是為什麼黑貓的職業里會寫著：模型翻譯|公式抄寫

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翻譯第一階段：

數學分析

高數

線性代數

初等概率論

運籌學

一個一個來，

（數分和高數）字典和詞冊：

高數和數分，是兩門教翻譯如何說話的課。我們垃圾金融專業學的高數，應該是屬於語法句法這一類的課程。是的，我們這些垃圾可以算不對積分，可以證不了級數，這頂多是不會造句。但是如果一句話寫出來，你連他是什麼都看不懂，那就真的是不可回收了。煮個例子： $e^{-int_{0}^{t}r_sds }$ , 這是啥？貼現率啊親！（當然多知道一些瑣碎的技巧總是好的，越多越好，黑貓就是吃了這個虧）

慢慢懂得基本語義和造句之後，為了以後的翻譯暢順，我們需要隨身攜帶數分這本字典了。我們不能像數學系的大神一樣，概念定義穩如泰山，評頭論足頭頭是道，人家是把字典吃到骨子裡了。咱們笨得帶在身上，看到什麼詞定義忘了，趕緊翻出來查一查，看看字典的解釋。這樣才不會變成文盲（民科）瞎造句。黑貓自己，就光偏微分這個詞，就查了不知道多少次「字典」，這樣才能很好的給不懂數學的人翻譯類似「Greeks」這種生僻詞的意義。

數分和高數的書黑貓是真的推薦不出什麼，但是對於「字典」，我們選書的要求非常高！ 1.定義要清晰，明確，嚴格； 2.語言要通俗； 3.要舉出經典的好例句；4.適當的有一些小練習； 5.這是最關鍵的，能夠在已有的定義下，通俗的引出一些衍生詞，搞不好能開出新天賦！能滿足這五點的，目前黑貓已知只有秩序善良張築生，完全符合：

像吉米多維奇這種不好好講詞，喜歡給你講你昨天吃得飯里地320顆米的送到你嘴邊時的速度是你前天覺得肚子疼飛快衝到廁所的幾倍的故事的混亂邪惡，咱們「翻譯」還是不要多看了……

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（線性代數）印刷機：

線性代數在我們翻譯的過程中，充當了印刷機的功能。因為金融的世界裡，我們變數的維度是很高的，一個投資組合動不動200個資產的情況太多了。然而他們當總的絕大多數都能滿足可以點乘，線性可加，內積有意義。那麼你是想寫200個式子呢？還是一個矩陣呢？有了印刷機的功能，我們不但能批量表示金融信息，同時還可以跟計算機這個能批量接受和處理信息的爸爸進行交互，大幅提高處理效率。

同時，因為線性代數里有一個神一樣的概念叫線性空間，允許我們把高維度的信息在兩個不同空間用不同的「基」表示。這在以後學了高級語言的情況下，能表示出很多想都無法像的東西。一些超級抽象的東西（比如傅立葉變換），能被以非常簡單的意義表達出來（基變換，所有向量都換了一個軸做投影）。真正幫助我們翻譯做到言簡意賅。

基於最後一個原因，線性代數我推薦(在線性空間下講線性代數才是好的）：

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（概率論）不確定性的修辭手法：

由於我們需要描述金融市場的不確定性，所以概率論成了金融翻譯們最最最最最最最最最重要的一門課 （我們後面要學到一般概率論，來公理化我們的表達）。我們初級階段學習的數理統計就是這門翻譯課的應用

由於太重要，到了沒他完全就跟魚沒了水一樣，黑貓也懶得多扯了，直接不能免俗得上一本你們都誇的書：

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（運籌學初步）修辭的規劃和優化：

運籌學黑貓當時學的不是很好，只能略說一二。有的時候，在金融中我們會經常遇到一些決策問題，比如如何使資產組合最小風險最小。運籌學是嚴格表示（精準翻譯）這類問題並解決他們的學科，由於太博大精深，本科只能學一下最初初級的東西（像什麼排隊問題了，庫存問題啊，線性規劃啊）。儘管我們一開始研究的問題很初等，這也是有必要的，因為我們需要一些把約束條件和目標的用數學表達的訓練（還是翻譯）

這方面黑貓沒有看過太好的書（只看過一些不好的國內教材）所以歡迎補充。

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上面的第一階段翻譯是一切數理話題的公共基礎，以後就算不做數理金融和金融工程，這些東西也是廣義上用的上的。下面的難度開始加大，是金融學生把自己當理工生的勸退轉型階段。

翻譯第二階段：

實變函數（初步）

複變函數（初步）

傅立葉分析（和他的一個應用子集：連續與離散信號）

微分方程（主要是偏微）

基本數值法

時間序列分析

凸優化

實際上想當好一個跨界翻譯所需要的內容是非常「恐怖」（對非數學系）的，還是一個一個來。

（實變函數）公理化修辭手法：

一般（測度）概率論是為了更精準的表述上面初級概率的一些的「修辭」，以徹底杜絕討論問題時雞同鴨講的現象而必須過的一關。同時現代金融衍生品定價的兩大基石定理：資產定價第一第二定理，必須要在一般概率論下定義，這兩個可以說是Q系的根基心法。你們體會一下：

第一定理：在等價鞅測度下，資產必不存在套利（套利：給定期限的收益「幾乎必然」非負）

第二定理：當且僅當所有風險都具有唯一市場價格，即市場完備的時候，存在唯一等價鞅測度。否則無套利不存在。

然而因為這個太恐怖了，好多金融狗在這裡就被秒然後徹底放棄當翻譯了。所以黑貓推薦書不能像數學系那些天神一樣，怎麼嚴謹咱么紮實怎麼來，那樣子被秒的精神錯亂了學不下去了得不償失。所以推薦一本，為了直觀暫時犧牲數學嚴謹性的書（的前三和第五章）：

（是的，「開過光」的）

這本書，數學系的同學恐怕不會很喜歡，部分定義不是很嚴格（比如流域和適應過程的數學構造和隨機積分的定義），但是為了不被秒我們翻譯匠只能先退而求其次了（即使是這樣，還是很多人被這個秒了，所以在之前的賣書回答里，黑貓把這本書放到了「嗜血篇」里。而且這本書對於金融系的同學還有一個好處就是直觀，用金融里的例子講解。

有餘力的同學（ @汪軻這位屬於甚tm有餘力）可以繼續深究他的根源——實變函數論，討論一些測度問題有的時候還是挺好玩兒的，這些書我因為水平問題不能評判孰優孰劣，所以就放了一本正在看估計也看不完的：

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（複變函數）復域字典和語法：

我們高中時學的虛數單位i，總有很多人問「有什麼用啊」。實際上，隨著描述對象的複雜化，我們需要更「寬闊」的數域去進行翻譯工作。複變函數（或複分析），就是更寬廣的復域上的語法。

曾今被一個做代數幾何的數學大神罵了一邊之後（雖然我不完全同意他的一些說法），痛定思痛做了一篇答案的修正，可以稍微看一下複分析在金融里的應用：學習複變函數與積分變換有什麼用途？ - 黑貓Q形態的回答

由於復域里很多定義找不到直觀理解，只管計算非常容易丟失方向和步伐。所以黑貓在這裡不推薦絕大部分的國內複變函數教材。要做到真正直觀的理解，我們需要一本神一樣直觀的書：

這本神書，保證了直觀，可視，而並未完全喪失嚴謹性。用同倫定義單連通，用繞數定義圍道積分，先將共形映射里保角性再講解析函數。這本神書不但能直觀的把這些概念詮釋清楚，還可以稍微帶我們入門一下一些拓撲的概念，還有不少有質量的習題，可以說是一本複分析里能和張築生媲美的秩序善良書

當然，如果想練計算，還是國內的書好，比如這個大家都刷的：

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（傅立葉分析）特殊正交化修辭手法

這個世界上有一種廣泛存在的，能用一些列三角級數表示投影的特殊信號。不但光學，熱學，信號學歷有他的影子，金融界也不缺乏這種特殊信號——傅立葉級數。同時涉及這種正交的分解和組合的方法也成為了一個特殊的手段——傅立葉變換。上面複變函數里的那個鏈接已經給出了這些東西在金融里的應用，畢竟金融的一個子學科：金融工程，也算一個工課。

必須指出的是，學系傅立葉變換和級數，不能完全當作一個復積分處理。因為偉大的歐拉公式 $e^{it} =cos(t) + i sin(t)$ ，我們會發現其實這些積分變換可以化解成線性代數的問題。對線性代數的理解加深，在學習傅立葉變換的時候會起到事半功倍的效果。

這部分不需要專門的書籍，我們會在很多地方看到他：1.一些好的數學分析教材里的延伸（比如張築生）； 2.一些初級偏微分方程里講到分離變數法之後的自然引出； 3，一些工科數學的計算題；4，某天星學科——EE的基礎教材《信號與系統》

是的，這幫EE的教材講的簡單粗暴甚好理解，說不定還能開啟一些同學奇怪的興趣點

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（偏微分方程）通往硬派翻譯的攔路虎——熱傳導方程

提到這個真有些小激動，因為傳導方程對於學金融的同學，確實是一道「不可跨越的」障礙。工程界的一個小兵對我們來書就是大BOSS了。讀研究生的第一年的時候大家都在各種network，找實習，面試，而黑貓不知道那根筋壞掉了要來攻克這個東西了。雖然講真最後沒有怎麼真正的用到這裡面的姿勢，但是視野和理解確實和原來不同了。

金工一定要學習這個的原因是因為這個學科的序關BOSS——BSM方程就是個無界傳導方程。雖然有更為簡單的條件概率推導，但是一那是在假設了對數正態的幾何布朗運動下的，二是對改變「邊界「的問題並不敏感。據傳聞一些好學校的MFE有著 「BSM必須爛熟三種證明否則滾粗」 的標準，傳導方程可謂真正的分水嶺。

在無套利組合，伊藤引理，payoff（初始條件，其實是終值條件）和對數價格的邊界（BSM是無界，障礙則是加了上界或下界或者都加）的共同作用下，一般低維衍生品定價都可以轉化為傳導方程。中間要經歷分離變數，三角級數復化和積分變換這三個步驟（一般認為級數解已經是比較好的解）

PDE入門很困難，因為涉及的姿勢很多，上面的復變和傅里葉級數都是為這個做的準備，所以書講究循序漸進。對於我們金融系，我選了幾本比較容易的：

這倆都挺容易，尤其後面一個，十分容易

這本書是我們金融系弱逼的福音，黑貓第一個大件就是看這個刷出來的

黑貓不能分辨這是不是好書，但是看著學了不少

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（基本數值法）數值具現化實驗

以上的書或課程都屬於比較理論的內容，然而金融數學或者金融工程直接在工作中用到的技能則是各種各樣的數值法。可以說數值法是數學理論直接具現化的手段和實驗，也是從理論到現實的第一線翻譯。我們需要掌握數值法，多是出於這樣的需求：一是由於所接觸方程條件的複雜性（特別是微分方程），有多金融工程里接觸到的方程可能是沒有沒有顯示解，只能用各種是數值法去求解（比如經典的有限差分）。二是我們在實際數值計算操作中（matlab,R,Python）會用到各種處理數值和矩陣的技巧。三是很多時候，我們需要對一些函數做近似處理，來在有限的誤差內更簡易的解決問題

這些雖然可以不那麼拘泥於理論，直接自己做實驗「玩兒」出來，一本具現化字典也是要的。所以對於初級階段，了一本稍微嚴格的書：

需要提醒的是，學習數值法不要多拘泥於書本的理論，要多上數值計算語言上玩兒。上面這套書雖然嚴格詳細，但是對於學習數值法黑貓不建議一板一眼的按照書上的內容一個一個學習。我們應該像玩兒積木一樣，以實驗和既定數值目標而不是姿勢為目標去玩耍這些數值法～雖然這樣學習可能會不夠全面和紮實，但是好處是對自己「啟發性」玩兒過的數值法，技術細節和具現化會有清晰的印象，同時不會喪失趣味性。這種翻譯，在真正「說話」的過程中，語言和邏輯都會清晰的體現在腳本里，所以說數值法是個實踐學科也不為過分。多動手，書本只是我們的字典

（PS：黑貓數學其實挺垃圾的，而數值法里的矩陣化是黑貓為數不多稍有自信的地方，vectorization 真的是一種病態的編程美，黑貓甚至一直自喻為矩陣化邪教的教徒有哪些向量化寫法讓你拍案叫絕？ - 黑貓Q形態的回答這些東西的確實非常好玩兒，可以幫助人更快得理解一些函數和方程的特性，同時能深度加強線性代數的理解能力）

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（時間序列分析）金融時間數據翻譯

時間序列是大多數金融學生接觸的第一個專業數理課，據說很多金融系的同學把這個選做了本科的畢業論文題目。雖然黑貓十分反感在時間序列下進行「預測」的這種行為（理由如下股票價格真的能預測嗎？ - 黑貓Q形態的回答）但是時間序列本身作為一個金融學生必須掌握的技術工具本身是中立的，我們應該學習。

數理上黑貓推薦這本：

哈密爾頓的時間序列數學證明非常嚴格，內容也非常豐富，適合當作時間序列的字典。

因為黑貓自己碩士是風險管理專業，所以夾帶一本私貨：

這本書是我們市場風險管理課的教材，裡面有大量基於時間序列下關於風險管理視角下的波動率序列。同時還會將很多統計手段的運用。要注意的是，這個寫序列目的不是預測，不是預測，不是預測。不要學個GARCH及其變種就不長腦子去搞什麼期權波動率「預測」去了，這很焦躁，也很錯誤。

大家可能奇怪，為什麼純數的課黑貓賣書一般賣簡單，而應用學科，金融專業數理黑貓賣書賣嚴格。這是因為純數的書，除了數分，線代這種廣泛使用的數學必須要嚴格意外，其他的內容都是我們需要了解但是不需要更數學系同學硬剛的學科。畢竟金融數學是一們講究應用的數理學科，我們是做「翻譯」的（不能叫應用數學，因為數學界對理論和應用的定義和一般常人理解的不一樣，金融數學只能算作應用^2數學。比如像shreve這種對大部分商科學生都算天書的著作，對於數學系的只能算應用的應用，甚至「廁所讀物」）。而應用學科則不同，因為理論部分比較簡單我們不需要專門看，所以需要一本足夠嚴格的當作字典

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（凸優化）資產組合優化領域的翻譯

資產組合優化是金融里一個比較古老的領域，其中比較經典的部分要求我們根據資產的總波動率在一定約束條件下尋求一個最優權重。而因為，資產的總波動可以寫成權重和和協方差的二次型 wQw"，所以我們很多優化問題都是針對這個二次型而言的。這個時候需要的技術手段就是凸優化（二次優化）

這一部分黑貓沒有特別好的書推薦，因為自己學的時候是靠著網上課學校給的一個一個pdf和一些數值計算語言里的操作一點一點學出來的，並不知道有什麼太好的書，歡迎補充

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高階理論翻譯（可選）：

一般概率論（測度概率論）

高級數理統計

隨機分析和隨機過程

隨機控制

泛函分析

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正式礦工翻譯：

衍生定價理論（礦工用）

固定收益模型（礦工用）

MC數值法（礦工用）

量化市場風險管理

信用風險及其衍生品

隨機波動率和波動曲面

統計學習（偏數理的那種）

本科修的是金融學-數學雙學位，研究生讀的Financial Mathematics，比較了解。

由於我是完全修讀了一個學位，所以肯定要比本科修讀金融工程的學生上過的數學課要更多更體系化。我把數學系本科課程中，在金融工程以及我研究生學習中最有用的幾門課列舉一下：

數學分析 * * *
高等代數 * *
常微分方程 *
偏微分方程 * * *
實變函數 *
泛函分析 *
概率論 * * *
數理統計 * * *

時間序列分析 * * * * *
隨機過程 * * *
隨機微分方程 * * * * *

請按我給出的順序學習，已經標出了各個課程與金融工程的相關程度（ * 越多越重要）。
基本就這些了，至少我讀研究生所需要的數學知識基本夠用了。

金融工程可能還需要補一些編程的知識，C++、JAVA、MATLAB、VBA等……

至於教材，實在太多了，列舉好麻煩，百度下「北大數學系本科教材」，對照相應專業的去看吧，金融工程的教材可以看一下國外的，也是請自行百度吧。

這很簡單，最基本的：

數學分析上下華東師大版

高等代數與解析幾何上下

常微分方程

偏微分方程

實分析

概率論

數理統計

C++/ Matlab

本科大概上面的就可以了。

研究生的話還要加上：

隨機過程

資產定價

Python

上邊說過的就不說了

我在研究生的時候被導師逼著修了群論李代數拓撲在研究模型的時候有一些用

但畢業後的這麼多年裡再也沒用過

如果是剛畢業要入金融行業的話，需要數學或統計很強，加上編程的能力，了解金融運作和衍生品的結構。更重要的是要知道數學統計，編程的技能怎樣才能運用在金融上。金融上讀好John Hull的書就行，我們叫他的書為bible.

入行後再深入細分。。。

以下內容只適合智商正常的非數學專業學生！失了智的和神童都不適合！

數學分析：

教材：鄧東皋《數學分析簡明教程》

習題：1.淘寶購買配套習題答案（學生自己做的答案）

2.謝惠民數學分析習題課講義（挑自己有能力的）

註：這本書是蘭大和中大的本科生教材，這些學校學生都能用，你還不夠用嗎？！懷疑那些推薦rudin的腦子是不是有問題，涉及復變泛函一個初學的普通學生怎麼看得懂？！不要誤人子弟！

高等代數：

教材：北京大學藍以中《高等代數簡明教程》

流暢自然邏輯清晰高等代數是一門從特殊到普通再從普遍到特殊的富有哲學思維的學科閱讀時多做思考與歸納觸類旁通多寫感想！

習題：課後題挑著做

概率論基礎

概率論基礎：

教材：復旦大學李賢平《概率論基礎》

習題：配套習題冊編得真心不錯看過就知道

你就好好看完這一本你的概率論基礎已經很紮實了！

常微分方程：

教材：中山大學《王高雄》

習題：相應配套習題

國外有很多好教材！但是不要好高騖遠！那是人家數學系的學生才需要那種高觀點！你連個基本的方程都解不出來！簡直就是耍流氓！這本書關鍵他習題特別詳盡，挑著做！

複變函數論：

教材：四川大學鍾玉泉《複變函數論》

尼達姆《複分析可視化》

後一本神作不多說！

實變函數：

教材：北京大學鄧東皋《實變函數簡明教程》

普林斯頓大學斯坦恩《實分析》

第一本真是太友好了證明簡明易懂別出心裁別看它薄該有的知識點它都有

第二本斯坦恩大家之作自己掂量著看吧

測度論：

教材：北京大學程士宏《概率論與測度論基礎》

好好把這本讀完吧！濃縮的都是精華！

泛函分析：

懂得朋友都知道！算是比較好理解的教材了！這個都看不懂你就別學這門課了！

隨機過程：

教材：sheldon m.ross 《隨機過程》

這是一本無測度的其實你學過前三大基礎課這門課就可以試著進行了！

偏微分方程：

教材：david bleecker《bpde》

也是同上其實只針對大二以上學生就可以愉快地閱讀啦哈哈哈(?ω?)hiahiahia

貼一張我loo本科金融數學的課表吧...

這裡不包括必修的Calculus12, Linear Algebra12, Probability, Statistics

大概說一下科目，教材找經典的就行了，國內教科書一般言簡意駭，國外的呢隨便翻翻學單詞唄。

以下學科基本上沒有重疊，別人給的書單很多內容都是有重複的。

微積分系列（不用數學分析，不需要從epsilon delta開始）

線性代數

概率與統計（不需要從測度論開始）

基礎的ODE

基礎的PDE（側重於熱方程的解法）

C++/Python編程

隨機微分方程

數值分析（直到你會解熱方程，也就是BSPDE）

時間序列分析（懂那幾個模型就可以了）

測度，實分析，泛函分析知道基本概念就行了，不需要側重學。

如果你想好好學，這三門課至少要花兩年。

學校課表有什麼就學什麼，有需要導師會叫你學的。切記不要想太多。你的時間很寶貴的，沒時間浮皮潦草科普數學提升逼格或者看每一本天書的前兩章。

@Benjamin zeng 媽的，感覺金工入不到門了。。。

補兩個個吧，凸集優化理論，數值分析。畢竟算衍生品，解偏微分方程什麼的要用到。優化我感覺幫助還是挺大的。QiQi Wang，MIT 2Sigma的教授開了個偏微分有限元方法也覺得挺有用的。ppppps，勸退q quant。