為什麼對球的體積公式進行求導會得到球的表面積公式？

01-06

數學

想像一下球面按照半徑方向增大一個小量，增大的體積大概是球的表面積乘以作為增加的高度的那個小量，所以球體積的變化率是球面積

看樣子題主應該是個喜歡思考的高中生吧，在學習的時候去發現問題並思考原因是個很好的習慣，雖然在高考中不會去考察，但是這才是學習的意義。這個問題在我讀高中的時候也想過，但是當時僅僅是想明白了這一個特例，隨著學習的深入，後來再次想到這個問題才發現了其的根源。在這裡，以高中數學的思路給你解釋隱藏在幾何中的「導數」。

你發現了對球的體積公式求導是球的表面積，那麼有沒有發現對圓的面積求導是其周長呢？這是否是巧合呢？以及為什麼會這樣呢？

顯然這並非是巧合，並且有一種規律：有內切圓的平面圖形，在形狀保持不變的時候，其面積對內切圓半徑求導是其周長；有內切球的空間圖形，在形狀保持不變的時候，體積對內切球半徑求導是其面積。

在此之前，首先看導數的定義。導數的具體定義：

$lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{Delta y}{Delta x}}=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}}$

為 $y$ 在 $x=x_{0}$ 處的導數。即在 $x=x_{0}$ 處，當自變數 $x$ 的變化 $Delta x$ 趨近於0的時候，其因變數的變化 $Delta y$ 與自變數的變化 $Delta x$ 比值 $frac{Delta y}{Delta x}$ 的極限稱為該點的導數。因此要回答題主的問題，只需要證明 $lim_{Delta R ightarrow 0}{frac{Delta V}{Delta R}}=S$ 即可（即把 $R$ 視作自變數， $V$ 是因變數）。證明這個式子之前先來看看書中對於定積分的那一節中對於曲邊梯形面積的計算。

在這裡，要去理解極限。極限在高中數學中沒有具體的去下定義，我們可以簡單理解為無限接近的那個值。我們去求曲邊梯形面積的時候，分成若干個矩形。當矩形數量不停增加的時候，矩形面積會無限接近於曲邊梯形的面積，這無數個矩形面積之和的極限就是梯形。就好比 $0. ilde{9}$ 完全可以看成1一樣，這就是極限。

明白了上面的問題，再來回答題主的問題就好說了，從圓來說起，當圓的半徑為 $R$ ，面積為 $S$ ，周長為 $L$ 其中半徑為自變數，面積為因變數。當半徑變化為 $R+Delta R$ 時，面積增加為其小圓環面積。對於這個圓環面積的計算，曲邊梯形的計算類似，分成無數個小矩形。每個矩形的面積為其長乘以寬，長近似的看作這一段圓弧長度，寬為 $Delta R$ ，那麼這些矩形面積之和即為弧長之和乘以 $Delta R$ ，即 $Delta S=LcdotDelta R$ ,再由定義就可以得到 $lim_{Delta R ightarrow 0}{frac{Delta S}{Delta R}}=L$ .

再來看球，球的半徑從 $R$ 增加到 $R+Delta R$ 的時候，體積增加的是外面把原來的球覆蓋的薄薄的一層「膜」。膜分成無數個長方體，長方體的底面積是球表面積的一部分，高為 $Delta R$ ，無數個長方體體積之和即為這層「膜」的體積，即 $Delta V=ScdotDelta R$ ,那麼 $lim_{Delta R ightarrow 0}{frac{Delta V}{Delta R}}=S$ .

然後來看其他圖形，正方形面積對邊長求導並非其周長，正方體體積對邊長求導並非其表面積，其他圖形也是的，難道說僅僅是圓與球可以嗎？並非如此，對比下找不同：球跟圓的 $Delta R$ 是由中心往外伸展，為長方形的邊長是往一個方向伸展。所以對於正方形要適用這個結論，必須是對正方形的內切圓半徑求導。正方形內切圓半徑為 $R$ 時， $S=4R^{2}$ , $L=8R$ ,此時面積對半徑求導仍然是其周長，以此類推，所有有內切圓的平面圖形在形狀不變的時候，面積對半徑求導為其周長，空間圖形也可以推廣為體積對半徑求導為其表面積。可以自己去動手驗證。（即自變數為半徑）

說到這裡，那麼我們就可以推導出我們高中一些幾何公式了。比如錐的體積公式為

$V=frac{1}{3}S_{底}H$

用同樣的思路可以來推導出來，以圓錐為例。圓錐的底面半徑為 $R$ ,高為 $H$ ，中間截取一個高為 $h$ 的小圓錐，可以知道這個小圓錐的半徑為 $frac{h}{H}R$ 。當高增加 $Delta h$ 時候，體積增加 $Delta V$ 為這個小圓台的體積。由於 $Delta h ightarrow 0$ ，那麼這個小圓台近似看成一個圓柱來計算其體積，即 $Delta V=pi r^{2}Delta h=frac{pi R^{2}h^{2}}{H^{2}}Delta h$ ，那麼 $lim_{Delta h ightarrow 0}{frac{Delta V}{Delta h}}=frac{pi {R}^{2}h^{2}}{H^{2}}$ ,即體積對高求導為 $frac{pi {R}^{2}h^{2}}{H^{2}}$ ，那麼小圓錐的體積為 $frac{pi {R}^{2}h^{3}}{3H^{2}}$ .當 $h=H$ 時，帶入進去就是圓錐的體積公式，同樣的思路可以去推導其他錐的體積公式，甚至台的體積公式。

高中對於導數學的很淺顯，很多時候可以多多去思考很多不明白的地方，就會發現很多有意思的地方以及許多知識都串聯起來了。比如，剛才講到圓的面積對半徑求導是周長，但是為什麼周長公式為 $2pi r$ 呢，而 $pi$ 又有什麼意義呢？為什麼要我們學習角度之後又要弧度化，為什麼正弦函數求導是餘弦呢？當想明白了一些問題，就會發現數學的魅力所在，而不是僅僅為了高考。

可以把球的體積看成（無數個半徑從零開始逐漸遞增的球的表面積與其微元的乘積）之和，即：

$v(球) approx lim_{n ightarrow +infty}sum_{i=1}^n{4pi r_i^2}varDelta x_i\\ varDelta x_i ightarrow 0 \\ 其中0=r_1<r_2<r_3....<r_n = r(球)$

你看球體積其實可以表示成一個黎曼積分和的形式，那麼對此時球體積的增量自然就是 $4pi r_n^2$ ，即最大半徑的球的表面積啦。