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有哪些沒有（或無法）證明卻經常被我們使用的結論或定理？

01-06

有哪些沒有（或無法）被證明卻經常被我們使用的結論或推論，因為其絕妙或實用，而被經常使用？

反證法已經使用了一千多年了，十世紀左右就有人試圖用反證法證明平行線公設。

然而，各個公理系統的一致性（consistency），至少都是在1900年之後才被證明的。

看潘承洞先生的《初等數論》的附錄時我才知道，原來直到19世紀後期，數學家才開始慢慢建立一個完善的、公理化的「自然數」的定義……也就是著名的Peano axiom

以下內容來自《初等數論》

設 $mathbb{N}$ 是一個非空集合，滿足以下條件：

對每一個元素 $ninmathbb{N}$ ，一定有唯一的一個 $mathbb{N}$ 中的元素與之對應，這個元素記作 $n^{+}$ ，稱為 $n$ 的後繼元素（或後繼）。
有元素 $einmathbb{N}$ ，它不是 $mathbb{N}$ 中任一元素的後繼。
$mathbb{N}$ 中的任意一個元素至多是一個元素的後繼，即從 $a^+=b^+$ 一定可以推出 $a=b$ 。
（歸納公理）設 $S$ 是 $mathbb{N}$ 的一個子集合， $ein S$ 。如果 $nin S$ ，必有 $n^+in S$ ，那麼 $S=mathbb{N}$ 。

這樣的集合 $mathbb{N}$ 稱為自然數集合，它的元素稱為自然數。

換句話說，在那之前，大家研究數學、物理的時候，用的1、2、3、4、……（包括加減乘除）甚至沒有被嚴格定義……想想都覺得……真是太得物理學研究之精髓啦！公理化體系是什麼，證明是什麼，嚴謹是什麼，可以吃嗎？（手動斜眼）

好像有點跑題了……（霧

嗯回到正題一下，據說數學裡有很多結論的證明，第一句話是let"s assume Riemann hypothesis is right（大霧

因果律？

原理都是沒辦法證明，但是總有一些基本的原理實在是太常見了，以至於我們從未懷疑過它們的真實性，比方說因果律。

狹義相對論中禁止超光速信號的存在，就是因為它會破壞因果律；狹義相對論如此，那麼建立在其基礎上的量子場論自然也不例外，微觀因果性就是場論中最基本的一條公理。

另外場論中還有一條基本公理——完備性公理，該公理假定希爾伯特空間中所有的物理算符都可以由場算符表示出來，想來這條公理也是沒辦法證明的，但它卻是場論的基礎。

The most incomprehensible thing about the world is that it is at all comprehensible.

宇宙中最不可理解的事情是，它是可理解的。

——阿爾伯特·愛因斯坦

這是物理學家們的信仰。。

選擇公理……

剛看到這東西的時候我是傻眼的

連續統假設，即假設不存在勢介於自然數集的勢和實數集的勢之間的無窮集。

通俗地說，就是假設不存在一個「元素比自然數集多而比實數集少」的無窮集（這是很不嚴格的說法，要注意這裡的「多」和「少」都是無窮集之間的比較，一個集比另一個集多出有限個元素、乃至某些情況下多出無窮個元素都不叫多）。

這個假設是很多數學規律的基礎，但是可以證明它獨立於ZFC公理系統，即不能在ZFC公理系統中證明或證偽它。

P！=NP

參見 http://www.zhihu.com/question/30974709

邱奇-圖靈論題。The Church-Turing thesis。

所有計算或者演算法都可以用一台圖靈機來執行。

廣義黎曼假設，解析數論中用的多，陳景潤證明1+2就假設廣義黎曼假設成立。

不嚴格的說，現在人們普遍相信P不等於NP，面對一般的NP-hard問題，一般都不會有人試圖尋找多項式複雜度的解。

RSA演算法，目前網路安全最核心的演算法，建立在一個尚未證明的數學問題上: 因式分解的複雜度類歸屬

1 宇宙有起源我們都沒辦法證明萬物都有起源卻開始探討推論他是怎麼誕生的！

2 因果關係的適用範圍我們用因果關係去追溯本質，前因後果，但是到了比較底層的時候其實因果可能是同時性的沒有時間順序的，這種邏輯可能不再適用但是人們習慣性的使用！

人類的思考一定程度上要受限於習慣與常規，而且永遠也無法完全擺脫，只能不斷的開闊不斷的打破常規！

AdS/CFT（雖然叫CFT 且CFT都沒有證明不是CFT的更沒證明但照用不誤）

明天和今天一樣

因為你不知道明天物理規律化學規律以及你學過的任何規律是不是還起作用

我們現在學習的所有規律都是過往情況觀察總結的。

細思極恐啊

P不等於NP。

1.TI比賽不會有衛冕冠軍

2.中國隊伍無法在奇數年取得TI冠軍

補充:任何選手不會獲得兩次TI冠軍

社會主義必將取代資本主義

時光不可倒退，人死不能復生。

評論區有朋友糾結於定理和公理，因為題主問的是：有哪些沒有（或無法）證明卻經常被我們使用的結論或定理？

我覺得公理是一種結論，也是無法證明的，所以這個答案應該沒有問題

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歐氏幾何中的公理。例如：

1．兩點間直線距離最短

2．平行公理

...

「邏輯是正確的。」

無法證明，因為證明這個概念源於邏輯。

如果想要證明邏輯只會變成無意義的循環論證。

想起測概老師講課的時候，會把這章的一個很重要的定理先跳過去不證明，然後去講後面的要用到這個定理才能推導出來的內容。

他的理論是：你們看到這個定理這麼有用，才會產生想要去證明它的慾望。

真的很喜歡這句話。

所以，無法證明的暫且不說，我希望，那些還未證明的東西有一天會被這種慾望揭開真相。

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