(-8)^(1/3) 和 (-8)^(2/6) 的計算結果是否一致？為什麼？如何看待？

01-06

先說結論：無論如何，它們都必須相等。因為 $frac{1}{3}$ 和 $frac{2}{6}$ 指的是同一個有理數，即使你把這個有理數寫成 $0.333...$ ，它仍然是一個確定的有理數 $q$ 。而 $-8$ 的 $q$ 次方應當是良定義的，即不會因為你把 $q$ 寫成不同形式而發生值的變化。

高中數學迴避這個問題，因為這個問題在實數域上的確不好解釋。如果讀者還沒有學過複數或者複分析，那麼這個問題只能這麼回答：在實數域上對 $-8$ 進行平方後， $-8$ 的一些性質丟失了，導致我們並不能辨別是 $8$ 在開三次方還是 $-8$ 在開三次方。

下為原答案，供學過相關知識，或沒學過但有興趣的讀者參考。

這個問題就是討論 $x^frac{m}{n}$ 在 $frac{m}{n}$ 不是既約分數下的意義。為了說清楚這件事而不僅僅是在定義上咬文嚼字，就必須要在複數域上進行討論。為了閱讀方便，就以 $(-8)^frac{1}{3}$ 和 $(-8)^frac{2}{6}$ 為例。

首先， $-8$ 的輻角除了主值 $pi$ 外，還有 $(2k+1)pi，k=pm1,pm2,...$ ，在開三次方時，輻角變為原來的 $frac{1}{3}$ ，容易發現這些輻角可以歸納成 $2ppi+frac{pi}{3}，2ppi-frac{pi}{3}，2ppi+pi，p=0,pm1,pm2,...$ 三種類別，而輻角相差 $2pi$ 整數倍的兩個模相同的複數實際上就是一個複數，因此我們說 $-8$ 有三個三次方根，其中當輻角取最後一類，也即 $pi$ 的時候，得到的是一個負實數，即 $-2$ 。我們說 $-8$ 的三次方根時通常特指 $-2$ ，並將這個值稱作 $-8$ 三次方根的主值。

當我們遇到 $m e1$ 的 $frac{m}{n}$ 次冪時，我們需要先進行 $m$ 次方，將輻角擴大為 $m$ 倍後再進行開方操作。以 $(-8)^frac{2}{6}$ 為例，首先將輻角翻倍， $(2k+1)pi$ 變為 $(4k+2)pi$ ，然後再將輻角變為 $frac{1}{6}$ 。對 $k$ 進行分類討論後，仍然能得到和上述討論中一致的結果。

可以看到，用複數開方的定義處理這個問題，得到的結果是完全一致的。但我們按照 $x^frac{m}{n}=sqrt[n]{x^m}$ 來計算一個實數的方根時就會算得 $(-8)^frac{2}{6}=2$ 。這是因為在複數域中計算 $-8$ 的平方時，結果雖為 $64$ ，但其輻角是有明確限制的，即 $(4k+2)pi$ 。但在實數域中計算時，由於沒有輻角這一性質，算得的 $64$ 實際上是複數域中所有輻角為 $2kpi$ 的 $64$ 。這時候將輻角除以 $6$ 後就會得到 $6$ 個輻角不同的複數，其中有 $64$ 六次方根的主值 $2$ 。換句話講，在實數域中進行平方使我們無法分辨 $8^2$ 和 $(-8)^2$ 的區別，計算得出的 $2$ 來源於 $8$ 而不是 $-8$ 。

那麼怎麼解決這個問題呢？有兩種方式，一種就是把視角拓展到複數域，用複數開方的定義，對輻角進行討論來開方（然後取主值），這時候得到的結果都是 $-2$ ；另一種方式則是要求實數的有理數次冪的分數形式必須先化為既約分數，然後按照 $x^frac{m}{n}=sqrt[n]{x^m}$ 進行計算，這樣的結果也是 $-2$ 。無論如何，由於 $frac{1}{3} =frac{2}{6}$ ，兩者指代的是同一個有理數，而一個數的若干次冪必須是良定義的（不能有兩個值）， $-8$ 的 $frac{1}{3}$ 次冪也好 $frac{2}{6}$ 次冪也好必須是 $-2$ 而不是 $2$ （在取主值的意義下）。

雖然已經和主題無關，但我們不妨發散思考一下，（下述討論不考慮 $0$ ）為什麼只有正實數才有任意次數的冪（如 $2^sqrt{2}$ ）？

原因就是當我們求 $z^alpha$ 的時候，輻角也變為了 $alpha$ 倍。由於正實數的輻角主值為零，故 $alpha$ 次冪後仍有一個輻角為零的值，而這就是我們常取的主值，它仍然是個正實數。

但對負實數來說，輻角變為 $alpha$ 倍後，新的輻角集合中就未必有一部分輻角會落在實軸上了，這時候人為地規定一個主值就比較困難。一個特例是 $alpha=frac{1}{2k+1}$ ，這時候 $(2k+1)pi$ 的輻角變為 $pi$ ，即得到一個負實數。

更進一步，如果 $alpha$ 是無理數，不難證明 $z$ 的所有輻角經過 $alpha$ 倍變換後在忽略 $2pi$ 的整數倍的意義下也兩兩不等。這意味著 $z^alpha$ 有無窮多個值，而這些值甚至在一個圓周上稠密。而且一般說來，這些無窮多個值的輻角主值和 $arg(z)$ 都不相等，但卻可以任意接近，這使得討論複數的無理數次冪是沒什麼價值的（因為你甚至不能確定一個主值），只有正實數的輻角主值為零，才會例外地得到一個可以定義的值。

其實，題主的疑惑很有代表性~

簡單地說，這就是為什麼各路中學數學教材在定義「分數指數冪」的時候，特意規定底數＞0 的原因。

這個問題，恐怕絕大多數高中生（包括省重點的學霸們）根本就想不到。畢竟，凡是在已有知識基礎之上不能被「良好定義」（well-defined）的概念，在數學教科書、習題、卷子中是從來不會出現的。

圖片來源：人教 A 版《高中數學教師用書》。

謝謝邀請，不過我覺得上面的答案已經十分詳細了。對於一個正實數，它的實數次方是有十分明確的定義的。關鍵在於對 $-1$ 的次方定義是什麼。一個比較自洽的定義是 $(-1)^{1/n}$ 是方程 $z^n+1=0$ 在複數域上解的記號，但是問題在於方程可能有多個複數解。

一樣。

括弧優先順序最高。2/6就是1/3，沒有那麼多幺蛾子。

一樣的~

因為底數小於0，考慮複數域：

k取0 1 2得到複數域上的三個結果，k=1時得到唯一實數根-2。

硬要考慮多值函數的話，當然k取不同值也可以不一樣……如果只考慮實根的話肯定是一樣的。

這是一個好問題，可以參考rudin數學分析原理第一章證明非負數有理數次冪的定義是well-defined。這題高中生是可以做的，跟這本書內容無關。

對照這題的證明的思想，想一想就知道了，這定義對於負數就不是well-defined的了。

還有很多概念，在做推廣的時候或者建立新概念的時候，都需要考慮，是不是well-defined。在譬如在抽代中，定義剩餘類的乘法，這也是一個良定義，與選取的剩餘類的代表元無關。

其實出現這種問題，是因為中學的數學教育主要是側重應用。書本告訴你一套規則，你只能在這規則裡面玩。當你逾越這些規則的時候，你就會了解到，如何construct這些規則，是很微妙的事情。

怕題主不明白，再稍微解釋一下。

想想，有理次冪的定義是什麼？假設有理數q＝m/n，m，n都是正整數。a^q定義為，a的m次方開n次方。

注意！因為q＝m/n＝km/kn，a^q暨等於a的m次方開n次方，又等於a的km次方開kn次方但是

這是完全不同的兩個東西---根據定義。

不過，根據定義，也可以證明，他們兩個是相等的（想想怎麼做）。負數的，你自己想想吧。

一樣，因為負數在實數範圍沒有分數冪的定義，需要擴展到複數域，對應三個複數。

指數部分分子與分母互素是大前提

在實數範疇類，負數的分數冪一般沒有定義，只有一些簡單1/2n＋1次冪可以給出定義，但不能參與某些運算。問題中兩個答案都是－2. 後面一個不能進行其他運算。

在複數範疇內，就另當別論了。

（-1）^k=e^((2n+1)Pi*i)*k

幅角為 ((2n+1)Pi*i)*k

當k是有理數時有有限個取值

k是無理數時有無限個取值

而且在單位圓上是稠密的

一樣啊，先算括弧再乘方，先算括弧，先算，先。。。額

如果考試考了，只能說明出題老師有病。這種問題毫無意義

不用想多了，講到這個地方的時候，直接說是一樣的就行，不一樣的情況等學生後面學了自己會明白。

謝邀。

一、一樣。如果你先把2/6化簡為1/3。

二、也可以不一樣。如果只考慮實數，並且先計算2/6里的平方再開六次方。

三、其實他們又可以一樣。即使你先計算平方再開六次方。但是，你要在複數域里討論乘方和開方的定義。

會發生問題的原因很簡單，在實數域中（如果我說的不嚴格，那就改成中學數學裡），一個數字的偶數次開方是不會考慮得到負數的。

就像±1的平方都是1，但是我們說根號1就是1。

在複數域里就不一樣了，開方是個多值函數，他會得到一堆很有規律的數字，這堆數字里就包含那個負數答案。

不一樣啊…

實數域求解來看，第一個是負二，第二個是正負二，複數域求解來看，解的個數不一樣那答案也不一樣。