如何考慮期權組合的Greeks？

01-06

假設我有一個資產組合，裡面全都是（歐式）期權，標的相同，但是執行價和到期期限都差很大，並且long 和 short的頭寸都有，那麼此時應該怎麼考慮整個組合的Greeks呢？我的想法是好像只有delta和theta可以直接相加，其餘的都不行……
問題補充：又想了一下，好像連delta都不可以直接相加……

首先我們要弄清楚每一個greek究竟是針對什麼的導數，然後才能決定他們是否可以相加。

Theta和rho分別是對於時間和利率的導數，那麼不論我的option是基於哪一支股票，他們都是對於相同的東西求導。比如說我portfolio里蘋果的option theta notional是$100，亞馬遜theta notional是$50，那我就是一起床就虧150，不論這兩支股票怎麼變動。同理rho也是這樣的，所以weighted rho和theta是可以直接相加的。

Delta和gamma是針對一個股票的。Delta是option價值對於股票的倒數，gamma是delta對於股票的倒數。所以在你的portfolio應該對應每一個股票都有一個delta和gamma。比如說我有兩組蘋果的call，A和B，delta notional分別是$1000和$500,那蘋果漲一塊錢，我portfolio理論價值就會增加$1500。但是如果我把亞馬遜和蘋果option delta相加，得到的東西只能告訴我如果他們都漲一塊錢我能獲得多少的理論價值。如果你portfolio里股票關聯度高也許還有點指導的意義，但如果我portfolio裡面一個spxl的call和一個spxs的call（三倍做多SPX和三倍做空SPX），兩者實際上是在互相對沖的但delta加起來反而翻了倍。所以說最好是針對每一個股票把這個股票的option delta/gamma 相加，而不是把不同股票的delta/gamma 相加。

vega會稍微煩一點。vega是option價格對於波動性的導數，但針對同一個股票不同的strike和maturity，implied vol都是不同的，所以某個option的vega其實只是對某一個implied vol求的導。比如說我有兩個蘋果的call，maturity一樣，strike分別是140和160，一個vega是0.15，一個vega是0.32。如果vol surface平行移動向上1%，那我option價值總的就提高了0.47。但如果我140的vol向上移動1%，160的vol沒動呢？那我價值只提高了0.15。所以理論上來說針對每一個股票，我應當有一張二維的vega map，也就是說針對implied vol surface上某一個vol的變化，我的portfolio應該產生多少的價值變化。然而，由於一個股票自身vol surface點與點之間的correlation很高，所以可以假設vol surface會經常做出平移或者近似平移。那麼把一個股票的option的vega相加還是有很好的指導意義，可以大致的知道針對某一個股票波動性的exposure。但如果需要更精確的sensitivity還是推薦用vega map。

總結一下就是

theta，rho可以跨不同股票相加
delta，gamma只能相同股票的相加
vega可以同股票相加，但如果需要精確的exposure應該用vega map，也就是每一個股票的每一個option maturity的每一個strike都有自己的vega。

個人的理解是要先根據portfolio中各個合約的持倉和greeks計算出每個合約持倉的dollar greeks，再對dollar greeks進行加總得到portfolio dollar greeks。這樣算出的結果對delta/gamma/theta/rho都是有意義的，但對vega不一定有意義，因為implied vol surface不一定（或者一定不是）上下平移。

標的相同的話delta gamma可以加。rho我是做equity derivatives所以忽略了。

theta什麼時候都可以加。

Vega確實應該按maturity來分別對沖，但是實操基本不可能，以美股sbux來說，上周五sep contract到期之後，這周一才開始上線dec contract，所以到上周五之前我只能賣jan 2018的來對沖12月附近的vega exposure，在Vega map上就會顯示成12月long 20k，一月short 20k，整體是flat的。要完美對沖除非你找別的trader quote otc maturing in dec，不過大家整體position都應該差不多，你十二月賣不出他十二月也是積著，bid ask不宰你一刀都不算好trader。所以沒辦法只能這麼挺著，直到有了listed contract再一點點倒騰。

難道不是notional weighted