標的價格或者 implied vol 變化很大時 Greeks P&L 該如何分解？

01-06

我們知道Greeks PL的分解其實是對期權價格的Taylor展開。
$Delta fapprox thetacdot Delta t+deltacdot Delta S+gammacdot (Delta S)^{2}+ vegacdot Delta sigma +rhocdot Delta r$
所以如果要近似求解的話，隱含假設是 $Delta t,Delta S,(Delta S)^{2} ,Delta sigma ,Delta r$ 比較小。

如果我按照每日收盤價來計算Greeks的PL， $Delta t,Delta r$ 可控，但有時難免出現 $Delta S,(Delta S)^{2} ,Delta sigma$ 比較大的情況，這種情況下就沒法簡單算Greeks的貢獻值了，想請問這種情況下有沒有什麼解決辦法？

數學上完美分解PL是不可能完成的任務。

舉個簡單的例子。有天，你發現一隻股票價格沒怎麼動。你買的straddle組合暴跌。你也許就會認為你在vega上虧了很多錢。

但是，假如這個股票這天開個重要發布會，但市場在發布會後反應不強烈，straddle組合暴跌。這樣，你虧的是的vega，也就是你算錯了這個發布會的event vol嗎? 不是。你虧是因為這個組合的realized gamma比theta小。你認為這個這個發布會是個三個日標準差事件（市場也這麼認為），但最後價格只動了半個日標準差，你虧的就是兩天半的theta，而不是vega。但是，你具體虧的多少是theta/gamma，多少是vega，取決於你在發布會之前認為這是多少標準差的事件。這個信息沒有相應的金融產品做replication，所以完全取決於調參數的人/模型的感官，所以不可能「公正」地分解。

事實也是如此。每個大變動後，PL attribution都是一團糟，甚至有很多項必須塞到"second order pnl"里，這種分解對賺錢沒有幫助。

通常加上second order term可以解釋99%以上的變化。

還有一種不要臉的做法是按順序改參數，把幾個變數依次從初始值改到最終結值，每次計算價格到變化。這種搞法不會有殘差，但是取決於計算順序。

基於上年那種思路還可以發明出很多折中方法。總之你面臨的是一個在6維平面上怎麼從A點走到了B點過程，有時候有些高階項是躲不開的。

對於線性的金融產品而言，用Greeks可以得到比較好的PnL分解。對於非線性的金融產品而言，用Greeks 的方法進行PnL的分解，是不可能完全的解釋PnL的變化。Greeks本來就是在變化量足夠小的情況下得到的，當市場波動大的情況下，連定價公式都有可能misprice，更何況是Greeks呢？

如果想提高PnL分解的精確度的話，我覺得可以嘗試用Modified Greeks和Bucketed Greeks去代替用顯示公式計算的Greeks, 以及加入更多的高階Greeks。

我覺得最終的落腳點是為什麼我們需要去進行PnL breakdown？如果是想通過這樣的方法來進行交易，我覺得基本上是不可能的。PnL breakdown只在做Reporting的時候，感覺才有一點用啊。

$資產價格變化對權利金的影響$