有哪些形式簡單卻很難證明的不等式？

01-06

最好是全對稱的,輪換的勉強可以算"形式簡單",另外變元越少越好...
iran96鎮樓...
$frac{1}{(x+y)^2}+frac{1}{(y+z)^2}+frac{1}{(z+x)^2}geq frac{9}{4(xy+yz+zx)}$

非負實數 $a+b+c+d=6$

證明:

$(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)leq 27$

可以猜猜看等號成立條件，亮瞎狗眼

據說是集訓隊老師出給韋東奕的題【未經證實】

等號成立條件

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$a=4cos^2(frac{pi}{18}),b=4cos^2(frac{5pi}{18}),c=4cos^2(frac{7pi}{18}),d=0$

當然這個題不能算非常難，高中時候做出來過，有時間的話會補充一下解答。但是確實極其匪夷所思，形式簡單，所有數字都是整數，取等條件卻是一組奇怪的無理數。

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補充一個，在競賽圈應該挺有名的Vasile不等式

$(a^2+b^2+c^2)^2geq3(a^3b+b^3c+c^3a)$

取等條件：

$a=b=c$ 或 $a:b:c=sin^2(frac{4pi}{7}):sin^2(frac{2pi}{7}):sin^2(frac{pi}{7})$ 及輪換

證明：

左邊-右邊= $frac{1}{2}sum_{cyc} (a^2-c^2+ac+bc-2ab)^2geq0$

倒是有個數論的不等式（雖然並不是輪換或者對稱的，但是確實是看起來很簡單實際上極難證明……）……

s(n)&<=Hn+exp(Hn)ln(Hn), 其中s(n)表示n的約數和，Hn表示調和級數1+1/2+...+1/n, 等號當且僅當n=1時成立。

重新更新下

有這樣一個不等式：

$sqrt{n} ^{sqrt{n+1}}>sqrt{n+1}^{sqrt{n}},n=7,8,9...$

請給出一個初等證明.

當然有人說兩邊取對數就OK了，而實際上兩邊取對數後就轉化成了：
證明：

$sqrt{7}^{sqrt{8}}>sqrt{8}^{sqrt{7}}$

形式是不是非常簡單？！想不想試試

有人提到計神的《代數不等式》，裡面的不等式很多取自AOPS網站:Art of Problem Solving，該網站有個不等式狂人:arqady，計神書里有一章專門介紹他的不等式.

而這本書裡面的解答清一色的配方.

比如：

已知 $x,y,zgeq 0$ ,且 $x^2+y^2+z^2=1$ ,證明：

$frac{x}{1+xy}+frac{y}{1+yz}+frac{z}{1+zx} leq frac{3sqrt{3}}{4}$

證明：

∵ $27(x+y+2z)^2(x^2+y^2+z^2+xy)^2-16(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx))^2=$

$12z(x+y)(x^2-3xy+y^2+z^2)^2+frac{1021x^2-150xy+1021y^2+1012z^2}{5324}(5x^2+12xy+5y^2-22z^2)^2)+$ $frac{9}{5324}(3671x^2+8586xy+3671y^2+4400z^2)(x-y)^4$

∴ $sum_{cyc}^{}{frac{x}{1+xy}} leq sum_{cyc}^{}{frac{3sqrt{3}x(x+y+2z)}{4(x^2+y^2+z^2+3(yz+zx+xy))}} =frac{3sqrt{3}}{4}$

看到解答是不是一臉懵逼....心裡想卧槽這也可以.

書里有大量類似的例子，有的人說是機器配的，有的人說是部分機器，部分人工，答案只有計神知道了.

初等不等式的相關書籍：

《不等式》（哈代），不等式的經典之作

《常用不等式》（匡繼昌），不等式詞典

《Algebraic Inequalities.Old and New Methods 》Vasile Cirtoaje

《Diamonds In Mathematical Inequalities》Tran Phuong.

《不等式的秘密》（有兩卷），第一本介紹傳統方法，第二本介紹了最新的一些研究方法，比如SOS，SOS-schur,整合變數等，掌握這些方法後可以處理很多相對較難的不等式了，比如iran96,

用SOS不要太簡單...補充下：SOS方法最初來源於：Community - Art of Problem Solving

《數學奧林匹克不等式研究》（楊學枝）包含了楊學枝老師幾十年的部分研究成果.

《不等式研究》（第二輯）（楊學枝）包含分析不等式研究，高等幾何不等式研究，初等不等式研究等.

《初等不等式的證明方法》（韓京俊），這本書也非常不錯能學到很多東西.

《代數不等式》(陳計) (此處省略....)

《inequalities with beautiful solutions》（Vasile Cirtoaje , Vo Quoc Ba Can , Tran Quoc Anh ）三位大神的作品.

《TOPICS IN INEQUALITIES》（Hojoo Lee）

《不等式探究》（安振平）暫時還未公開賣，可以通過私人關係買到.

還有一些不等式題目集：

《國際名刊上的不等式大集》（更新到2006）

《Algebraic Inequalities in Mathematical Olympiads: Problems and Solutions》（更新到2015）

《1691個代數不等式》

《越南不等式170題》

改天再更新，布置個作業：

已知 $a,b,cgeq 0$ ，且 $a+b+c=3$ ,求證：

$sum_{}^{}{frac{a^3}{13a^3+(b+c)^3}}leq frac{1}{7}$

形式簡單的有一大堆嘛，隨手列一波，題主認得幾個？

幾個實變數排列組合都太low了。

1. 設 $f,gin H^{s}(mathbb{R}^d)cap L^{infty}(mathbb{R}^d), s>0$ ,我們有

$| fg |_{H^s} ll_{s,d} |f|_{L^{infty}}|g|_{H^s}+ |g|_{L^{infty}}|f|_{H^s}$

註：對光滑的f,g和整數的s,這個可以由Leibnitz公式直接導出。 $s>frac{d}{2}$ 且為整數時，這是Sobolev的結果。一般來說 $s>frac{d}{2}$ 時，這個可以從Bessel勢的估計中導出來。一般情況需要用對f,g的Littlewood-Paley分解。

進一步的結果可以參考Tao的Notes3 for Math254A和Bony的文章。

2. 分數階積分估計(Hardy-Littlewood-Sobolev不等式)

假設 $q = frac{pn}{n-alpha p},0<alpha<n, 1, 那麼<img src=$

其中 $I_{alpha}=(-Delta)^{-alpha/2}$ ，即 $alpha$ 次積分。

註：Sobolev證明了這個結果的一個特殊情形，用於最初的Sobolev嵌入的證明。這個結果最初來源我不清楚，知道的同學請補充一下。p=1的情況也有一個這種結果，涉及Riesz變換，是Fefferman-Stein做的。

3. Morrey不等式

設 $fin W^{k,p}(mathbb{R}^n), alpha=k-frac{n}{p}>0$ ，那麼

$|f|_{C^{alpha}}ll_{k,p,n} |f|_{W^{k,p}}$

這裡 $C^{alpha}$ 是H"{o}lder-Zygmund空間

註：一般教科書上似乎都會講α不是整數的情形，整數的情形可以由插值得到。其實對應每一種Sobolev嵌入的臨界情況，都有一種奇葩的函數空間實現Sobolev嵌入，不過一般的教材上都不會講。Holder-Zygmund空間是Besov空間的一種特殊情況，上面的結果有對應的Besov版本。

4. Riesz變換的有界性

設f是 $mathbb{R}^n$ 上的Schwartz函數，Riesz變換定義為 $widehat{R_j f}=ifrac{x_j}{|x|}hat{f}$ 。一般的函數的定義可以由Schwartz函數逼近得到。我們有下面三個估計

$|R_j f|_pll_p |f|_p$ ( $1)<img src=$

$|R_j f|_{BMO}ll |f|_{infty}$

註：上面的L^1的情況可以推廣，參見Fefferman-Stein。第一個結果1維單位圓上的情形最早由Riesz導出（忘記是哪個Riesz了囧）這時候Riesz變換退化為Hilbert變換，這個結果可以用復變數的方法很簡單地導出來，見Lax的泛函分析，上面有一個喪心病狂的簡單證明。一般情況可以從Calderon-Zygmund理論導出，這是Calderon-Zygmund核的奇異積分理論的一個特殊情況。

5.Hardy-Littlewood-Wiener-Stein的極大函數估計

設f是 $mathbb{R}^n$ 上的可測函數，M是Hardy-Littlewood極大運算元，那麼我們有

4中的三個估計對M仍然成立。

註：1維的情形是Hardy-Littlewood的，高維的是Wiener的，矢量版本是Stein早年的一篇文章里證明的。

終於碼完了，順便童鞋們要是想了解更多的估計，可以去踩踩我的個人主頁哈~~~ 昨天剛剛建的

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