burgers" equation驗證數值格式是否是該數值格式能應用於N-S方程的充分/必要條件？

01-06

今天在NIA開會，碰到那麼個爭論。最近知乎計算流體力學裡面都是問fluent技巧啥的也挺沒勁的，這個問題拿來給大家討論討論。
Shu（Brown Univ.）的人說驗證burgers" equation之後再去算N-S方程。然後Moin一聽表示用burger"s equation驗證數值方法是否可行並不是應用於N-S方程前的必要條件，也不能完全模擬N-S方程求解時遇到的各種情形。
Roe一聽就覺得不對，他說Burgers" equation可以完全模擬出N-S方程的所有條件。我聽他提到face，cell啥的，好像還挺複雜的但是結論就是Burgers" equation是足夠的。

Moin就一直不同意，然後這時候Z. J. Wang就出來了，他說1-D的要是不滿足的話，那3-D的就更不用說了。用burgers" equation驗證數值格式是應用於N-S前的必要條件。
然後Moin就說，burgers" equation與N-S有很大的差別，N-S方程中有壓強，壓強有時候可以起到「smooth」解的作用。所以如果有的數值格式就算在burgers" equation中有各種問題，但還是可以在N-S方程中運用的。
最後也沒得出一個結果，我是同意Moin的說法的。順便拋磚引玉看看大家怎麼看這個問題。
昨天和Z. J. Wang聊天的時候忘記向他提起 @朱輝了，今天他的PPT上面team member裡面看到Hui Zhu就想起來了。不過會開完了急著回來就沒有再去打招呼。不得不說你們組做的東西真是厲害。
我對數值格式沒有研究，所以可能沒catch到重點，也許沒講清楚問題，大概就是充分性和必要性的分析。

以上？

簡短答案：同意Shu手下和Roe所說。

想數值解NS（或inviscid情況的Euler），Burgers equation是驗證數值方法絕好的算例。

Burgers equation常見有兩種形式，並且都有解析解。

1. inviscid burgers equation

$frac{partial u}{partial t} + frac{1}{2} frac{partial u^2}{partial x} = 0$

2. viscous burgers equation

$frac{partial u}{partial t} + frac{1}{2} frac{partial u^2}{partial x} = lambda frac{partial^2 u}{partial x^2}$

lambda是viscous coefficient，等式右邊為viscous／diffusion term。

我認為Moin所說的壓強項應該是viscous／diffusion term。

第一個Burgers equation很有趣，即使給一個非常smooth的sine函數作為initial condition，最終答案也會變成一個moving shock wave（或稱之為discontinuity）。

在計算網格不變的情況下，遇到discontinuity，數值解精度都會變成O(1)。

當然，能夠解discontinuity的數值方法也不那麼容易理解，Shu和Roe都是做這個的。［1］［2］

普通的高階差分格式遇到discontinuity會有Gibbs現象，數值解完全不可用。

所以說，要是數值方法能夠解第一個Burgers equation，inviscid NS（也就是Euler）是沒問題的。

即使是Euler equation，有解析解的情況非常有限，所以只能用實驗來比較數值模擬的結果。

以下的視頻在quality level驗證數值解和實驗是非常接近的（需翻牆）

https://www.youtube.com/watch?v=gnhbhpwTx1c

BTW，該視頻用的數值方法就是Brown那幫人搞的WENO［2］。

第二個Burgers equation比第一個多一項，貌似會更難解。

但實際上，等式右邊的viscous term將問題都簡單化，viscous term的存在能smooth shock wave。即使我們給一個step function作為初始條件，最終的數值解也會變得smooth。

所以很普通的高階差分也能數值解這個方程。

NS包含了viscous／diffusion terms，所以只要普通的高階差分都就能解NS了！

當然，計算數學家們還有超高階，超高精度的譜方法。［3］

［1］Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics

［2］Guang-Shan Jiang, Chi-Wang Shu (1995) Efficient implementation of weighted ENO schemes.

［3］Canuto, C., Hussaini, M.Y., Quarteroni, A., Zang, Th.A. (2006) Spectral Methods Fundamentals in Single Domains

從數值計算方面理解，我覺得舒大牛說的是沒錯的

首先看Burgers方程形式

$partial_t u + partial_x (frac{1}{2} u^2) = mu partial_{xx} u$

在這個方程里，非線性對流項和擴散項都有了。假如數值格式能計算非線性對流項，捕捉間斷產生的激波或者稀疏波，不產生數值振蕩並且數值耗散特別小，那麼用來求解NS方程基本沒什麼問題。

大部分的數值方法書籍也是從：線性對流項=&>&> 非線性對流項=&>&> 擴散項=&>&> NS eqs 這套思路去寫的，Burgers方程通常也在非線性對流這章中作為經典例題出現。

謝 @印子斐大神邀。

題目描述里都提到了我，算利益相關么？

我個人認為沒有問題。Burger"s equation作為「一維版本」的「偽NS」是完全說得通的。

壓強項的"smooth"作用我不太理解是什麼意思，不過我猜測Moin指的是RANS方程里的壓力應變相關項？

具體的之後再展開。

壓強為什麼可以smooth解？我算程序的時候如果存在不穩定的情況基本上都是從壓強開始崩的，一直沒搞明白為什麼。

計算中的數值不穩定波一般稱作spurious waves, 這種波大概都是幾個網格的尺度是一個local的現象很難被對流或著耗散掉。根據我的經驗一般都是首先表現在壓強上然後慢慢的從速度密度上也能看出一些問題。

burgers eq. 不是很了解。剛才上網查了一下如果沒理解錯的話在不可壓的情況下 NS方程貌似可以簡化為burgers 方程。但是前提是不可壓這也說明了由壓縮性而產生的物理情況（比如聲波）是不能被Burgers方程完全描述的。所以我覺得適應於burgers方程的數值方法並不意味著也可以推廣到NS方程上。但是如果一個數值方法適用於NS方程那麼是否可以說這種方法也可以求解burgers方程呢？真沒能力給出任何一個肯定或否定的答案。

Moin不是專門研究數值格式的，但他算過的cpu小時數比其他幾位加起來還要多幾個數量級。如果你相信實踐出真知，應該賭Moin勝率比較高。

NS方程的解要被壓力項投影到無散的向量空間中。所以不難想像，經過投影，有些數值誤差會被消滅掉。

這一點在projection method中很明顯。粗略的來講，projection method的第一步是解一個burgers eqn，由此得到的速度不是無散的。第二部要對這個速度場做leray projection，由此得到一個無散的速度。如果第一步的數值誤差和leray projection正交，這些誤差就被完全消去了。實際上當然沒有這麼好的事情，不過可以說明burger"s equation解不好和NS解不好是兩回事。

另外，kim moin[1985]用的就是projection method，所以Moin的這個洞見是其來有自的。

PS:

還有一種雞同鴨講的可能性，Shu和Roe腦子裡想的是compressible NS，Moin想的是incompressible NS。

談充分性和必要性，需要在數學上分別針對一系列性能標準提出和證明一系列定理。否則不搞嚴格證明就可能出反例，哪怕非常罕見。

這些定理會異常難搞，因為「能用」的標準受工程因素影響。更要命的在於數學上N-S方程本身的解的存在性唯一性光滑性穩定性含有歷史遺留問題，拿什麼作為參照物談逼近？

對CFD來說，作為參照物的所謂「N-S方程的真正的解」，至今是個風洞吹出來的東西。

全是大牛，求會議主頁。

ns方程物理粘性不足，二維激波問題不穩定，也能用burgers方程驗證？有vortex sheet就難了，各種數值熵問題就出來了。