虛功原理的本質是什麼？

01-06

這個問題讓我想起了一年前我結構力學剛學虛功原理的時候，當時我在一個類似於「有哪些違背直覺的物理現象」的問題下回答的就是虛功原理。我個人覺得虛功原理神奇的地方不在於多麼難以理解（書上的推導想必大家都能看得懂），而在與最後的結論不符合直覺。

下面我跑個題，準備從能量守恆的角度嘗試著說明在結構力學角度下如何解釋虛功原理的方程。

因為這台電腦上沒有CAD，我就用畫圖板來畫圖了。

首先我們召喚一根長L的簡支梁，並在任意位置給它一個單位力F1

試問一下，如果讓你求在F1位置處的撓度，在你不知道虛功原理的情況下會怎麼求呢？

很顯然，力、位移的組合會讓我們想起能量，我們很容易就會想到F1所做的功與簡支梁的應變能應該是相等的，據此可以得出公式

$1/2cdot F1cdot delta _{11} =1/2cdot int_{0}^{L} frac{M1^{2} }{EI} ds$

以上不考慮剪切變形的能量，之後的推導同樣也不包含剪切變形的影響。

所有符號的意思與結構力學當中規定的相同。

如果不知道1/2係數怎麼來的先去看看材料力學。

上面應該很簡單吧，我就不解釋了。

那如果要求這根簡支樑上任意一點的撓度呢，又該怎麼求？

有了上一題的經驗我們很容易想到在除F1外的任意一點加上單位力F2，不外乎功能原理嘛，先加上去看看再說。

注意這裡我們是先加上F1，再加上F2，也就是說加上F2之前整根簡支梁已經有了F1的變形。

那麼按照結構力學裡面小變形的原則，整根梁的功能平衡方程式是這樣的

$1/2cdot F1cdot delta _{11}+F1cdot delta _{12}+1/2cdot F2cdot delta_{22} =1/2cdot int_{0}^{L} frac{(M1+M2)^{2} }{EI} ds$

方程的右邊可以理解為F1與F2同時加上樑後最後梁的應變能，因為按照小變形原則，不管F1與F2相加的次序如何，最後的變形總是一樣的。

這個時候我們可以看到方程中出現了 $delta_{12}$ ，似乎不大對，我們應該是奔著 $delta_{21}$ 去的，這時候我們改變加力次序，即先加上F2再加上F1，同樣得出方程式

$1/2cdot F1cdot delta _{11}+F2cdot delta _{21}+1/2cdot F2cdot delta_{22} =1/2cdot int_{0}^{L} frac{(M1+M2)^{2} }{EI} ds$

因為F1與F2都是單位力，所以這個時候我們就得出了

$delta_{12}=delta_{21}$

看到這裡是不是突然有種理解的感覺？

這樣我們回過頭去算 $delta_{12}$ 。

因為 $1/2cdot F2cdot delta _{22} =1/2cdot int_{0}^{L} frac{M2^{2} }{EI} ds$

所以 $F1cdot delta _{12} =1/2cdot int_{0}^{L} frac{(M1+ M2)^2-M1^2-M2^2 }{EI} ds=int_{0}^{L} frac{M1cdot M2 }{EI} ds$

到這裡書本上的公式基本就算推導完了，不過並沒有用到虛功原理，就是簡單的功能平衡方程，這樣是不是能稍微簡單地理解一點？

那麼最後讓我們總結一下，虛功原理的方程到底是什麼意思呢？

我的答案是在結構力學下，虛功原理的方程表示的意思是結構最後的應變能與結構上施加的力的先後次序無關，也就是說該方程是小變形原則下自然而然推導出來的產物。

我最後申明一下，我強調了很多遍結構力學，同時我整篇都是在從另一個角度來解釋虛功原理的方程，並沒有在講虛功原理的本質（因為我也不是很懂= =）。我非常明白虛功原理的適用範圍之廣，我只是覺得作為一個學土木的，不需要太拘泥於虛功原理本身。還有就是以上的推導是我大二時候寫的，從最後的結果來看應該是對的，不過畢竟只是我個人的想法，如有錯誤還請指出。最後對沒能解決題主的問題表示抱歉，希望我的回答能夠讓你在用這個方程的時候有個直觀的認識，至於它本質到底是什麼的問題大概只能讓物理或者力學系的同學來解答了。

本質就是兩個字"平衡"，哪那麼多廢話

可能功原理在線彈性體下的直接推論

虛功原理具體分為虛位移原理和虛應力原理，但是一般說的都是虛位移原理，從變分的角度看，就是平衡方程和位移邊界條件的等價形式

謝邀，能量守恆。

謝邀 @張成林嘿嘿。

我理解虛功原理的本質是能量守恆，對於構件，具體說是輸入的能量和變形能相等。

比如，在簡支梁的中間施加豎向力1kN，並因此梁產生了0.001m的撓度，那麼外力做功1Nm。也就是輸入能量1Nm。這些能量不會消失而是作為應變能的形式傳到了梁裡面，所以梁會變形。這跟虛功原理方程的形式是對應的。等式左面是一個積分，表達了變形能; 右側是一個外力做功，表達了輸入能量。

虛功原理分為虛位移原理和虛應力原理。虛位移原理就是平衡方程和力邊界條件的等效積分的弱形式，虛應力原理就是幾何方程和位移邊界條件的等效積分的弱形式。

說白了，就是力平衡條件和位移協調條件。

虛功原理是微分形式的變分原理

謝邀！

先來談談假設吧，首先這個理論是建立在功能守恆。如果給予一個結構外力荷載P，那麼P會導致此結構內部產生荷載u，作用在結構內部。

那麼外部荷載和內部荷載可以有一系列平衡方程所聯繫。

虛功原理：

通常我們給予一個外部單位荷載P＝1來分析問題則

如果是斜率和角度關係並非力與位移，則

虛功本質：功能守恆

通常而言，運用虛功法一般會涉及虛力法，因為虛力可以用來計算真實位移，從而得到功能平衡所需要的平衡方程。

第一，什麼是虛功？

力系在自身所引起的位移上所做的功我們可以稱為「實功」，力系在虛位移上所做的功成為「虛功」。而什麼是虛位移呢？就是指與改力系無關的其它一切因素所引起的位移，但是虛位移必須是微小的，實際可能發生的。即應該滿足約束條件和變形連續條件。

第二，內力的變形虛功是什麼？

由於結構力學上研究的都是變形體，而且是彈性變形體，一般的彈性變形體在發生虛位移的時候還產生虛變形，因此變形體的內力將在虛變形上做功，這就是內力的變形虛功。

對於一段受均不荷載作用下的梁來說，取其微段為研究對象，則這段梁的虛位移包括剛性位移（這段整體的轉動和移動）和梁自身作為變形體的變形位移兩部分。

而微斷自身的變形是由微段兩側的相對位移來表達的，即相對轉動和相對錯動。我們知道位移與在其方向上力的乘積為功。即轉角乘以M，剪力乘以Q，而梁的總內力變形虛功為這兩部分之和，即相對轉動和相對錯動做功之和再沿著梁長積分。（手機回答的，不能打出希臘字母……）

第三，虛功原理？

虛功原理？虛功原理是力學中的一個普遍原理，它包括質點虛功原理，剛體虛功原理，以及變形體虛功原理。

中間省略若干數學符號和若干圖……手機答真的有點無能為力

最後答案：變形體在外力作用下處於平衡狀態時，若使它產生任意的，微小的，可能的虛位移，則變形體上外力做的虛功等於內力所做的虛功。

最後，虛功原理有啥用？

虛功原理是力學的基本原理，它同時也是單位力法計算結構位移的基礎。所以理解它對於理解單位力法的計算原理很重要。

不知道題主學沒學過彈性力學和板殼理論，這種方法在這兩個學科中基本算是貫穿的，對於很難直接精確求解的問題設出滿足邊界條件的函數，然後驗證函數可用，用函數解決問題

題主的問題也是同理的，不知道做功或者位移的情況下設出未知量，利用能量觀點，這種思想在力學中很多應用，很有意思，題主慢慢悟吧*^o^*

世上沒有無緣無故的力，也沒有無緣無故的能

感覺樓上都是講怎麼用虛功原理做題。虛功原理是從熱力學第一定律中，動能和周圍介質吸放熱的變分為0的條件下推出應變能和體力面力做功變分相等。在這個相等的式子變分號放在位移量上就是虛位移，表示的就是虛功方程，變分號放在其他位置又表現的是最小勢能定理。理解的比較局限，還是等邱大神來說說看法哈！@邱小白

受力平衡狀態下，給一個虛位移，總功為零。對於結構穩定性分析，會給一個小擾動，這個小擾動在現實生活中亦存在，聲音、風、碰一下等等，這些作用都是微小的。從這個角度來看，滿足虛功之和為零即穩定的力平衡狀態。先這麼答吧，有空翻下材料力學再看看有沒有要修改補充的。

高級一點來說也就是最小勢能原理

能量守恆

首先這個原理本質是變分原理。主線分為兩條。

1，考察與應變能對應方面

有虛功原理(即虛位移原理，此處取虛位移積分為應變能，故稱與應變能對應方面)

進而有最小勢能原理

進而有最小應變能原理(最小勢能原理的特殊形式，即無體力做功時，選擇外力功為零的虛位移)

進而有單位位移定理(即取虛位移為1)

類似的

2，考察余應變能方面

有餘虛功原理(即虛力原理，此處取虛力對應積分為余應變能)

進而有最小余勢能原理

最小余應變能定理是最小余勢能原理的特殊形式

進而有單位載荷定理。

答畢，以上只是一個大概思路的整理(手機打雜黨)，希望能使大家對概念有所了解。鄙人才疏學淺，以上均引自龔堯南主編的結構力學(應該是參照前蘇聯教材編的，此書電子版網上也有)，如有錯誤，請不吝賜教。

應該是屬於分析力學http://wapbaike.baidu.com/view/35044.htm?fr=aladdinref=wisessid=0from=1000953buid=0pu=usm@0,sz@1320_2002,ta@iphone_1_8.3_2_5.8bd_page_type=1baiduid=A18B243ADD339615D0D45B6301E17A1Dtj=Xv_1_0_10_l1

時間獨立（就是於時間無關）下的系統能量是廣義坐標的函數，尋找穩定點就是尋找能量極大或者極小值，就是dE/dq（偏微分也可以），因為不含時間又不可能實際存在，所以叫變分

定態系統的能量（準確的說叫hamiton量）取極值是一條基本原理，類似於S作用量取極值是一個道理，只不過後者是時間積分取等時變分

讓我一下想到了無窮小的定義：以數0為極限的變數，無限接近於0，卻不等於0。

如同用微分ds或dθ來定義一段位移一樣，用來計算，卻實際上並沒有產生變化。