怎樣如同通過實數定義有理數一樣從「aleph-(n+1)」集合定義「aleph-n」集合？

看了一點實分析內容，知道有通過「公理化實數」定義有理數乃至自然數的方式，但是似乎仍然依賴「底層」的「皮亞諾算術公理」？

那麼，既然「實數」是「真實存在」的，是否可以作為一種基本假設然後通過什麼「基數下降法」推導出有理數集的存在？這種推導是否可以在不知道或不承認有理數乃至自然數的前提下進行？如果可能，還需要補充什麼公理？

這種定義方式如果可能，能否推廣到所有基數無窮集合當中去？推廣過程中是否可以使用連續統假設認定只有「 」個「 」？

順便，類比上面「分析」內容，從「絕大多數」對象定義「零測集」常見對象。在「幾何」上是否可以通過「分形」等「奇葩」結構定義「光滑」的至少「不奇葩」的流形？仍然是在不使用「底層」公理的前提下是否可能？

再順便類比，「非線性動力學」是從確定性迭代推導出混沌現象的，是否可以反其道而行之，從「混沌」形成「秩序」？如果是「遠離平衡態耗散結構自組織湧現」方面的結論，能否推廣到從所有「不知所云不可理喻」（無法以有限個可數字元描述）的方程「製造」一些「可描述」至少是「可理喻」的方程？

在「代數」方面，印象里似乎所有「定義」本身都是「離散」的？（不考慮這些定義所用來「處理」的「內容」）那麼是否也存在從「連續」到「離散」的推導可能性？

謝邀。

不是很明白你想說什麼。比如你說「從實數中構建有理數」，那麼首先你得明確：在你使用的語境當中，實數是什麼？你如何給出一種不依賴於有理數的實數定義？這當然是可以做到的。比如你可以定義實數是完備的阿基米德有序域，然後你強行規定一個公理叫做「存在一個完備的阿基米德有序域」，而它存在了以後用簡單的代數推導可以證明它唯一（up to isomorphism）。如果你採用這種描述方式，那從實數構造有理數是很簡單的事情，因為任何特徵0的域都包含有理數域作為基域，你只要有0有1有域運算有0特徵的條件，自然就有有理數域。當然這種做法本身有點耍流氓，因為「存在一個0特徵域」本身就比「存在有理數」更強，你是從一個高級的結構去下推一個更基本的結構。當然你可以使用其他的實數描述，但是你最起碼要有一種對實數的（數學上嚴格的）描述，而不是採用所謂的「直觀理解」，不然就不是做數學而是玩文字遊戲了。

然後「推廣過程中是否可以使用連續統假設認定只有「 」個「 」？」這句話也有點莫名其妙。 的下標可以是任何序數，不一定非得是有限的自然數。甚至存在一個基數 ，使得 集合論裡面的基數之大超乎你的想像，你可以去搜搜「大基數」「不可達基數」「可測基數」等等。理解集合論還是需要一些想像力的，需要打破一些思維定勢的，畢竟是關於「無窮」的學問。。

然後，「在「代數」方面，印象里似乎所有「定義」本身都是「離散」的？」 代數裡面也有拓撲群(比如profinite groups)，也有李群，也有p-adic analysis等等看起來很連續的數學對象。

最後提幾點建議：

1。感覺題主是想做一些反其道而行之的事情。不是說這樣不可以，但是你對「正常的集合論」了解還是太少了，而且從你對連續統假設等等的表述來看你還有不少誤解。

2。題主很喜歡用一些模糊的詞語來表達意思。這種說話方式的弊端在於，別人沒辦法理解你到底想說什麼，所以也無所謂「對錯」，最後就會變成文字遊戲而不是認真的數學討論。建議題主打字之前仔細想清楚自己到底想說什麼，說得具體一點，不然大家是不願意浪費時間來看一些莫名其妙的文字的。

=????=????(●???● |||)嚇尿！

自己的第一個回答是補充說明。

因為粗糙的企圖論證「意識」如同金融市場價格變動曲線圖那樣「處處連續處處不可導」，所以是個「分形」，這些結構本身處於 規模，而人類之間的交流方式無論是語言還是文字，無論字元串「有限」與否都是「可數無窮」的 規模。

所以企圖找到從「思想」到「表達」的體現為「基數下降」的「過濾」機制，暫時用「阿列夫篩」指代。而對應到幾何上暫名「豪斯多夫篩」，對應到非線性動力學暫名「費根鮑姆篩」，對應到「代數」上還不知道是否可能類比。

但是，目前對於這些「篩」的數學基礎一無所知，甚至不知道是否存在可能性，當然更不知道如果存在的話背後是否利用了相同的「理論」。

希望至少能夠獲得「應該沖著哪個方向努力」的建議。