比開方更高級的運算能否擴充複數域？

我們知道一級運算產生負數，二級運算產生有理數，三級運算就厲害了，一下子產生了無理數，虛數。為什麼四級運算不可以再產生更多的數呢，比方說(a+bi)↓↓(c+di）是否一定在複數的範圍內有解？（兩個下箭頭，表示反四級運算）那麼箭頭的個數取任何大於三的值，能否證明會或不會產生新的數？

如果沒有的話，難道是因為代數基本定理？但是那個條件貌似是三級運算以內吧。就是任何次方的方程都有這個次的解，有些解為複數。那麼又是因為什麼，可否盡量用簡單的方法說明。

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嗷……其實大家也希望的?(??? ?)?但是這麼做真的不行qwqq

代數上的性質會告訴我們，無論你給實數域 加一個多少次的方程的一個根，我們得到的那個東西如果比 大，就只能是複數域

大家也在想，我們能不能不管這個什麼代數方程了，不管用什麼手段，我把數擴了就好了呢？

遺憾的是，答案是——不行！

實數R的這個數域的擴充，如果你要求這個啥，加減乘除，交換律結合律，想幹啥幹啥，其實就只能是複數域 了。代數上會保證這一點。

喪心病狂的數學家們並沒有滿足，既然你要求這麼多達不到，我們可以減弱一些要求嗎？

具體地說，我們想在 上定義一個「乘法」，滿足這幾條性質就行了

1.交換律結合律太厲害了，我們就不要求了。但是它作為乘法得有乘法的尊嚴吧(???? ?????)換句話說，它總得有分配律吧。即

和

2.加減乘除，除法應該也要有~即

對每個不是 的 ，存在一個數 ，使得

(3).既然每個「數」都是一個向量，它就有一個長度。我們的乘法應該是保持長度的，即

就是這三條性質了。乍一看它們又多又雜，根本不講道理，但其實每一條定義都是有原因的——我們所要尋找的空間，一定是在數學裡有用的東西，也就是所謂「可愛」的東西。

尋找這樣的空間絕非易事。複數在16世紀17世紀的時候就被提出了，而Hamilton發現四元數則是在兩百多年後的19世紀，八元數與四元數被發現的年代倒差不多——然而此時Riemann和Werestrass已經把複數域上的分析研究得徹徹底底了，四元數才剛剛被發現。

相比複數域來說，四元數體已然開始有些不靠譜——它的乘法不交換，即 和 不一定是一個東西。Anyway，即使是這樣，它在數學的各個分支，包括幾何、拓撲、代數、分析，都已然展現出驚人的好處。(下面幾句話可以跳過~)舉個栗子，通過它我們可以得到 到 的一個二重映射，你以後如果學了李群就會知道這是一個李群的同態，你繼續學李群就會發現……怎麼講來講去就這麼一個例子啊摔???其實就是因為這個是最簡單的不平凡的李群同態了。

如果說四元數不交換已經使你難受的話，八元數就更加奇葩了——它甚至不結合！

不結合這件事情對於數學家來說打擊尤為強烈，對於很多結構來說，結合律都是更為本質的東西，而交換律往往可有可無——有的話更好，沒有的話……也能做~八元數體的乘法甚至不結合，這就使得八元數沒有獲得如同四元數那麼重要的地位。與此同時，數學家們也開始猜測，八維以上是不是就沒有這種空間了。

感謝 @王箏 指出的，感興趣的讀者可以點開Cayley-Dickson construction看一看這些性質是怎麼在一步一步的構造中失去的，（當然，既然每一個柿子都會使得文章的讀者減半，細節我就不貼出來啦，維基上面寫得已經十分清楚啦www）

這件事情的證明來自於19世紀末Hurwitz的證明，利用剛才給出的Cayley-Dickson構造，這個問題似乎不太困難地被解決了。

撒花！~~

喪心病狂plus的數學家們並沒有停下喪心病狂的步伐，一個自然的想法又冒了出來——在剛才的要求里，第三條與前兩條並不太相同，前兩條性質十分的代數，而第三條與長度有關，似乎有一些幾何的意味——我們是否可以把第三個要求去掉呢？

• 一個實數上的線性空間 帶上一個乘法，使得乘法與加法滿足分配率，而且在這個空間也可以做除法，它是否就是之前的四種之一？

尋找四元數與八元數這樣的例子已經不容易，證明這樣的空間只能是複數域、四元數和八元數則更加困難，可以說這是數學家們的百年接力。在今天的眼光看來，1900年以前的數學對這個結論幾乎是沒有任何辦法——任何古典的工具在這個問題上都束手無策。

給這件事情帶來轉機的是Poincare,他在世紀之交引入的同調似乎可以開始撼動這個問題了——上同調的理論可以證明，這樣的空間，維數只能是 。因為這個發明，Poincare也成為了代數拓撲的祖師爺。

然而Poincare的上同調做到 的地步就再也進行不下去了，我們既找不到16維的例子，也無法證明16維以上的都不行了?(??? ?)?

接下來的一個祖師爺一樣的人物是Grothendieck，老爺子前幾年才去世，在數學屆可以說是風清揚一樣的人了

Grothendieck喜歡各種抽象的東西，他一生中發明了無數奇怪而又威力巨大的東西，其中之一就是一個奇怪的上同調的理論，他把它稱作K-理論。這個理論出人意料地強大，在50年代其問世不久，就被拓撲學的一個傳奇Milnor和Kervaire用來證明了這樣的東西維數只能是1,2,4,8.

喵，以上就是這個問題的歷史來著~幾百年來大家一直在思考它觀察它，到了今天，也算是一個十分成熟的東西啦~

謝謝你看完我的回答w

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謝邀@cefoperazone翥師。實數域的「擴張」絕對不是隨心所欲的。因為「一不小心」就會把「數」的好的性質破壞掉嘛！畢竟實數域太「大」了，「好人」都被收集過來了，可不像有理數域。

首先，如果你要求所得的「域」是好的，更確切地說，是 R 上交換且結合的代數，那麼它只有複數域（當然還有 R 本身）喲。

大家有興趣可以欣賞下這個拓撲的證明噠

接下來，既然樓主對四元數「域」感興趣，我們就來看看這些不好的「數域」吧。精確地說，我們想考察實數域上的可除結合代數 A，它不一定交換咯。

為解決這個問題，我們注意到 A 的中心是 R 或者 C 根據前面的結論。然後我們就用Brauer群的理論啦！

注意 C 代數閉且有 Br(C) = 0，故我們只需考慮 A 的中心是 R 的情形。注意到

Br(R) = Br(C / R) = R* / Norm(C*) = Z/2

又知道 R 和四元數 H 是兩個「不同」 R 上的中心單代數，故它們就是全部！再加上 C 上的唯一的中心單代數 C，我們知道

R 上的可除結合代數只有R，C，H．

還是很神奇的呢

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看到題主應該是高中生，所以在這裡從矩陣的角度做點很基礎很便於動手算算的另一個方向上的推廣：

眾所周知複數域可以定義為實矩陣 ，其中加法乘法就是正常的矩陣運算，而 可以寫為 ， 我們有對應 和 ，這樣複數域就記為 .

同樣的思路，我們可以用復矩陣來定義哈密頓四元數： ，其中 ， ， ， .

記 ，有 ，這是 上的維數為 的代數.

更一般的，我們擴展 定義和基域得到如下四元代數：

定義：域 上的代數 被稱為四元代數，若 作為 -線性空間有基 且滿足 ，其中 . 我們記此四元代數為 .

我們同樣可以將其表示為矩陣形式如下：

命題：設 ， 為多項式 的 上的分裂域，則有同構：

.

推論：若 是一個二次擴張，令 非平凡，則 .

並且由於是在域上，有很好的性質（環上就比較麻煩了

定理：對於 以下條件等價：

1. 不是可除代數
2. 
3. 
4. 有非零零除子
5. 有非平凡左理想或右理想

推論：若 不是可除代數，即 ，可以寫出一個同構具體形式：

例子：

1. 若 且 ，則 ；若 或 ，則
2. 
3. 
4. 若 為有限域，則

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一元n次方程，如果係數是實數或者複數，那麼必然有n個複數根（重根算重數），不存在無解的情況，這就是所謂的代數基本定理。

至於解能否表為根式，則需要學習伽羅瓦理論。通常情況下，四次及以下可以，五次及以上不一定。可去圖書館翻閱近世代數。

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