數學分析中的問題與反例如何？

01-06

剛剛學完數學分析新講，想加深印象，有人推薦汪林的《數學分析中的問題與反例》，然後再做謝惠民的習題集或者周民強的習題集。汪林的書是否符合這種情況？

以前，一位教授跟我說，自己在複試研究生的時候，有一個很好的方式就能檢驗這個學生對定理的掌握程度：就是指定某個定理拿掉一個條件後，讓他對舉出一個反例說明沒有這個條件定理就成立不了。

那時候我還是一年級、小，心想：你這樣做我記住一些例子不就行了？

現在回想起來，這種「讓學生針對一個定理構造反例」的做法著實是最能考驗人的數學功底的。

原因有兩個：

毫無疑問，「反例」對於理解一個定理各個條件的價值——尤其是這個條件的必要性——而言非常重要；
進一步地、針對定理的每一個條件缺失的情況給出反例，可以讓學生理解什麼樣的數學才是好的數學。

舉個例子：當滿足A、B、C、D四個條件時，會出現M這個結果——這當然能夠稱為一條定理；但是在有些時候，一條定理講的只不過是能夠產生M這個結果的非常特殊的情況，比如去掉條件A之後在有些情況下M也能被導出——這就說明A這個條件在定理中並不是絕對必要的。

而好的數學工作，從某種意義上講，研究的則是「條件」——數學家們想要了解：在什麼樣的情況下能夠得到如此的結論——而定理最終給出的必要條件，則越少越好。因為只有更少的條件，才能表明這個定理擁有更大的普適性。所以：在最松的條件下能夠得到非常強條件的定理，則是數學上的好定理。

這本書使用的方法論 @dhchen 已經講過了：

要邊學習邊查閱，最好是你要想一想為什麼「你的想像是錯誤的」，有些人甚至可以「證明自己的錯誤想像」，很好，把你的「證明」拿出來，對著反例去想為什麼你的「證明」／「想像」是錯的，關鍵點在哪裡，是哪裡出問題了。

我想要說的是目的論，一條定理的反例對於我們理解一個概念非常有價值：它們明白地告訴了我們如果缺乏一個條件，整條定理的結論就會崩潰。換言之是在向初學者強調：這個條件其實是必不可少的。另一方便，在構造反例的過程中，學習者可以更加深刻地領悟到定理中的每一個條件（特別是反例中缺少的那個條件）在定理的證明過程中，究竟在哪個環節起到了什麼作用。

不請自來。已經有3個答案了，其中還有我很佩服的 @dhchen 大神，但是我還是想做一點補充。

汪林分析方面寫了1.《實分析中的反例》（1989），2.《數學分析中的問題與反例》（1990），3.《泛函分析中的反例》（1994），4.《數學分析問題研究與評註》（1994）這四本書（另有2000年出的《拓撲空間中的反例》一書）。高教社重印了1、2、3三本書，並列入「現代數學基礎」叢書，我對2能入這個叢書還是懷疑的，看作者對第一版寫的前言

目標明確，在於幫助「理解數學分析的基本概念，掌握數學分析的基本理論和技巧」，實在算不上「現代數學」。

我認真對比過他寫的這幾本書，發現2書最大的問題在於缺乏系統性，問題部分不如4書（這本書應該看做作者為彌補2書的不足做出的一些很好的嘗試，是一本很好的數學分析參考書），反例部分跟1書的前幾章相當（逐一對比過函數、微分、積分、無窮級數等章節，每一章1書的反例都要多一些）。零散的羅列習題與反例，並不能算得是一本多好的書。

所以我給出的建議是，一定要用這本書的話，對問題和反例兩部分分別對待，問題部分可以結合4書看（或直接不看這部分，而用謝惠民），反例部分結合1的對應章節看（這個還是很有必要的，要好好琢磨）。

至於題主提到的謝惠民和周民強，我也可以說點參考意見。謝惠民每一節的講解都是很精彩的，是教材內容的很好補充，每節後面的練習題，大多都是很好的習題，有一定難度，但大多都是做得出來的；至於參考題，有的難度確實很大，做不出來也正常，如果要做，一定要有所取捨。周民強全是羅列習題，不推薦，但是如果有難題不會做，可以試著從這本書上找解答。

其實還有一些反例書可以參考，我舉一些如下:Gelbuam《分析中的反例》

Klymchuk《微積分中的反例》

朱勇等編《高等數學中的反例》

很好，我推薦，不過這本書由於沒有體系化，所以看起來比較累人，正確的使用姿勢是邊學習邊查閱即可，也就是你學完／複習完某一章後馬上看對應的反例。看完再做習題是沒必要的，而且裡面有些反例非常難懂。我推薦的思路是這樣的，

a 比如複習「微分「這一章，首先看書，看自己能不能把所有定理都能證明出來，盡量靠「理解」而不是記憶，這一點很重要。

b 然後看「實分析中反例」用來衝擊自己的三觀和直覺，讓它們變得「準確」，使得它們不會認為「一個函數在一個點可導，而且導數是正的，那麼附近就單調遞增」，因為這種錯誤的想像會讓你做證明的錯誤的使用這個「結論」。最好是你要想一想為什麼「你的想像是錯誤的」，有些人甚至可以「證明自己的錯誤想像」，很好，把你的「證明」拿出來，對著反例去想為什麼你的「證明」／「想像」是錯的，關鍵點在哪裡，是哪裡出問題了。

c. 然後基於正確的邏輯和知識開始做習題，鞏固自己的直覺和知識。

一些問題的解決，推開了另一些問題的大門－－這是在科學發展中經常發生的事情。在19世紀下半葉，數學家們利用這些邏輯上嚴密的工具構造出大量奇特的反例，對它們的認識讓分析學具有了空前的普遍性和抽象性。

《微積分的歷程(從牛頓到勒貝格)》

……………………………得到了滿意答案，自己也來占和個樓……………………

雖然周圍的同學都委婉地說我笨，但我還是憑著對數學的興趣去學。是呀，我這樣的是只能讓自己變得更笨，而不能把數學學火。我期望的是活學活用，我相信長久的思考會讓我達到這一目標，我知道學數學不當只學習課本上的知識和沉浸在題海之中，應該看到此外更美的世界，需要向過去的大師們學習，與數學好友老師討論，從實踐中總結經驗。

我喜歡糖衣的這句:如果愛，請深愛。

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權當以偏題的回答為渣渣的自己打氣