超複數（十六元數）乘法失去了很多性質與高次方程不存在解析解是否有相關性？

01-06

首先本人完全不懂數學
之前看到幾個數學短片有介紹過超複數，裡面提到4元數開始就失去了一些運算律，高於十六元幾乎完全消失，聯想到高於五次的方程沒有解析解，2?＝32，這其中是否有相關性？如果有的話，相關性是什麼部分的內容？群論？

註：本人完全不懂數學，過於學術的回答我也看不懂，方便的話可以告知這屬於什麼部分的內容，有空我可以自己去看
補充：為什麼矩陣運算直接就失去了許多運算律，而不是隨著階數的增加逐漸失去呢？（超複數看起來跟矩陣很類似）

謝邀。前者應該是在說Hurwitz定理和Caley-Dickson構造，後者是Abel-Ruffini定理。這兩個東西的證明我都看過並且手算過（尤其是前者，因為有門課的老師把這個出成了期末考題2333），很負責任的說，完全沒有關係，證明沒有任何可比性，只是湊巧都用到5這個數字了，數學裡面跟5有關係的定理多了去了。如果想要學這兩個的證明的話，前者只需要線性代數就夠了；後者的話需要會Galois理論，具體可以參考GTM167。

首先如果需要交換性，只有R和C，這是平凡的。這是線代問題。

如果需要結合性，那麼只有R,C,H（Frobenius theorem），這一點是從R的Brauer群得到的，Br(R)=Z/2Z=R/Norm(C)=Gal（C/R），這一點是局部類域論的Artin映射。這是數論問題。

如果需要「"norm product rule」，那麼它的乘法 $R^n imes R^n o R^n$ 應該滿足||X·Y||=||X||·||Y||

只有C,R,H,O滿足這個條件是因為只有1,2,4滿足2^n能除盡3^n -1。

這個微妙的公式來自於chern class積分的整數性，Steenrod運算元和K群上Adams運算元的一些微妙的公式得到的（Some Applications of Topological K-TheoryEdited by N. Mahammed， R. Piccinini U. Suter）。

這個規則最重要的是R^n上的球面滿足這個關係，實際上 $S^{n-1} imes S^{n-1} o S^{n-1}$ 能拼出來一個 Hopf map $S^{2n-1} o S^n$ ，而norm product rule 這個關係等價於Hopf invariant =1 。這是拓撲K理論的問題。

題主你看，一個這種破問題的解決方法都這麼零散，所以你沒必要關注這種問題，一個看似容易理解的東西後面往往是複雜的機理，一個不懂數學的人也能容易理解的問題經常是拼湊出來的，以至於根本不重要的問題，這幾個問題並不是同一類問題，而是一些相當意義上不相關的東西，只是看起來差不多罷了，數學相當程度上就是這樣的。

沒有什麼可見的有意義的聯繫。

如果沒有乘法交換律，那3xxx和x3xx,xx3x,xxx3可能就不是一個東西。

這種情況下你討論多項式都成問題。

這些都屬於代數學的內容，但是不同的代數學書籍相差很大。