樣本空間 Ω 中的哪些子集不能看做事件？

01-06

今天在看書時遇到一個問題，一直想不明白：隨機實驗中所有可能結果組成的集合稱為樣本空間，但並非樣本空間Ω的任何子集可以看做事件，然後又定義了事件域，只有在事件域中的集合才能稱為事件！請問：為什麼要這麼定義？在一次試驗中發生的結果一定是樣本空間中所有結果的一種，如果一個事件發生了，那它就應該是樣本空間的一個子集啊！能不能舉出一個例子來說明：存在樣本空間中的子集是不能看做事件的？

謝邀。

這是因為需要定義概率這個概念。概率是一個函數：把 $Omega$ 的子集（以下簡稱「子集」）映射到[0,1]之間的函數。

但是問題來了，某兩個子集的並集，能否定義概率呢？我們必須要求「能」。更多的，可數多無窮個的子集的並集，也需要能定義概率，否則很多實際數學問題沒法做啊。

所以，這就引出了sigma-algebra 的概念（具體定義請自查）。然後有些奇形怪狀的子集，沒辦法用可數多個無窮的「子集」構建，所以就被我們無視了，這些子集的概率就沒辦法定義，不屬於sigma-algebra 的一元，也就不是「事件」。一般來說，這些奇怪的子集都是某些概率為0的子集的子集，所以無視他們完全不會造成什麼麻煩。

補充一下@王相及的回答。

一般我們構建概率空間的時候，會先在一些特殊的集合上定義概率（比如對於實軸R，找一個分布函數，定義區間的概率），然後再拓展這個概率的定義。這樣我們可以挑出那些性質良好的集合，可以證明這些集合是個sigma-代數。這個sigma-代數裡面的集合就叫做可測集，都可以看做事件。

然而這個sigma-代數可能不能包含樣本空間的所有子集，比如下面這個例子：

從random variable上進一步拓展一下慧君與王君的答案。

random variable的定義就是一個measurable function, from sample space to R(usually). 這樣random variable的pre-image就必定會在sample space的sigma-algebra裡面，這就保證了random variable可以probability measure，也就是說可以對random variable定義概率了。

印象里，實變函數教材里有不可測集的構造，對應概率背景的書好像很少提，所以題主可去實變函數書里找。

記得教我測度的老師說，不要為此較真。

你可以參考一下陳家鼎版的《概率統計講義》（第三版）第24頁裡面舉了一個例子，我沒看懂，希望你能夠看懂……