dx/sqrt(x2±1) 的不定積分是怎麼求的？

01-06

$intfrac{mathrm{d}x}{sqrt{x^2 pm 1}} = ln{left| x + sqrt{x^2 pm 1} ight|} + C$ 是怎麼求的？用三角換元能做嗎？

不是三角換元，但是類似，使用一種叫做雙曲正弦/餘弦的函數，一般記作sinh，cosh，公式是：

$sinh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$cosh(x)=frac{e^x+e^{-x}}{2}$

它有很多類似三角函數的性質，比如說：

$cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$

注意是減而不是加。

另外

$sinh$

$cosh$

即互為導數。

這裡就是使用雙曲函數進行換元，對於 $x^2+1$ ，令 $x=sinh(t)$ ；對於 $x^2-1$ ，令 $x=cosh(t)$

所以

$int{frac{dx}{sqrt{x^2+1}}}=int{frac{dsinh(t)}{cosh(t)}}=int{frac{cosh(t)}{cosh(t)}dt}=t+C=arcsinh(x)+C$

$int{frac{dx}{sqrt{x^2-1}}}=int{frac{dcosh(t)}{sinh(t)}}=int{frac{sinh(t)}{sinh(t)}dt}=t+C=arccosh(x)+C$

而 $arcsinh(x)$ 是有解析表達式的，由於

$e^x=sinh(x)+cosh(x)=sinh(x)+sqrt{1+sinh^2(x)}=cosh(x)+sqrt{cosh^2(x)-1}$

所以

$arcsinh(x)=ln(x+sqrt{x^2+1})$

$arccosh(x)=ln(x+sqrt{x^2-1})$

（cosh是偶函數，所以反函數的定義域是x&>=1，值域是[0, +∞)）

所以

$int{frac{dx}{sqrt{x^2 pm 1}}}=ln(x+sqrt{x^2 pm 1})+C$

注意到我們前面換元的時候令 $x=cosh(t)$ ，這個不一定能成立，因為這個不定積分還有(-∞,-1]這一段有效的區間，在這個區間上，我們應該令 $x=-cosh(t)$ ，積分結果應該是

$int{frac{dx}{sqrt{x^2-1}}}=int{frac{d(-cosh(t))}{sinh(t)}}=-int{frac{sinh(t)}{sinh(t)}dt}=-t+C=-arccosh(-x)+C$

而當x&<0時，有

$-arccosh(-x)=-ln(-x+sqrt{x^2-1})=lnleft({frac{1}{-x+sqrt{x^2-1}}} ight)=ln(-x-sqrt{x^2-1})$

所以可以用絕對值的形式統一寫成

$int{frac{dx}{sqrt{x^2 pm 1}}}=ln|x+sqrt{x^2 pm 1}|+C$

順便說一下cosh(x)和sinh(x)與真正的三角函數，在複數域上是有聯繫的：

$cosh(iz)=cos(z)$

$sinh(iz)=sin(z)$

他們實際上是三角函數在虛軸上的模樣。從複數域上就很容易看出來前面幾條性質為什麼成立了：它們只是複數情況下的三角函數性質。

方法前面已經說的很清楚了。。。

推薦個軟體吧 wolfram alpha

就是右上角那個 App Store18塊錢貌似。。。

打開歡迎界面

直接輸入你的問題就可以了

比方說你這題

得出結果後上面有個step-by-step solution 點開就可以有過程了

試個難點的

可以直接保存答案的圖像的

這個軟體非常非常強大其實。輸入你想要的問題就可以有答案

比方說這個毛爺爺曲線

嗯我知道你想要什麼沒有他

也很吼其實。。

補充點其它用途

還有很多很多功能。。。以後在補吧

字丑請見諒

瀉藥

$int sec(x)dx= ln|sec(x)+tan(x)| +C$

又因

$tan^2(x)+1 =sec^2(x)$

所以令x =tan（t）則 $dx= sec^2(t)dt$ 然後就簡單了。

前面朋友說的雙曲函數更快

我來跑個題。有了這個積分以後，不藉助第二類換元法也可以求另一類根號下平方和的積分。

$[int {sqrt {{x^2} + 1} dx} = int {frac{{{x^2} + 1}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = int {frac{{{x^2}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + int {frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = int {xd} sqrt {{x^2} + 1} + ln (x + sqrt {{x^2} + 1} )]$

剩下的就是分部積分了。

題主提問的這個算是一個基本積分公式。用雙曲三角代換是比較好的做法。

百度，雙曲函數，你看看雙曲函數的導數是啥，你就明白四和六的積分為啥是這個了

試試用tan和sec函數

用雙曲換元好做三角換元肯定能做就是繁

高等數學書上不是有證明公式。還是常數a更具普遍性。

上下同乘(x＋√(x^2±1)),(x＋√(x^2±1))/(√(x^2±1))＝d(x＋√(x^2±1)),原式變為d(x＋√(x^2±1))/(x＋√(x^2±1)),如果知道結果的話，這樣寫應該是最簡單的了吧

一般的微積分書上都會有一樣的例題吧。

第二類換元法，就是代入三角函數去根號就行