複數和實數一樣多嗎？

01-06

rt，無限和無限一樣多嗎？儘管直觀上似乎不是

首先我假設題主具備基本的大學本科數學知識。

你這個問題不是Well-defined 的。

數學中，很多概念都是有前提的，比如簡單的收斂。

如果沒有給定上下文，只是簡單的說 $lim_{n oinfty} x_n = x$ 很多時候會混淆的。

稍微嚴謹一點，我們應該說：在某某意義下， $lim_{n oinfty} x_n = x$

比如在逐點收斂意義下，在 $L^p$ 意義下，依概率收斂意義下....

回到題主的問題：複數和實數一樣多嗎？同樣也需要一個前提。

比如常用的，在基數（數學術語）意義下，實數和複數是一樣多的。

但這樣就完了嗎？不是的，我們還可以定義很多遊戲規則。

在比如，在 $mathbb R^2$ 的勒貝格測度_百度百科意義下，複數(複平面)的測度是無窮大，而實數(x軸)的測度是0，所以在這個意義下，複數比實數多。

當然，還有其它的概念可以用於比較無窮集合，比如綱(第一綱集與第二綱集)，比如稠密集與稀疏集。

複數

...a3a2a1a0.b1b2b3...+...c3c2c1c0.d1d2d3...*i（其中ak等均表示一個數位）

可以映射到

實數

...a3c3a2c2a1c1a0c0.b1d1b2d2b3d3...

反過來也能這麼映射

所以一一對應

隨便想的，可能錯了

是一樣多的哦。

以下內容是我以前學《Naive set theory》中學到的知識。

ipad版知乎打的回復不是很嚴密。但意思是這樣。見諒哈

如果我們用cardinal表示一個集合所含元素的數量。

例： cardibnal 我的手指頭們 = 10.

用 C表示複數組成的集合，用R表示實數組成的集合。

補充一點，用Q 表示有理數組成的集合。

結論是。那麼cardinal C = cardinal R (strictly ) &> cardinal Q。

當我們在討論集合的所含元素數量，也就是cardinal的時候，我們可以把它們分為有限的比較和無限集合的互相比較。

當我們在比較有限集合的cardinal時的確是可以直觀地從子集與真子集這樣的關係推斷出誰的所含元素數量比較多。

比如cardinal 我的手指頭們 = 10.

cardinal 我的右手的手指頭們 = 5.

而我的右手是我的雙手這樣的一個真子集。

當我們在比較有限集合與無限集合時，顧名思義無限集合所含元素必然比較多。

當我們在比較無限集合與無限集合的cardinal時，值得牢記的幾點是：

1. 最小的無限集合是自然數集，有理數集，以及與它們equivalent的集合們。

2. 二階無限的無限集合是實數集，複數集，等。

下班啦回家拿電腦補充補充。嘿。

《從一到無窮大》是一本比較古老的科普書，上面有證明平面上所有的點數和線段上一樣多的方法

我覺得很容易類比到此題

等勢。看看實變函數第一章。

請容我在這裡胡說

既然要比較無窮數集的數量，就要先定義比較無窮數集的方法，既定義什麼是等於大於或小於。

實分析衡量集合元素的多少是基數，它給出基數的比較方法是:

〔定義〕對集合A,B，如果存在某個從A到B的雙射f，那麼我們就說集合A,B具有相同的基數。

如果從A到B的所有映射中，沒有雙射，但有滿射，我們說A的基數大於B的基數。

在這種定義下，有限集基數相等當且他們的元素數目相等，自然數和有理數具有相同的基數，用類似於複變函數中黎曼球面的映射方法，可以證明區間(0，1)和實數集R具有相同的基數，進一步也可證明，實數和複數具有相同的基數

............

詳見實分析相關教材

如果是比較基數，二者可以做到一一映射。但不是連續映射。相當於把平面上的點與直線上的點做一個映射。一般比較『『多少』』可以理解為基數。實變函數上可以找到

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E6%9B%B2%E7%B7%9A

複數z=a+bi，a，b均為實數，竊以為理論上是複數多