ρ=a+bθ阿基米德螺線弧長怎麼計算？

01-06

請使用曲線計算的極坐標公式：

$L=int_{varphi_1}^{varphi_2}sqrt{ ho^2+left(frac{mathrm{d} ho}{mathrm{d} heta} ight)^2}mathrm{d} heta$

幾乎每一本數學分析的教科書中都會有這個公式及其說明的。當然，因為你的問題中增加了 $a$ 結果可能會略複雜。

註： $a=0$ 時候的計算結果可以參考：Archimedes" Spiral -- from Wolfram MathWorld。

下面來計算 $a e 0$ 的情況：

$egin{align} L=int_{varphi_1}^{varphi_2}sqrt{(a+b heta)^2+b^2}mathrm{d} heta\ =int_{varphi_1}^{varphi_2}sqrt{(a^2+b^2)+2ab heta+b^2 heta^2}mathrm{d} heta. end{align}$

另： $A=a^2+b^2$ , $B=2ab$ 和 $C=b^2$ ，我們可以得到：

$egin{equation} L=int_{varphi_1}^{varphi_2}sqrt{A+B heta+C heta^2}mathrm{d} heta. end{equation}$

為了計算這個積分，我們需要下面的公式：（參考：I.S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, p.95, eq.(2.262)）

$intsqrt{A+Bx+Cx^2}mathrm{d}x=frac{(2Cx+B)sqrt{A+Bx+Cx^2}}{4C}+frac{Delta}{8C}intfrac{mathrm{d}x}{sqrt{A+Bx+Cx^2}}$

其中： $Delta=4AC-B^2$ 。所以，我們的積分可以進一步計算為：

$egin{align} L( heta)=intsqrt{A+B heta+C heta^2}mathrm{d} heta\ =frac{2b^2 heta+2ab}{4b^2}sqrt{a^2+b^2+2ab heta+b^2 heta^2} +frac{b^2}{2}intfrac{mathrm{d} heta}{sqrt{a^2+b^2+2ab heta+b^2 heta^2}} end{align}$

為了計算上式中的第二個積分，我們需要結果：（參考：I.S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, p.94, eq.(2.261)）

$intfrac{mathrm{d}x}{sqrt{A+Bx+Cx^2}} =frac{1}{sqrt{C}}mathrm{arcsinh}left(frac{2Cx+B}{sqrt{Delta}} ight), C>0, Delta>0$

所以，我們可以得到：（主要結論）

$egin{align} L( heta)=intsqrt{A+B heta+C heta^2}mathrm{d} heta\ =frac{2b^2 heta+2ab}{4b^2}sqrt{a^2+b^2+2ab heta+b^2 heta^2} +frac{b}{2}mathrm{arcsinh}left(frac{b heta+a}{b} ight) end{align}$

可以看到，如果在上式中我們設 $a=0$ ，則我們有：

$egin{equation} mathcal{L}( heta) =frac{ heta}{2}bsqrt{1+ heta^2} +frac{b}{2}mathrm{arcsinh}left( heta ight) =frac{b}{2}left[ hetasqrt{1+ heta^2} +lnleft( heta+sqrt{ heta^2+1} ight) ight] end{equation}$

這也就是網站：Archimedes" Spiral -- from Wolfram MathWorld 中的第(3), (4)式。