是否存在一個函數，極限處處不存在？

01-06

再放寬一些，若這個函數，右極限處處存在，則這個函數極限處處存在？
都在開區間上

跑個題。隨手想了個問題：是否存在一個右極限處處存在的點點不連續的函數？

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否定的。假設有這樣的f，先取一個點 $x_1$ ，那麼根據右極限存在，存在一個閉區間 $[a_1,b_1]$ 使得任意 $alpha,etain[a_1,b_1], |f(alpha)-f(eta)|<1$ (稱f在 $[a_1,b_1]$ 上的振幅不超過1). 然後選 $x_2=(a_1+b_1)/2$ ，依次做下去，可以得到一列閉區間 $[a_n.b_n]$ ，滿足：

$a_nleqslantfrac{2}{3}a_n+frac{1}{3}b_nleqslant a_{n+1}leqslant b_{n+1}leqslantfrac{1}{3}a_n+frac{2}{3}b_nleqslant b_n$
f在 $[a_n,b_n]$ 上的振幅不超過 $frac 1 n$

利用歸納法很容易把上面的過程寫清楚. 那麼根據閉區間套定理， $cap[a_n,b_n]$ 是一個單點集 ${x}$ . 容易看到f在x處連續.

然後無責任推廣一下：如果f在一個稠密集上點點存在單側極限，那麼連續點是一個稠密的第二綱集.

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事實上，如果f在每一點至少存在一個一個單側極限，那麼f的不連續點至多可數

記 $A_n={x|forallvarepsilon>0existsalpha,etain(x-varepsilon,x+varepsilon),s.t.|f(alpha)-f(eta)|>frac 1 n}$ .

那麼不連續點全體是這些A_n的並. 如果不可數，那麼至少有一個不可數.

引理：如果B是實數的不可數子集，那麼 ${xin B:forallvarepsilon>0,(x,x+varepsilon)cap B uncountable}$

是不可數的.

證明就是反證法+Lindelof property.

那麼趕忙得到 ${xin B:forallvarepsilon>0, both (x,x+varepsilon)cap B and (x-varepsilon,x)cap B are uncountable}$

是不可數的。取B是上面那個不可數的A_n，利用和前面一樣的方法就得到矛盾了.

謝邀，說句實話，不知道題主說的沒有極限是什麼意思，如果是指每個點的左右極限或者不存在，或者存在但是不想等。那麼這種情況是容易知道的，比如直接直接狄利克雷函數就行。不過，我們也可以這樣思考，假設一個實值函數在一點存在極限，那麼這個函數起碼在這一點附近某個小領域內是有界的。那麼，我們只要構造一個在任意區間上都是無界的函數就好：比如下面這種

$f(x)=egin{cases} q quad ext{如果} x=frac{p}{q} ext{其中} p,q , ext{互素}\ 0 quad ext{如果}x eq frac{p}{q} end{cases}$ .

這個函數在任意區間上都是無界的，但是在任意點都是有界的。還有一個更誇張的函數：Conway base 13 function， conway 13函數，這個函數能保證把每個開集都映成實數全體。

是否存在一個函數，它處處右連續，且處處有左極限，但是它在任何小區間上都不連續？

考慮這樣一個函數：把(0,1)之間的有理數拍成一列(R1,R2,...,Rn,...)，

構造

fn(x)=

1，若x≥Rn

0，若x&

然後做

f(x)=∑fn(x)/n2

上面這個級數是一致收斂的，因此f(x)在(0,1)的每個點都是右連續的，也都有左極限，然而只有在無理點處左右極限相等。也就是說，它在無理點連續，有理點間斷…

並且f(x)是個單調函數，單調函數幾乎處處可導，實際上f(x)在無理點是可導的，且導數是0。

無理點可導且導數是0，有理點間斷但左右極限都存在，可以說是很有特點的一個函數了…

狄利克雷函數啊。

它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函數。

狄利克雷？

存在啊，

f（x）= 1 （x為有理數） or =0，（x為無理數）

函數在某點極限不存在，可以是左極限不等於右極限，也即該點處是跳躍點，那麼有如下的具體的例子：

一個處處右不可導的右連續函數彭瓊燕

設 $xin(0,1)$ ，則有唯一表示法表示為不以1為循環的二進位小數，記 $x=0.a_1a_2cdots a_ncdots=sum_{n=1}^{infty}{frac{a_n}{2^n}},(1)$
定義 $f:(0,1) ightarrow(0,1),f(x)=0.a_10a_20a_3cdots (2)$
顯然定義是合理的.
定理3 設 $x_0=0.a_1^0a_2^0cdots a_n^0,a_n^0=1$ ， $x_0$ 為 $(0,1)$ 中的二進有限小數，則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的左極限存在，但有一個左跳躍，且 $n$ 為奇數時， $f(x_0-0)-f(x_0)=-frac{2}{3cdot2^n}$ ；當 $n$ 為偶數時， $f(x_0-0)-f(x_0)=frac{2}{3cdot2^{n-1}}$ .