如何證明這個關於π的方程？

01-06

從任意的正整數n開始，（向上）找出最近的（n-1）的倍數，然後找到最近的（n-2）的倍數，依此類推，直到最近的1的倍數，把結果計作f(n)，有如下式子：
lim(n→∞) n2 / f(n) = π
例如，f(10)=34，因為10→18→24→28→30→30→32→33→34

如何證明當n→∞ 時，n2 / f(n) 的比值趨近於π ？

我來翻譯一下吧，這個挺有意思的

我們讓 $x$ 從 $n$ 跑到1，讓 $y$ 是 $x=k$ 時 $x$ 的倍數，然後讓 $w=y/x$

比如題主的例子就是

$egin{align} x w y \ 10 1 10 \ 9 2 18 \ 8 3 24 \ 7 4 28 \ 6 5 30 \ 5 6 30 \ 4 8 32 \ 3 11 33 \ 2 17 34 \ 1 34 34 \ end{align}$

然後網頁中用了 $n=100$ 的case，大家可以自己去看一下那張表格

觀察到，當 $100geq xgeq 50$ 的時候， $y=(101-x)x$

當 $50> xgeq 38$ 的時候， $y=(151-2x)x$

當 $38> xgeq 31$ 的時候， $y=(189-3x)x$

……

所以總結一下就是在某個 $x_k$ 開始 $y=(A_k-kx)x$

再觀察就發現 $x_k$ 恰好是這個二次函數頂點附近的整點，所以 $x_k$ 近似為 $frac{A_k}{2k}$ ，從而 $y_k=(2kx_k-kx_k)x_k=kx_k^2$

而 $A_k$ 的值可由在 $k-1$ 處的表達式在頂點處的數值推算出來（因為它過頂點），也就是 $(A_k-kx_{k-1})x_{k-1}=y_{k-1}$ 從而 $A_k=frac{y_{k-1}+kx^2_{k-1}}{x_{k-1}}=frac{(k-1)x_{k-1}^2+kx^2_{k-1}}{x_{k-1}}=(2k-1)x_{k-1}$

所以 $(2k-1)x_{k-1}=2kx_k$

從而 $x_k=x_1prod^k_{j=2}frac{2j-1}{2j}$

故 $y_k=kx_k^2=k(n+1)^2(prod^k_{j=1}frac{2j-1}{2j})^2$

而 $k ightarrow infty$ 時 $y_k ightarrow f(n)$

所以 $lim_{n ightarrowinfty}frac{(n+1)^2}{f(n)}=lim_{k ightarrowinfty}frac{1}{k}prod^k_{j=1}(frac{2j-1}{2j})^2=2prod^infty_{j=1}frac{4j^2}{4j^2-1}=pi$

自己來回復。

這個有趣的結論是數年前我在一本數學科普類書籍看到的（沒有證明），今天心血來潮想起來，於是我搜索了書名，找到了作者的資料，給他發了一封郵件詢問這個問題，這是他在回復中給我的鏈接：The world of Pi

（不過我的數學水平看不懂了，好憂傷……）

wallis公式