數論中的 BSD 猜想是指什麼?

01-06

樓上已經說得很詳細啦，我再來補充一些BSD猜想的發展歷史和部分重要結果.詳細內容可以參考wiki上的詞條BSD conjecture.

Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

首先我們還是使用樓上的記號，令 $E$ 是定義在有理數域 $mathbb{Q}$ 上的橢圓曲線，並且假設橢圓曲線 $E$ 的conductor是square-free的。 $L(E,s)$ 是橢圓曲線 $E$ 對應的Hasse-Weil L-function。事實上BSD conjecture包含下面兩條.

第一條猜想說的是函數 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 處Taylor展開的階等於橢圓曲線 $E$ 的Mordell-Weil rank $r(E)$ . 如果我們稱Taylor展開的階為analytic rank，而Mordell-Weil rank是algebraic rank，則BSD猜想的第一條就可以簡寫為analytic rank=algebraic rank.

第二條猜想說的是 $frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}=c_E cdot #Sha(E)$ . 這裡 $frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}$ 表示Taylor展開的r階係數，r代表橢圓曲線的Mordell-Weil rank $r(E)$ ， $c_E$ 包含一些關於橢圓曲線 $E$ 的基本常數，比如橢圓曲線的regulator，number of torsion points，Tamagawa number，period等等。 $#Sha(E)$ 表示橢圓曲線 $E$ 的Shafarevich-Tate群的階數，這裡插一句，這個群非常神秘，事實上人們連這個群是不是有限群都不知道。。不過如果你承認BSD猜想的話，這個結論就是顯然的。。

大致回顧了一下什麼是BSD猜想後，接下來進入正題，介紹一下BSD猜想的發展史和部分重要成果。

1977年John Coates和Andrew Wiles(對，就是那個證明Fermat Last Theorem的大名鼎鼎的安德魯懷爾斯)取得了第一個重要結果。他們證明了如下結果：如果 $E$ 是一條具有復乘(complex multiplication)的橢圓曲線，那麼就有 $L(E,1) ot=0 Rightarrow r(E)=0$ . 簡單地說即analytic rank=0可以推出algebraic rank=0.
1986年Benedict Gross和Don Zagier利用Gross-Zagier formula證明了如下的結果：如果 $E$ 是一條(模)橢圓曲線，(註：這裡模曲線的條件可以去掉，因為在1999年已經證明了有理數域上所有的橢圓曲線都是模曲線) 那麼就有 $L(E,1)=0,~L$ .
1989年Kolyvagin利用他發明的Euler system結合Gross-Zagier formula，在一些"解析"的"前提"(註：這些"解析前提"在1992年之前都已經被其他數學家證明可以去掉) 下證明了如果 $E$ 是一條模橢圓曲線，那麼就有 $L(E,1)=0,~L$ . 其實Kolyvagin還得出了在這些條件下，我們同時有 $#Sha(E)<infty$ . 我們可以將這個結論理解為analytic rank=1推出algebraic rank=1.
1987-1991年間Karl Rubin利用Kolyvagin的Euler system的方法簡化了經典的岩澤主猜想的證明，同時他還證明了在虛二次域情況下(關於有復乘橢圓曲線)的岩澤主猜想，從而給出了BSD猜想的部分結果.他的結論如下：如果 $E$ 是一條具有復乘(complex multiplication)的橢圓曲線，那麼就有 $L(E,1) ot=0 Rightarrow r(E)=0,~#Sha(E)<infty$ .Karl Rubin的結果的深刻性在於他第一次給出了一批(無窮多條)橢圓曲線，他們的Shafarevich-Tate群的階數是有限的。
1990s (具體哪一年不是很清楚。。有待考證) 日本數學家Kazuya Kato發展了Kolyvagin的Euler system，將代數K-理論和現代數論結合起來發展了Kato"s Euler system，用他的純代數的Euler system，Kato證明了關於橢圓曲線的岩澤主猜想的一部分，從而得到了如下結論：如果 $E$ 是一條(模)橢圓曲線，那麼我們就有 $L(E,1) ot=0 Rightarrow r(E)=0,~#Sha(E)<infty$ . 到了2012年，Christopher Skinner和Eric Urban利用模形式 (主要是Eisenstein series) 的理論證明了 $GL_2$ (橢圓曲線)上的岩澤主猜想，再結合前面Kato的結果，在一些前提條件下，他們第一次部分證明了當analytic rank=0的情況下的BSD猜想的第二條結論。事實上，他們證明的是如果 $p geqslant 11$ 並且 $p$ 是一個good ordinary prime，那麼在一些technique conditions下（比如假設橢圓曲線 $E$ 是semi-stable的）我們有 $ord_p(frac{L(E,1)}{c_E})=ord_p(#Sha(E))$ 。（上面的等式有意義因為 $frac{L(E,1)}{c_E}$ 是一個有理數。）其實，我們注意到如果對所有的素數 $p$ ，我們都能證明 $ord_p(frac{L(E,1)}{c_E})=ord_p(#Sha(E))$ ，那麼BSD猜想的第二條結論也就自動成立了。
2013年中國數學家張偉(Wei Zhang)在一些前提條件下部分證明了Kolyvagin conjecture，同時他利用Eisenstein series的理論以及level-raising of modular forms的方法證明了如下結論：如果 $E$ 是一條(模)橢圓曲線，那麼我們就有 $L(E,1)=0,~L^{$ .並且和Skinner-Urban類似，張偉也在一些「前提"下部分證明了在analytic rank=1的情況下BSD猜想的第二條結論。事實上，他證明了如果 $p geqslant 5$ 並且 $p$ 是一個good ordinary prime，那麼在一些technique conditions下我們有 $ord_p(frac{L$ 。（上面的等式有意義因為Gross-Zagier formula保證了 $frac{L$ 是一個有理數。）
Christopher Skinner的學生Xin Wan(萬昕)在他的博士論文中去掉了Skinner-Urban關於Iwasawa main conjecture for $GL_2$ 證明中的部分技術性條件，加強了結論。並且從2003年開始，Shinichi Kobayashi, Robert Pollack, Karl Rubin, Xin Wan, Florian Sprung等人通過一系列工作，推廣了Skinner-Urban的工作，並且陳述以及在一定條件下證明了Iwasawa main conjecture for elliptic curves at supersingular primes。將Iwasawa main conjecture的結果應用到BSD猜想上，結合前人的工作，對於analytic rank=0,1的橢圓曲線，BSD猜想的第二條結論「基本上」成立。事實上若analytic rank=0，對於 $p geqslant 3$ 並且 $p$ 是一個good reduction prime，則在一些technique conditions下 $ord_p(frac{L(E,1)}{c_E})=ord_p(#Sha(E))$ ；若analytic rank=1，對於 $p geqslant 3$ 並且 $p$ 是一個good reduction prime，則在一些前提條件下（比如假設橢圓曲線 $E$ 是semi-stable的）， $ord_p(frac{L$ 。（基於Dimitar Jetchev, Christopher Skinner, Xin Wan和Florian Sprung在2015-2016年的工作）在2015年，Yifeng Liu（劉一峰）在BSD conjecture的推廣——Bloch-Kato conjecture上也有了一定的進展，這裡就不加贅述了。
2014年Skinner和張偉證明了一個相當於前面提到的Gross-Zagier,Kolyvagin逆命題的定理,他們證明如果 $E$ 是一條(模)橢圓曲線，在一些"前提"下，我們有 $r(E)=1,~#Sha(E)<infty Rightarrow ord_{s=1}L(E,1)=1$ 。即 $L(E,1)=0,~L$ 。即algebraic rank=1再結合Shafarevich-Tate群階數的有限性可以得到analytic rank也等於1。其實，對於algebraic rank=0，我們也有類似的結論，即在一些"前提"下，有 $r(E)=0,~#Sha(E)<infty Rightarrow ord_{s=1}L(E,1)=0$ 。即 $L(E,1) eq 0$ . 所以algebraic rank=0再結合Shafarevich-Tate群階數的有限性可以得到analytic rank也等於0。
2015年Manjul Bhargava和Arul Shankar從另外一個角度來考慮問題。考察 $mathbb{Q}$ 上橢圓曲線 $E$ 的height，我們可以定義一個關於橢圓曲線的自然密度(density)，他們結合了前人的諸多結果(主要利用了Skinner,Urban還有張偉的最新結果）證明了大概有2/3=66.7%的橢圓曲線的analytic rank是0或者1，從而我們知道至少有2/3的橢圓曲線滿足BSD猜想。

以上就是BSD猜想的發展史和部分重要結果，實際上還有不少數學家也對BSD猜想的證明做出過貢獻，限於作者水平這裡就不一一指出啦。。美國Clay數學研究所把BSD猜想列為千禧年七個數學問題之一，可見其的重要性。遺憾地是，人們距離證明BSD猜想還有很長的路要走。我們對於analytic rank或者algebraic rank大於等於2情況下的BSD猜想幾乎一無所知 (不過我聽說Henri Darmon似乎最近對analytic rank等於2情況下的BSD猜想有一些新想法？Kato classes？)，甚至我們不能找到任何一條analytic rank或者algebraic rank等於4的橢圓曲線滿足BSD猜想 ( 如果這樣的橢圓曲線能夠找到的話結合Dorian Goldfeld的方法我們可能就能破解Gauss關於實二次域類數的猜想了，不過希望渺茫 ) 。。。。

以上就是我對BSD猜想的補充。匆忙寫下，如果有錯誤的話希望大家不吝指正啊！

References:

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John Coates, Andrew Wiles (1977). "On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer".Inventiones Mathematicae. 39 (3): 223–251. doi:10.1007/BF01402975.
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Benedict Gross, Don Zagier (1986). "Heegner points and derivatives of L-series".Inventiones Mathematicae. 84 (2): 225–320. doi:10.1007/BF01388809.
Victor Kolyvagin (1989). "Finiteness of $E(mathbb{Q})$ and $X(E,mathbb{Q})$ for a class of Weil curves". Math. USSR Izv. 32: 523–541. doi:10.1070/im1989v032n03abeh000779.
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Manjul Bhargava, Christopher Skinner, Wei Zhang (2014). "A majority of elliptic curves over $mathbb{Q}$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. arXiv: 1407.1826v2.
Massimo Bertolini, Henri Darmon, Kartik Prasanna (2013). "Generalized Heegner cycles and p-adic Rankin L-series". Duke Mathematical Journal 162, no. 6, 1033–1148.
Henri Darmon, Victor Rotger (2017). "Diagonal cycles and Euler systems, II: the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for Hasse-Weil-Artin L-functions", to appear in Journal of the American Mathematical Society (JAMS).
Henri Darmon, Victor Rotger (2016). "Elliptic curves of rank two and generalized Kato classes". Research in the Mathematical Sciences 3. doi:10.1186/s40687-016-0074-9.

樓上大體給出了BSD猜想的一個描述，但是有相當多的概念並沒有解釋，我在這個回答中所要儘力闡述的便是有關的概念。我不打算面面俱到（犧牲數學上的精確描述），只希望稍稍釐清BSD猜想的來龍去脈。

為了簡化敘述，我們不提「虧格為1的曲線」這一概念，只以Weierstrass標準形式 $E:y^2=x^3+ax+b$ 作為整個敘述的出發點。這裡a,b均為有理數。

這種三次曲線上有一個最引人入勝的性質，那就是在曲線上我們可以引入一個二元運算，使得三次曲線上的點在這種運算下構成一個群。具體方法如下：

給定曲線 $E$ 上兩點 $P,Q$ .過兩點作直線交曲線於第三點。記第三點關於x軸的反射為 $R$ .那麼群運算即定義為

$P+Q=R$

如P,Q重合，上面定義中的直線即是過P點的切線。群中單位元定義為 $O$ ,群中任意元素 $(x,y)$ 的逆元為 $(x,-y)$ .

搞數論的人特別關心曲線上的有理數點（橫縱座標都是有理數）。不難證明，在上面的法則下，曲線上的有理數點也構成一個群。問題來了！數學家的好奇心逼著他們提出下面的問題：

這個群有著怎樣的結構？

1901年龐加萊提出一個猜想：曲線 $E$ 上的有理點構成的群是有限生成Abel群。換言之，這個群上的二元運算是可交換的。並且，我們可以從這個群中取出有限個元素構成一個集合 $S$ ，群中的所有元素都可以通過上面定義的二元運算（及逆運算）由 $S$ 中的元素生成。

[註：將猜想歸於Poincare應該是不對的。這一功勞應該歸於Beppo Levi。]

這個問題在1922年被Mordell解決。之後由Weil推廣。

接下來又是一個很自然的問題： $S$ 最少有幾個元素？

按Abel群中元素的性質， $S$ 可以分成不相交的兩個子集， $S1$ 中的元素階無限， $S2$ 中階有限。

這個問題非同小可。這是BSD猜想的表述中第一個重要的概念： $S1$ 可以取到的元素的最少個數，稱為橢圓曲線的Rank。( $S2$ 構成一個群，稱為Torsion Group，這個群的結構到1978年才由Barry Mazur理清）

Fermat是第一個啃這塊硬骨頭的人。他用所謂的"無窮下降法"解決了n=4的費馬大定理，等價於證明某條三次曲線的rank=0。無窮下降法在Mordell手中變成了證明 $S$ 有限的利器，這裡略去不提。

一旦提到有理點的求解，有一條在高斯時代就開始使用的原則：先考察對應的同餘式是否有解。用現代一點的語言來說：考察曲線在有限域上解有多少。曲線在有限域上的解是可以通過生成函數來給出的。這個生成函數稱為Local zeta-function。每一個質數都對應一個Local zeta-function，將它們乘到一起就得到了曲線的Hasse-Weil函數。對Riemann Zeta函數（見Riemann 猜想漫談）有一點了解的話，就知道這種形式就是著名的Euler乘積。Hasse當年猜想：這個由Euler乘積定義的函數在整個複平面上解析。1995年Wiles證明了這個猜想，順帶解決了Fermat大定理。

Hasse-Weil函數 $L(E,s)$ 對應的Euler乘積只在 $Re(s)>3/2$ 的複平面上收斂。Wiles證明了這個函數可以延伸到Euler乘積收斂的複平面之外。Wiles其實證明了更多的東西：這個函數滿足某個函數方程，具體地說，就是 $L(E,s)$ 和 $L(E,2-s)$ 滿足某種關係。從這種關係我們可以看到， $s=1$ 正是這種對稱性所給出的中心點。1960年代，Birch和Swinnerton-Dyer在探索橢圓曲線rank的問題時提出的猜想（大量數值試驗的數據作為基礎）還不是樓上直接給出的形式，這個猜想的現代形式是在若干數學家的共同努力之下才得到的。具體形式樓上的鏈接中都提過了。

至少到現在，一般橢圓曲線上的有理點的計算沒有已被證明的有效演算法。BSD猜想至少給我們提供了一種計算橢圓曲線rank的可能路徑。在探索BSD猜想的征途中，有兩個重要結果值得一提：

1.Coates(Wiles的導師)和Wiles對rank=0的一類曲線證明了BSD猜想。

2.Gross和Zagier證明了一個關於rank=1曲線的定理，這個定理引出了rank&<=1的BSD猜想的證明。

(Errata: 這裡描述不確切，具體請看評論中 @自守型的解釋。

鑒於原評論已經匿名，這裡需要指出的是，無論是Wiles還是Gross-Zagier，他們證明的都是給定L-function零點的階&<=1，可知它等於對應橢圓曲線的rank，但相應的逆命題未得證。

）

入門讀物的話，Silverman的第三本書更合適：

Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics)

2014.10.6 補充

BSD猜想的細化形式至少直接和下面一長串人名相關:

Bryan Birch

Peter Swinnerton-Dyer

Harold Davenport

J. W. S. Cassels

John Tate

André Weil

我把原問題改了, 因為原問題不構成問題.

BSD 目前沒有消息表明被證明. 原問題中提到的中國數學家是一位仍然活躍的嚴肅的數學家, 不應該在知乎被評論. 我認為這種提問行為非常野蠻和低級趣味.

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現在讓我們回到這個猜想本身. BSD 是數論里非常重要的猜想, 但與大多數人了解的 "數論" 不同, 它的 "樣子" 沒有那麼初等. 簡單而言它說了這樣一件事:

一類對應於某類有群結構的代數曲線 (橢圓曲線) E 的亞純函數, 記為 L, 則:

1. s=1 為 L(s) 的階為 r=Rank(E) (作為 Z-模的 rank) 的零點.

2. lim(L/(s-1)^r)=(...), 這裡 (...) 是一堆涉及各種技術參數的有理式, 核心涉及沙群 III=ker( "整體 H^1" ----&> "局部 H^1 之和" ) 的勢以及 E 的 torsion-part.

為何說理解還差很遠呢, 比如這裡涉及到 r=Rank(E), 一個基本問題是 r 是否有界, 不好意思, 這一點目前也是不確定的. 實際上也沒什麼辦法產生大 rank 的橢圓曲線. 同樣的對於沙群 III, 我們也不知道他的勢是否有限 (這是這個猜想有意義的前提).

為什麼說這個猜想重要呢, 比如說它基本上給出了一種計算沙群勢的方式, 至少, 它說明了沙群是有限的. 而沙群是理解數學對象的算術性質的核心之一, 粗略而言沙群描述了 "代數數域上的信息在多大程度上可由所有的局部域上的信息粘合過來". 這種 "哲學" 稱為 "局部整體原則".

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更進一步的內容我不清楚, 目前有哪些人做了多大程度的工作我也不清楚. 在知乎進一步描述應該也不太合適. 如果題主想了解的話, 這裡入門的標準讀物是下面 Silverman 的書, 寫的很有趣而預備知識不算太多.

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture#CITEREFWiles2006

2. Joseph Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves

3. Joseph Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves